第三章 时域响应.doc

第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 本章主要内容： 时域分析的提法（概念，时域性能指标） 一阶系统的分析（稳定性分析 稳态分析 动态分析） 二阶系统的分析（稳定性分析 稳态分析 动态分析） 控制系统的一般分析（稳定性分析 稳态分析 动态分析） 3.1 时域分析的提法 3.1.1 时域分析的基本思想 时域分析法是控制系统常用的一种分析方法。该方法直观，容易理解。 3.1.2 时域分析问题的提法 时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。 稳定 稳定性能系统的分析包括三个方面： 稳态 稳态性能 动态 动态性能线性控制系统稳定性的定义： 若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统为不稳定。在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指：时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称为系统的的稳态响应。反映系统动态过程的性能称为系统的动态性能。描述系统动态性能的指标称为动态指标。3.1.3 系统的时域响应 系统的数学模型是微分方程描述时 系统的数学模型是传递函数描 当系统的数学模型是别的形式是，可转化为上面两种形式求解。上面的两种形式是时域分析中常用的形式。 3.1.4性能指标的时域描述 （性能指标，性能指标的定量化）3.1.4.1 稳定性描述 控制系统的稳定性，是控制系统能正常工作的必要条件 控制系统在实际工况中，总会受到内部和外界一部分因素的扰动。例如负载或能源的波动、系统参数的的变化、环境条件的改变等。对于不稳定的系统，当其受到这些扰动，即使这些扰动很弱，持续时间很短，照样会使系统中的各物理量偏离其原来的平衡点，并随时间的增加而发散，以至在扰动消失后，系统也不会再恢复到原来的工作点，显然不稳定系统是无法工作的。 为了使控制系统受到扰动后仍能稳定工作，需要分析并找出保证系统稳定工作的条件。（这本身是系统分析的一个重要稳态） 例子： 摆的平衡点（稳定的平衡点、不稳定的平衡点、稳定区域） 单摆和小球运动的这种稳定概念，可以推广于控制系统。假如系统具有一个平衡的稳定工作状态，如果系统受到有界扰动偏离了原平衡状态，无论扰动引起的偏差有多大，当扰动消除后，看系统是否能回到原来的平衡状态，若能，则认为系统是稳定的，否则系统是不稳定的。 在分析线性系统稳定性时，我们关心的是系统运动的稳定性，即系统方程在不受任何外界输入下，方程的解在时的渐近行为。或者系统在某一给定输入下，按一种方式运动，不受干扰的影响，既便有些偏离运动状态，当干扰消除后，终能回到原运动状态。在数学上，这种性质表现为系统微分方程的齐次解，其通解称为微分方程的一个运动。 平衡点的稳定与运动状态的稳定严格的的说是有区别的，但可以证明，在线性系统中，它们是等价的。 线性系统稳定性的定义，常采用俄国学者李亚普诺夫在1892年给的定义。线性控制系统稳定性的定义： 若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统为不稳定。 注：的物理概念是指加了扰动并消除（与前面摆的运动平衡点结合起来讲。采用脉冲函数来模拟干扰主要是取其下沿。也可以是方波，即加一段时间后又放掉）。在数学上，上述对控制系统稳定性的定义的描述可转化为这样的数学表达式：若 系统稳定若 系统不稳定 即 ：这也给出了控制系统稳定性的判断方法 事实上，对于线性定常系统 正常工作输入 干扰 在正常输入上 迭加干扰信号 系统稳定时 即 控制系统稳定性的深入分析后面专门介绍。 3.1.4.2稳态性描述 概念及定义： 在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指：时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称为系统的的稳态响应。系统稳态响应的优劣程度，主要是看系统实际输出状态与希望输出状态之间的差距，及稳态误差。稳态误差的大小是衡量系统稳态性能的重要指标。稳态误差输出量的期望值输出量的实际稳态值 数学描述 控制系统的一般结构: 常用的有两种定义稳态误差的方法:1. 从输入端定义的方法 C(s)= 特殊地H(s)=1为单位反馈系统有 E(s)=R(s)- R(s) 称为系数误差传递函数，反应了在输入作用下，系统误差的变化情况（与系统的开环传函有关）. 2.从输出端的定义方法 E(s)-C(s)=R(s)-C(s)希望输出的拉氏变换 稳态误差 的求取设系统的误差 = + 误差的暂态分量 误差的稳态分量稳态误差的求取： (2) 拉氏变换的终值定理使用终值定理时注意条件。 扰动作用下的稳态误差 如图分析扰动N(s)对系统稳态的影响。利用线性系统的迭加原理设R(s)0（特别注意：无论R(s)是否为零，误差的定义仍然是E(s)=R(s)-B(s)）R(s)=0时E(s)=-B(s)=-H(s)C(s)由第二章的概念可得，由扰动引起的误差传递函数：即E(s)=- N(s)注意：当扰动在不同处加入是，E(s)的表达式略有不同，但分析思路完全相同的。同时考虑输入和扰动对系统的误差，由线性系统可迭加性有：E(s)=R(s)+N(s)=-3.1.4.3 动态性描述反映系统动态过程的性能称为系统的动态性能。描述系统动态性能的指标称为动态指标。通常，对系统动态性能的描述约定为：以系统对单位阶跃信号的响应为准，定义具体的指标，由于系统的响应与初始条件有关，为了便于比较，通常采样标准初始条件（即零初始条件，亦在输入加入以前，系统的输出及输出的各阶导数均为零）不失一般性，设系统的单位阶跃响应如图：（1） 延迟时间 阶跃响应第一次达到稳态值50所需的时间。指输入的稳态值，对单位阶跃为1。(2) 上升时间 响应从稳态值的10上升到稳态值的90所需的时间。（对过阻尼系统）或响应从稳态值的5上升到稳态值的95所需的时间。（对过阻尼系统）或响应从稳态值的0上升到稳态值的100所需的时间。（对欠阻尼系统）(3) 峰值时间响应超过稳态值，达到第一个峰值所需要的时间。(4) 调节时间 响应达到并停留在稳态值的5或2%误差范围内所需的最小时间。(5) 超调量 设c()是在处的值，则(6) 震荡次数 n 响应曲线在时刻之前震荡的次数，曲线与输入稳态值相交次数的一半。注意： 性能指标按特征分为两类： 快速性指标 , , , 振荡性指标； , n 若响应曲线无过调现象，则不定义。这时， c(t)1 （t），记=0(超调量为零) 最常用的的指标是 ， 理论上，及指标指标是越小越好，但实际中是做不到的。3.2 一阶系统的分析 分析的思路：一阶系统的数学描述 稳定性 动态性 稳态性 线性系统的重要结论： 一阶系统的数学模型稳定性分析 () 由稳定性的分析有：时控制系统稳 定, ，控制系统不稳定。本系统= 即 时系统稳定3.2.2 动态性分析 容易求得： 0.69T=2.20T=不存在=4T (=2%)3T (=5%)%=0n=0特点：o 一阶系统可以用时间常数T来度量系统的输出值 t0T2T3T4Tc(t)00.6320.8650.950.9821o 响应曲线的初始斜率为1/T T: 一阶系统的时间常数 T小，1/T大，初始陡，上升快，小 T大，1/T小，初始平，上升慢，大o 根据一阶系统的响应曲线可以求T 常用的方法 0.632 c()处， tT t0处曲线斜率 k1/T 3.2.3 稳态性分析00无差跟踪10无差跟踪有差跟踪不能跟踪3.2.4 线性系统的重要结论(适合：线性定常)=有 (t)=结论：系统对输入信号导数的响应等于系统对输入信号响应的导数同理：系统对输入信号积分的响应等于系统对输入信号响应的积分3.3 二阶系统的分析 分析思路：二阶系统的数学模型稳定性分析动态性分析稳态性分析3.3.1 二阶系统的数学模型一般表达式 其中阻尼比：自然振荡频率（不失一般性设0）方框图形式：闭环形式开环形式特征方程 =0 有解 可见二阶系统的时间响应与二个参数有关对于不同的 ，有七种情况，这七种情况在s平面上分别为：3.3.2 稳定性分析有了二阶系统模型后，对二阶系统的分析归结为稳定性动态性1(t)稳态性,1(t),t, 由微分方程解的知； 当 时特征方程的解具有正的实部。这时：(,为了分析系统的稳定性) （由于 所以）可见当时系统的脉冲响应是发散的，即系统不稳定。分析其动态特性无意义。（对应图中第1，2，3共三种情况） 当 时（称为无阻尼系统） , C(t)其响应是等幅振荡，系统不稳定。 由于不发散，称为临界稳定。 当 时（欠阻尼系统）系统稳定 为包络 当 时（临界阻尼系统） c(t) 系统稳定。 当 时（过阻尼系统）系统稳定。 小结上面各种情况有如下结论：二阶系统当时系统稳定，否则系统不稳定。或 二阶系统特征多项式的系数均大于零（不能等于零，即不能缺项。），系统稳定，否则不稳定。（这一点从数学上十分容易看出）如 下面仅对的情况分析二阶系统的动态性及稳定性。3.3.2.临界阻尼系统(=1) 由c(t)可得，有（t=0）(这一点与一阶系统有别) (t)0（t0）(c(t)单调上升)()=0（t） e(t)=r(t)-c(t)= e=二阶临界系统能够无差地跟踪阶跃信号。计算动态指标：由c(t)曲线可知，这里只需计算，td,t,t，%=0,t不定义，n=0 延迟时间的计算由定义即设， 有e(1+x)=0.5x1.68, td= 上升时间的计算由定义，设，解：由得：,由得： , 过渡过程时间的计算由于单调，由定义， 由上: 3.3.3. (过阻尼情况) =1-+=1-+ (=)=1- (=)=1-=1+ （ C(t)1 二阶过阻尼系统能无差地跟踪阶跃信号性能指标的计算由的曲线知， 不定义， 的计算由定义 可有： 3.3.3动态性分析 分析思路： 由性能指标的定义求 % 有三中方法求 (1)求解微分方程 (2)利用拉氏反变换 (3)由的响应的积分（利用线性系统的结论） 由前面稳定性的分析结论， 对二阶系统动态性能的分析只需分析的情况。 3.3.1. （欠阻尼系统）() () ()误差：有即：二阶系统（欠阻尼）能够无差地跟踪阶跃信号。计算%.（性能指标的求取） 延迟时间 的计算：由的定义知：，代入的表达式有：(即)这是一个含有的隐函数的表达式，整理有：利用数值解释与的关系曲线如图：在内近似地有=有的书上介绍=也是近似值。 上升时间 的计算这里讨论的是欠阻尼情况，按的定义是由01的所用的时间即由定义时有即因为，e0，即有: ，(,), ( 峰值时间 的计算根据的定义知：由 有注意到，有，即有=0, 2,3因为: 出现在的第一个t值上.故, 取=, 即= 调节时间 的计算由的定义有：, (t ,误差带=(0.020.05)所以, t时因为：所以, 取,物理意义是指,取其包络可求得,tln=0.02时，t，=0.05时，t ，,(有时取) 最大超调量 %的取值定义：%=% 注意:%仅与有关, 与无关. 大%小.一般地，取=0.40.8, 这时%=25%2.5%3.3.4稳态分析 分析方法及思路 由前面的分析对于稳定的二阶系统均能无差地跟踪阶跃响应信号 时 时有 = 表明：二阶大阻尼系统跟踪斜坡信号（速度信号）时，稳态误差是一个常数，即，其数值与成正比，与成反比 小的阻尼比可得到小的，但又大了，工程中综合考虑，采用控制。 时 同上 时同前 小结：二阶系统对速度信号的响应存在一个恒定的稳态误差。 D.E：为,的函数表达式 小结：二阶系统对加速度信号的响应的稳态误差为无穷。即：不能跟踪加速度信号。注：不等于不稳定 完全是两个不同的概念。 总：二阶系统的分析结果 控制系统的一般分析：指稳定，稳态，动态三方面的分析，分三节讲3.4.1 控制系统的数学模型 对于线性定常系统，阶数越高系统越复杂。由于数学表达式上的复杂，分析和计算都十分不方便，以前通常将三阶以上的系统称为高阶（含或不含三阶）系统，现在随着计算技术的发展，计算机的普及，高阶系统的计算不再是一个十分困难的事。但工程中为了抓住系统的主要因素，有时也采用一些近似的处理方法。 控制系统的一般模型 = (物理可实现)其中：分别为零，极点可以是实数，可以是零，也可以是虚数。3.4.2 控制系统的阶跃响应 如果系统的闭环极点各不相同，且均系不为零的实数。这时， 当时，具有这样的形式 其中，是实数，可由留数求得取其反变换如果系统的闭环极点各不相同，具有不为零的实数极点和复数极点这时 其中，q+2r = n m n当 时，具有这样的形式取其拉氏反变换有如系统含有相同的极点，其阶跃响应更复杂一些，求取的方法是相同的，实际系统中大多数是互不相同的极点上述的阶跃响应表达式表明，系统（高阶系统）的阶跃响应含有指数函数分量和含有指数函数包络的正余弦分量。利用计算机技术和好的仿真软件，计算的数字解是十分容易的。3.4.3 动态性能指标的计算 当的表达式复杂时，利用定义求动态指标是十分困难的。对于三阶系统有这样的结论（过程略）振荡的三阶系统（具有一对共轭复数极点）不含零点的情况 （ ）（） （当较更靠近虚轴时会出现此种情况）含零点的情况 （ c）非振荡三阶系统（均系实数极点，且稳定） 无零点的情况 有零点的情况 ( )的作用大于的作用还有若干情况不一一列举在实际工程设计中，对于高阶系统采用数字仿真的方法十分有效，在程序中按照指标的定义判断计算即可。3.4.4 控制系统的主导极点，偶极子对消 对于实际的系统，其极点，零点的分布具有多种的形式，这由具体系统的参数，结构确定。有的距实轴远，有的距实轴近，有的距虚轴远，有的距虚轴近，极点的位置反映了系统相应的状态，动态性能的好坏。先看几个例：现象：T 大小极点靠近虚轴大响应慢T 小，有相反的情况二阶系统 响应速度取决于包络：大极点离虚轴远振荡的频率（振荡性能）：高阶系统极点互不相同的事实上，它是由若干一阶系统的响应和二阶振荡环节的响应线性迭加而成。 当系统的极点远离虚轴时，其对应的暂态分量衰减很快，对系统的响应速度影响很小。 由上，零点的位置（的大小）影响的是这些幅值，与响应形态关系不大。 由上面的分析可见，影响系统动态性能的关键是系统的极点，在系统的各个极点中，又以距虚轴近，和距实轴远的极点为重中之重。 在高阶系统的分析中，将由于不同极点引起系统响应的不同分量中的主要分量对应的极点称为主导极点，在高阶系统中抓住了主导极点也就抓住了主要矛盾。 在上面的分析中又知道，距离虚轴近的极点是系统的关键点，因此在控制系统的分析中，将距离虚轴近的极点（且其它极点相对较远，同时近的这些极点附近没有零点），称为系统的主导极点。 在判断系统主导极点时要注意的三点很重要：1. 其它极点相对较近，若距离较近，对系统的影响相差不大，无法区分主次。 2. 极点附近应没有零点，从数学表达式看极点在分母，零点在分子，正好是相反的作用，相距较近时数学上可抵消，工程中作用也相反。 3. 一个实际系统的主导极点可以是一个，两个或数个。这要视具体系统的具体情况。主导极点也可以是实数复数。 偶极子对：是指若在某一极点的附近同时存在一个零点，而在该零点，极点的附近又无其它的零点或极点。就称这个极点和这个零点为一个偶极子对。由于零极点在数学上位置分别是传函的分子分母，工程实际中作用又相反，因此在近似的处理上可相消，近似地认识其对系统的作用相互抵消了。 有了主导极点和偶极子对的概念后，对于高阶系统的分析，在误差精度允许的情况下，可将高阶系统的主导极点分析出来，利用主导极点来分析系统，相当于降低了系统的阶数，给分析带来方便。设某系统（高阶）的输出的拉氏变换为其中，均是S的多项式，设系统有一对共轭复数的主导极点，此时,其中有其它零极点的综合影响主导极点的结果其它零极点的综合影响若是实数不是复数，可相应地求的拉氏反变换。经系统的主导极点，偶极子对的分析后，高阶系统可化减，一般地当作为主导极点的极点与非主导极点在与虚轴的距离3倍以上时，这样简化就能保证一定的精度，有的这个倍数还要小。简化后系统的动态性能指标求取的方法仍然按动态指标的定义求，即先求系统的阶跃响应，然后在进行指标的计算。补充：在分析系统的偶极子对时要注意相应的倍数关系，如 (100倍的关系)例：对上面高阶系统具有二个共轭复数的主导极点时性能指标求取如下：1. 峰值时间 的计算 对求导并令其为零，有 =arctg(-) (*)其中 = （*）式有得零点对的影响 非主导极点的影响 “+”号， 大 减慢 小，加速，越小，越明显若m=0(无零点)，n=2(无其它极点)与前面的二阶欠阻尼一致（2）超调量的计算由由的表达式及c()=1有由（*）式可推得：又由前设，在系统稳定且无差（对阶跃响应）的条件下有 ，即 ， 注意到，(共轭)最后整理有：，该式第一部分是由非主导极点的影响，,使减小，可增大阻尼系数；第二部分是零点的影响，使增大，可减小阻尼系数。（3）调节时间的计算 ，()由定义：，包络 ，整理有，第一部分是非主导极点的影响，第二部分是零点的影响，影响大，对任何系统（高阶）均可采用上面的方法去分析其动态性能。第三章小结时域分析法的特点：o 根据控制系统的传递函数模型或微分方程模型 o 系统输出的表达式 o 根据时域响应分析其系统的性能 。 （以下内容为教材第五章内容，安排到后面第五章）3.3.5 控制系统的稳定性分析 稳定性的概念 线性系统稳定的充要条件 线性系统稳定的必要条件 代数判据（一般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨） 劳斯判据的应用（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中的参数 3.3.5.1 稳定性的概念分析小球平衡点的稳定性 定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统不稳定。理解：3.3.5.2线性系统稳定性的充要条件设系统的微分方程模型为：分析系统的稳定性是分析在扰动的作用下，当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能，亦系统在作用下的性能，亦与系统的输入信号无关，只与系统的内部结构有关。对上述微分方程描述的系统亦只与等式的左端有关，而与右端无关，亦：系统的稳定性是由下列齐次方程所决定：其稳定性可转化为上述齐次方程的解c(t)若则系统稳定，则系统不稳定。分析齐次方程的解的特征。由微分方程解的知识，上述方程对应的特征多项式为：设该方程有k个实根 （i1，2，k）r对复根 （i1，2，r）k2rn 且各根互异 （具有相同的根时分析方法相同，推导稍繁琐）则上述齐次方程的一般解为：其中为常数，由式中的决定，分析可见：只有当时，否则。注：只能是小于零，等于或大于均不行。等于零的情况为临界稳定，属不稳定。综:线性系统稳定的充要条件（iff）是：其特征方程式的所有根均为负实数或具有负的实部。亦：特征方程的根均在根平面（复平面、s平面）的左半部。亦：系统的极点位于根平面（复平面、s平面）的左半部。从上面的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点，看其在s平面上的位置，勿需去计算齐次方程的解（当系统复杂时的计算可能很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。3.3.5.3 线性系统稳定的必要条件设系统特征方程 式中所有系数均为实数，并设（若，对特征方程两端乘（1），可以证明上述特征方程中所有系数均大于零（即 ）是该特征方程所有根在s平面的左半平面的必要条件。也就是说，（）特征根有可能在左半s平面，否则（）特征根中有在虚轴上或右半平面的。证明：设有n个根 k个实根 （i1，2，k）r对复根 （i1，2，r）k2rn则 逐一展开看系数即可。例：F(s)= a0(s-1)(s-2) 10 =a0s2-a0(1+2)s+a012 21 a21 -(1+2)0 120 F(s)=a0(s-1)（s-1）2+12 =a0s3-(21+1)s2+(12+12+211)s-1(12+12) =a0s3-a0(21+1)s2+a0(12+12+211)s-a01(12+12) a11 a21 a31以此类推。根据这条原则，在判断系统稳定时，可事先检查一下系统特征方程的系数是否均为正。注意：此条件仅为必要条件，非充分条件一定要均大于零，不能等于（缺项）或小于零。3.5.4 代数判据3.5.4.1 劳斯判据劳斯判据是1877年Roth提出来的一种代数判据，只介绍方法不证明，证明涉及到高等代数的理论。劳斯判据的三个步骤： 列写系统的特征方程式； 列写劳斯表； 根据劳斯表判断系统的稳定性。 系统的特征方程 劳斯表 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b1 b2 b3 c1 c2 c3 表中 劳斯表中，可以证明：将某一行中所有元素同时乘以某一正数，不影响系统的稳定性的判断。（这样处理往往可以简化计算）3. 定性的判断 若劳斯表中第一列的各元素的符号均为正，则特征方程的所有根位于左半s平面，即系统稳定。若劳斯表中第一列中存在着零元素或小于零的元素，系统则不稳定，劳斯表中第一列符号变化的次数即是系统在右半平面的极点个数。3.5.4.2 递推的劳斯判据与劳斯判据的思路和方法完全相同，仅只是在总结劳斯表的列写上，归纳出下面的递推形式，便于计算机处理或计算。 通项 =- i=1,2,n-1;j=2,4,6偶数 判断：表中若第一列的数，即（I=0，1，2，3，n-1）均大于零时系统稳定。否则系统不稳定。第一列变符号的次数表明了系统在右半平面的极点个数3.5.4.3 赫尔维茨判据（劳斯赫尔维茨判据） 设 系统的特征方程 F（s）=+=0;构造赫尔维茨行列式：= 判断：若的顺序主子式（i=1，2，n）全部为正，系统稳定即 =0 =0 = 对于低阶系统该方法是极其方便的。n=2（二阶）时 各项系数均为正时系统稳定n=3（三阶）时 各项系数均为正且0即例：设系统的特征方程为 +6+12+11+6=01. 满足稳定的必要条件 2. 劳斯表 1 12 6 6 11 61/6 6 （取61 36） 455/61 （取455） 363. 判断第一列均0，系统稳定 事实上该方程F（s）=+6+12+11+6=(s+2)(s+3)(+s+1)极点，例：设系统的特征方程为 +3+2+5+6=0劳斯表 1 2 5 3 1 6 5/3 3 （取5 9） -22/5 6 （取-11 15） 174/11 （取1） 15由第一列的符号可知系统不稳定，且有二个在右半平面的极点。因为第一列中1315，有两次变号。3.5.4.4 劳斯判据中的两种特殊情况(1) 劳斯表中某一行的第一个数出现0，其余不为0或没有（这是因为虚轴上的极点所致）法一：这时系统不稳定，若要继续分析根的分布，可以用一个小的整数代替零。例：特征多项式F（s）=+3+3+1劳斯表 1 1 1 3 3 0(+) 1 3-3/（取-1） 1系统不稳定，符号变化二次，系统有二个右半平面的根。法二：在已有的特征式上乘以一个（s+a）其中a0任意，这是一个稳定的极点，乘上去不改变原系统的稳定性，但改变了原特征式的系数，使劳斯表中不出现零。例：同上 F（s）（s+a）=（+6+12+11+6）（s+a）=+(3+a)+(3a+1)+(3+a)+(3a+1)+a(取a=1) =+4+4+4+4+1劳斯表： 1 4 4 4 4 1 3 +15/4 (取12 15) 1/4 1 (取1 4) s -33 (取-1) 4系统不稳定，符号变化两次。(2) 劳斯表中出现全为0的行这种情况表明在s平面内存在大小相等，但是位置径向相反的极点，即存在大小相等符合相反的实根或一对共轭虚根，或者是对称实轴的两对共轭复根。处理的方法是利用出现全零行的上一行的元素构成辅助方程，利用辅助方程的导数的系数代替原来全零行的系数。继续计算劳斯表辅助方程中含有系统径向极点的信息。例：+2+24+48-25-50=0劳斯表： 1 24 -25 2 48 -50 构造辅助方程2+48-50=0 0 0 求导 8 96 构成新的行8+96=0 24 -50 112.7 -50系统不稳定（出现全0行，变号一次）。由辅助方程式有：2+48-50=0 （-1）（+25）=0得到 =，=事实上原方程 +2+24+48-25-50=0有：（+25）(-1)( +2)=0其根：=，=，=-2 3.5.5劳斯判据的应用3.5.5.1.判断系统的稳定性（略）3.5.5.2.分析系统的稳定域（稳定裕）解释稳定裕的概念。系统稳定与否是由系统的极点是不是任在S平面的左半平面决定的。系统稳定的裕量（程度）是看系统的极点与虚轴的关系。例如二阶系统（欠阻尼）其极点距虚轴越近，振荡性能就越差，振荡越剧烈。 ,系统等幅振荡（临界稳定）。因此，对控制系统的分析一方面要分析系统的稳定与否，往往还要分析它的稳定的裕度（程度，深度）。分析稳定裕度可采用平移S平面上的纵坐标的方法。如图令S=-，即将虚轴平移了。将S=-代入原系统的特征方程。得到以为变量的新的特征方程。检验在平面上系统极点与虚轴的关系，若仍然全部在平面的左边，表明系统具有的稳定裕度。利用这种方法，可求得系统最大的。例：特征方程2s+10s+13s+4=0判断其稳定性，并检验系统是否具有1的稳定裕度解： 该系统是三阶系统 1013=13024=8由赫尔维茨判据知该系统是稳定的。 令S=-1代入原特征方程2(-1)+10(-1)+13(-1)+4=02+4- -1=0存在着一的系数，系统不稳定。故原系统不存在1的稳定裕度。 设代S=-入原特征方程2(-)+10(-)+13(-)+4=0有2+（10-6）+（6-20-13）+（10-2-13+4）=0由稳定判据有（10-6）（6-20-13）（10-2-13+4）时系统稳定。解此不等式的，可求出系统稳定的裕度。3.5.5.3.求系统的极点同求稳定裕度的思路，通过移S平面的纵坐标，可逐一求出系统的极点。（略）3.5.5.4.设计系统的参数（按照稳定性的要求设计）例.如图所式系统，确定K的稳定范围由图：=特征方程s+3s+3s+2s+k=0 =劳斯表 s 1 3 k s 3 2 s 7/3 k s 2 - s k为了使系统稳定2-0,k0。综：14/9k0除K值外，其它参数的设计相同。3.6：控制系统的稳态性分析稳态误差的概念系统类型静态误差系数动态误差系数扰动作用下的稳态误差3.6.1.误差和稳定误差 控制系统准确度（精度）的描述，即静态性能的描述称为系统的稳态误差（前面已有定义和解释）如图示系统=由输入产生的误差传函 由干扰产生的误差传函= ett + ess误差的暂态分量 误差的稳态分量（稳态误差）ess的求取：（1）由定义; ess=ess=（2）拉氏变换的终值定理: ess= 注意条件：在虚轴和右半平面解析。3.6.2.系统的类型简单地，不考虑干扰的情况e=可见：影响e的因素:1.系统结构，2.输入信号R(S)看下面几个例子(1)r(t)=t R(s)= b (2) r(t)=t (3)r(t)=tC(S)= C(S)=c(t)= c(t)=t-1+ 系统的结构不同，相同的输入有不同的r(t)=1 R(s)= r(t)=1 r(t)=1 下面来分析这些关系设系统具有如图的结构不失一般性 可描述为其中： ：开环增益： (i =1,2,3,m; j = 1,2,3,., ) 为时间常数 (指广义的，可以是复数)：开环系统在坐标系原点上极点的个数称：系统为0 型系统系统为型系统 对系统的一种分类方法(按开环具有节点为零的个数)(注意：阶次的分法是不同的)系统为 型系统记 其中 这时(设终值条件满足) = 可见影响的因素 系统的类型 开环放大系数 与 有关 输入信号 在定义的系统的分类下，控制系统的稳态误差的分析归结为典型输入信号3.6.3 静态误差系数 静态误差系数是反映系统静态品质的一种描述，也是反映系数静态误差。它是在一定的条件下反映了稳态误差与结构的关系（与开环放大系数、类型的关系）静态位置误差系数 ()= (,)=拉氏终值定理定义： 静态位置误差系数 于是 ()讨论：0型系统(开环放大倍数)型系统型系统同理可推其他 对应有：对于单位阶越输入信号，其稳态误差可以概括为0型系统 0型系统能跟踪单位阶跃信号，只是有一恒定的误差，于的大小有关型系统 型系统 可见：I 、II型系统可以无差地跟踪单位阶跃系统小结：单位反馈系统中，如前向通道没有积分环节，那么它对阶越输入的响应包含稳态误差，其大小与开环放大倍数有关。要注意的是的大小还与系统的稳定性有关，一般地越大，稳定性越差，这是一对矛盾，设计时要综合考虑。若要求系统对阶跃响应时无静差的，则系统要设计成I型或II型。静态速度误差系数 ()= (,)=终值定理定义：静态速度误差系数 于是 ( )注意：这里“速度”的意思是表示对速度输入的稳态误差，速度误差并不是速度上的误差，是由于速度输入（斜坡输入）而产生的位置误差讨论：0型系统 型系统 型系统 对应有，对单位斜坡输入信号，其稳态误差可以概括为0型系统 0型系统不能跟踪斜坡输入型系统 I型系统可以跟踪，但有一定的误差，误差值与开环放大倍数有关型系统 II型系统可以无差地跟踪斜坡输入小结：静态加速度误差系数 = (,)=定义：静态加速度误差系数 于是： （ 时的位置误差 ）讨论：0型系统 型系统 型系统 对应有，对于单位加速度输入下系统的稳态误差可以概括为：0型系统 表明：0型和I型系统在稳态时都不能跟踪加速度信号型系统 型系统 II型系统能跟踪加速度信号但有一定的误差以此类推。综合上面的分析可以得出下表：（回答了前面提出的问题）注意3点：（1）有的参考书上提“位置误差、速度误差、加速度误差”，并不是速度上的误差和加速度上的误差，指的是速度输入和加速度输入时系统位置上的偏差。（2）“有限的速度误差”指的是在瞬态过程结束后，输入和输出以同样的速度变化，但存在一个有限的位置上的偏差；“有限的加速度误差”同样解释。（3）上表中某些类型对一些输入信号的跟踪误差为，注意在概念上不是不稳定，（许多同学犯这样的概念错误），事实上，控制系统的稳定性于输入信号无关小结：静态误差系数,定量地描述了系统跟踪不同的输入信号的能力，描述了系统对减小或消除稳态误差的能力。因此，它们是系统稳定特性的一种表示方法。当保持瞬态响应在一个允许的范围内，一般希望增加误差系数。在实际系统的控制中，为了改善其稳态性能，可以在前向通道中增加一个或更多的积分环节，使系统的型号增加。这将带来系统的稳定性问题，一般的，前向通道中的积分环节超过2 时，设计便有些困难。 例：设具有测速发电机反馈的位置随动系统如图，要求计算当分别为,时，系统的稳态误差。 解这时 I型系统 =1故 = 时 时 时 比较：的具体值不同，形式是相同的，这是因为的定义不同。3.6.4 动态误差系数动态误差系数又称广义误差系数。 静态误差系数的一个明显特点是，输入是典型信号，误差也表现为常值（含0）或无穷大。该方法简单实用，但对其他情况也存在局限。如输入信号是任意信号，或误差不是常数是随时间变化的函数。或有的误差函数不符合终值定理的条件，或有的特殊系统有效工作时间很短，