【优化方案】江苏省高考数学总复习 第2章第十节课件 理 苏教版.ppt

第十节导数在研究函数中的应用 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 第十节导数在研究函数中的应用 双基研习 面对高考 1 函数的单调性与导数 双基研习 面对高考 思考感悟1 若函数f x 在区间 a b 内单调递增 则f x 0 这种说法是否正确 提示 不正确 函数f x 在区间 a b 内单调递增 则f x 0 此处f x 0 并不是指x在 a b 内处处有f x 0 可能只在某些具体的点处f x 0 即f x 不恒等于0 2 函数的极值 1 函数的极值的概念 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点 极大值点统称为 极大值和极小值统称为 2 求函数极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 检查方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取 如果左负右正 那么f x 在这个根处取 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 极大值 极小值 思考感悟2 方程f x 0的根就是函数y f x 的极值点是否正确 提示 不正确 方程f x 0的根未必都是极值点 3 函数的最大值与最小值在闭区间 a b 上连续 在 a b 内可导 f x 在 a b 上求最大值与最小值的步骤 1 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 求f x 在 a b 内的极值 最大值 最小值 4 生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意 1 在求实际问题中的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际问题的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 那么不与端点值比较 也可知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题时 不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中自变量的定义区间 1 函数f x x lnx的单调区间是 答案 0 1 2 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 答案 5 15 3 f x x3 3x2 3x的极值点的个数是 答案 04 函数y ax3 x在 上是减函数 则a的取值范围是 答案 0 考点探究 挑战高考 利用导数判断函数单调性的步骤 1 求导数f x 2 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0或f x 0 3 根据 2 的结果确定函数f x 的单调区间 思路分析 1 求f x 及f 2 2 求f x 转化为研究二次函数的问题 对a分类讨论 名师点评 常见的分类讨论原因有函数的类型不确定及求的根大小不确定等 与求导后所得的函数类型有关 讨论的关键是要理清线索 做到不重不漏 变式训练1设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 若曲线y f x 的斜率最小的切线与直线12x y 6平行 求 1 a的值 2 函数f x 的单调区间 名师点评 在解决已知函数单调区间求参数值或范围时 要注意两种题型的区别 一是已知f x 单调区间为d 求参数范围 二是已知f x 在d上单调 求参数范围 变式训练2已知f x x2 2x alnx 若f x 在区间 0 1 上恒为单调函数 则实数a的取值范围为 2x2 2x a 0或2x2 2x a 0在区间 0 1 上恒成立 即a 2x2 2x 或a 2x2 2x 而函数y 2x2 2x在区间 0 1 的值域为 4 0 a 0或a 4 答案 a 0或a 4 利用导数求函数极 最 值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 4 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 思路分析 先求出函数f x 的导函数f x 再令导函数f x 0 并求出其根 然后对a分a 0 a 0两种情况 列表讨论f x 与f x 的变化情况 最后由f x 与f x 的变化情况确定出函数的极值 名师点评 本题是三次函数的极值点问题 三次函数求导后 导函数为二次函数 因而讨论时可结合二次函数的知识 尤其是二次函数的图象来研究 变式训练3 2010年高考重庆卷 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b r g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 一般地 对于实际问题 若函数在给定的定义域内只有一个极值点 那么该点也是最值点 2011年泰州高三联考 甲 乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化 甲水池蓄水量 百吨 与时间t 小时 的关系是 f t 2 sint t 0 12 乙水池蓄水量 百吨 与时间t 小时 的关系是 g t 5 t 6 t 0 12 问 何时甲 乙两水池蓄水量之和达到最大值 最大值为多少 参考数据 sin6 0 279 思路分析 建立甲 乙两水池蓄水量之和与关于t的函数关系 利用导数求解模型 解 设甲 乙两水池蓄水量之和为h t f t g t 当t 0 6 时 h t f t g t 2 sint 5 6 t sint t 1 h t cost 1 0 所以h t 在t 0 6 上单调递增 所以 h t max h 6 7 sin6 6 721 当t 6 12 时 h t f t g t 2 sint 5 t 6 sint t 13 h t cost 1 0 所以h t 在t 6 12 上单调递减 所以h t 6 721 故当t 6h时 甲 乙两水池蓄水量之和h t 达到最大值 最大值约为6 721百吨 名师点评 实际应用问题中的导数模型 主要是利用导数求最值 一旦在题中建立了函数关系 就转化成了函数求导问题 因而准确建立函数关系是解题的关键 变式训练4如图 某地有三家工厂 分别位于矩形abcd的两个顶点a b及cd的中点p处 ab 20km bc 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在该矩形区域上 含边界 且与a b等距离的一点o处 建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管道ao bo po 设排污管道的总长度为ykm 1 按下列要求建立函数关系 设 bao rad 将y表示为 的函数 设po x km 将y表示成x的函数 2 请你选用 1 中的一个函数关系 确定污水处理厂的位置 使铺设的排污管道的总长度最短 方法技巧1 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 因此 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 2 证明不等式f x g x 通常转化为证明f x f x g x 0 也就是证明f x min 0 因此可利用导数求f x min 3 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少 但最值只有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 失误防范1 利用导数求解函数的单调区间时 忽视定义域常造成单调区间错误 2 在已知函数的单调性求某些字母的取值范围时 常转化为f x 0或f x 0恒成立的问题 此处易忘掉对 的考虑 即问题考虑不严谨 3 有关函数f x 与f x 的图象 在判断时 f x 的符号反映f x 的单调性 易错认为f x 的图象的单调趋向就是f x 的单调趋向 本部分是历年高考的一个热点 主要考查利用导数判断或论证函数的单调性 函数的极值或最值 在应用题中用导数求函数的最大值和最小值等 属于中高档题 以函数为背景 以导数为工具 在函数 不等式及解析几何等知识网络交汇点命题 已成为高考的热点问题 考向瞭望 把脉高考 另外 利用导数处理三次函数问题已成为新高考命题的一大亮点 而三次函数作为高次函数 在高中数学中 主要是以导数为载体进行研究的 因此 利用导数解决三次函数问题已成为高考命题的一个趋势 名师点评 导数的有关问题的解法基本上是固定不变的 变化的常常是问题与条件的变换 如本题第 3 问是一种恒成立问题 其实质是转化为求 a 的最大值 因而 导数题的难点在于是否理解透彻题意 转化为常见的函数求导问题 在掌握此类题目时可掌握住通性通法 并了解有关的命题方式 1 函数y x 2sinx在 0 2 内的单调增区间为 2 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处取极值10 则f 2 答案 18 3 已知函数f x x3 3x2 9x a a为常数 在区间 2 2 上有最大值20 那么此函数在区间 2