【优化方案】江苏省高考数学总复习 选修系列第二节课件 理 苏教版.ppt

第二节矩阵与变换 第二节矩阵与变换 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 二阶矩阵与平面变换常见的平面变换 2 变换的复合与矩阵的乘法 1 对两个矩阵 规定乘法法则为 2 矩阵的乘法不满足交换律 对于二阶矩阵a b来说 尽管ab ba均有意义 但可能ab ba 矩阵的乘法满足结合律 设m n p均为二阶矩阵 则一定有 mn p m np 矩阵的乘法不满足消去律 设a b c为二阶矩阵 当ab ac时 可能有b c 3 逆变换与逆矩阵 1 设tm是一个线性变换 如果存在线性变换tn 使得tmtn tntm i 则称变换tm 并且称tn是tm的 2 设a是一个二阶矩阵 如果存在二阶矩阵b 使得ab ba e 则称a 或称矩阵a是 并且称b是a的 若二阶矩阵a存在逆矩阵b 则逆矩阵是 通常记a的逆矩阵为a 1 一般地 对于二阶可逆矩阵a ad bc 0 它的逆矩阵为a 1 可逆 逆变换 可逆 可逆矩阵 逆矩阵 惟一的 行列式 乘积之差 4 若二阶矩阵a b均存在逆矩阵 则ab 且 ab 1 b 1a 1 二阶矩阵 也存在逆矩阵 4 特征值与特征向量 1 设a是一个二阶矩阵 如果对于实数 存在一个非零向量 使得a 那么 称为a的一个 而 称为a的属于特征值 的一个 从几何上看 特征向量的方向经过变换矩阵a的作用后 保持在同一条直线上 这时特征向量或者方向不变 0 或者方向相反 0 特别地 当 0时 特征向量就被变换成了零向量 特征值 特征向量 特征多项式 考点探究 挑战高考 1 求变换后的解析式常采用数形结合的方法 先观察是属于哪一种变换 然后利用解析几何中的相关点法 亦称转移法 来解 2 对于已知变换前后的象和原象 要求变换矩阵这类问题 我们显然无法对所有的变换进行一一尝试 用待定系数法解题可起到事半功倍的效果 通过具体的矩阵对平面上给定图形 如正方形 三角形 的变换 应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换 恒等 反射 伸压 旋转 切变 投影变换 已知 abc经过矩阵m的变换后变成了 a b c 且a 1 0 b 1 1 c 0 1 a 1 0 b 0 1 1 试求出矩阵m 并说明它的变换类型 2 试求出点c 的坐标 名师点评 伸压 反射 切变变换这三种几何变换称为初等变换 对应的变换矩阵为初等变换矩阵 由矩阵的乘法可以看出 矩阵的乘法对应于变换的复合 一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合 可知a b c三点在矩阵mn作用下变换所得到的点分别为a 0 0 b 0 4 c 2 4 可得s a b c 4 所以 abc在矩阵mn作用下变换所得的图形的面积为4 对于几何意义明确的矩阵变换 应注意几何意义在解题中的应用 还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的 解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合 另外对运算律的灵活运用将有助于我们简化运算 但要十分注意的是 有些运算律 如交换律和消去律 在矩阵的乘法运算中并不成立 思路分析 名师点评 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时 变换矩阵可以通过待定系数法解决 在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚 防止混淆 如果向量 是属于 的特征向量 将它乘以非零实数t后所得的新向量t 与向量 共线 故t 也是属于 的特征向量 因此 一个特征值对应多个特征向量 显然 只要有了特征值的一个特征向量就可以表示属于这个特征值的共线的所有特征向量了 2 对于矩阵来说 矩阵的一个特征向量只是属于a的一个特征值 属于矩阵a的不同特征值的特征向量相互之间一定不共线 若 是矩阵a的属于特征值 的一个特征向量 则对任意的非零常数k k 也是矩阵a的属于特征值 的特征向量 方法技巧 1 伸压变换是指沿着特定坐标轴方向伸长或者压缩的变换 我们不能简单地把伸压变换理解为把平面上的点向下压 或者向上拉伸 2 在旋转变换中的 为一个实数 叫做旋转角 当 0时 旋转的方向是逆时针 当 0时 旋转的方向则是顺时针 我们一般是讨论逆时针方向 3 投影变换不是一一映射 投影变换不仅仅依赖于投影的目标直线 点 还依赖于投影的方向 4 矩阵的乘法对应着变换的复合 这样简单的变换可以复合成较为复杂的变换 反过来一些较复杂的几何变换实际上可以分解为若干简单的变换 可以用二阶矩阵表示的 5 矩阵的乘法与数的乘法之间有着很多本质的区别 同样矩阵乘法的性质与数的乘法之间也有着本质的区别 6 关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质 矩阵的乘积 行列式以及线性方程组的解等有密切的联系 或说是所学知识的一个综合使用 本部分的学习在本专题中既是重点 又是难点 大家可先从一些具体的几何变换的不变量入手 体会特征向量是客观存在的 并且是重要的 逐渐从直观到抽象更好地理解特征向量的概念 考向瞭望 把脉高考 从近几年的江苏高考来看主要考查二阶矩阵的基本运算 例2010江苏21 2 主要是以解答题的形式出现 预测在2012年江苏高考主要考查 1 矩阵的逆矩阵 2 利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程 本题满分10分 2010年高考江苏卷 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 0 0 b 2 0 c 2 1 设k为非零实数 m n 点a b c在矩阵mn对应的变换下得到的点分别为a1 b1 c1 a1b1c1的面积是 abc面积的2倍 求k的值 可知a1 0 0 b1 0 2 c1 k 2 6分计算得 abc的面积是1 a1b1c1的面积是 k 则由题设知 k 2 1 2 8分所以k的值为 2或2 10分 名师点评 本部分只对具体的二阶矩阵加以讨论 由于该内容比较抽象 故可通过具体的线性变换实例进行学习 切忌只从理论到理论的抽象推导 2 在平面直角坐标系xoy中