【同步导学】高中数学下学期 1.4.11.4.2单位圆与周期性课件 北师大版必修4.ppt

4正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式4 1任意角的正弦函数 余弦函数的定义4 2单位圆与周期性 1 单摆运动是周期运动 如果一个周期为0 5秒 那么摆动4秒 小球经过了 个周期 2 如图 在直角 abc中 sina cosa tana 8 1 单位圆的定义在直角坐标系中 以 为圆心 以 为半径的圆 称为单位圆 2 一般地 在直角坐标系中 给定单位圆 对于任意角 使角 的顶点与原点重合 始边与x轴正半轴重合 终边与单位圆交于点p u v 那么点p的纵坐标v叫作角 的 记作v sin 点p的横坐标u叫作角 的 记作 原点 单位长 正弦函数 余弦函数 u cos 通常 我们用x表示自变量 即x表示角的大小 用y表示函数值 这样我们就定义了任意角三角函数y sinx和y cosx 它们的定义域为全体实数 值域为 3 正 余弦函数的周期性sin k 2 k z cos k 2 k z 由此我们可以得到如下结论 终边相同的角的 相等 1 1 sin cos 同一三角函数的值 4 周期函数的有关概念 1 周期函数的定义对于函数f x 如果存在 实数t 任取定义域内的任意一个x值 都有 f x 那么函数f x 就称为周期函数 t称为这个函数的 2 最小正周期2 是正弦函数 余弦函数正周期中最小的一个 称为最小正周期 非零 f x t 周期 答案 b 答案 a 答案 4 若f x 是以2为周期的周期函数且f 1 2 则f 5 答案 2 可先设角 终边上任一点的坐标 然后借助三角函数定义加以解决 题后感悟 解已知角 的终边在直线上的问题时 先利用直线与单位圆相交 求出交点坐标 然后再利用正 余弦函数的定义求出相应三角函数值 首先判断角所在的象限 再判定函数值的符号 题后感悟 准确确定三角函数值中角所在象限是基础 准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键 可以利用口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 来记忆 2 若sin cos 0 则 在 a 第一 二象限b 第一 三象限c 第一 四象限d 第二 四象限解析 sin cos 0 sin 与cos 异号 所以 在第二 四象限 答案 d 利用周期函数的定义进行判断 解题过程 由周期函数的定义可知f x t f x 对定义域内的任意一个x都成立 且t 0 故不正确 由周期函数的定义可知t 0 故不正确 若t为周期 则f x 2t f x t t f x t f x 故2t也是周期 不正确 答案 a 题后感悟 求解或证明一个函数是否为周期函数或周期的大小常用的方法有 1 定义法 即对定义域内的任意一个x值 是否存在非零常数t 使f x t f x 成立 若成立 则是周期函数 且t是它的一个周期 2 图象法 先作出函数图象 再观察图象的周期性 从而得出周期 3 已知f x 3 f x 求证 f x 是周期函数 并求出它的一个周期 解析 f x 6 f x 3 3 f x 3 f x f x 是周期函数 且6是它的一个周期 1 三角函数值是比值 是一个实数 这个实数的大小和点p x y 在终边上的位置无关 只由角 的终边位置确定 即三角函数值的大小只与角有关 2 符号sin cos 是一个整体 离开 sin cos 不表示任何意义 更不能把 sin 当成 sin 与 的乘积 3 正 余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等 作用是把求任意角的三角函数值转化为求0 2 或0 360 角的三角函数值 4 周期函数的定义中 对定义域内的任意一个x 的含义是指定义域内的所有的x值 即如果有一个x0 使f x0 t f x0 那么t就不是函数f x 的周期