配以对偶_柳暗花明_由一道试题的_特别奖_解法引发的思考.pdf

配以对偶 柳暗花明 由一道试题的 特别奖0解法引发的思考 程 汉 波 杨 春 波 华中师范大学数学与统计学学院 430079 大家知道 数学中有许多问题有着和谐的对称 美 如等差数列 an 的前 n 项顺序和与逆序和相 加 由此巧妙地得到前 n 项求和公式 解题中如果 能善于挖掘与利用这种和谐对称美 往往会有意想 不到的收获 配以对偶这种解题技巧就是其中典型 的一例 引例 第 46 届 IMO 第 3 题 设正实数 x y z 满足xyz 1 证明 x 5 x2 x 5 y2 z2 y 5 y2 y 5 z2 x2 z 5 z2 z 5 x2 y2 0 当年此题的平均得分为 0191 分 摩尔多瓦选手 Boreico Iurie 的解法获得了第 46 届 IMO 特别奖 他 的证法大致如下 记A x 5 x2 x 5 y2 z2 y 5 y2 y 5 z2 x2 z 5 z2 z 5 x2 y2 6 x 5 x2 x 5 y2 z2 B x 5 x2 x 3 x2 y2 z2 y 5 y2 y 3 y2 z2 x2 z 5 z2 z 3 z2 x2 y2 6 x 5 x2 x 3 x2 y2 z2 则 A B 6 x 5 x2 x 5 y2 z2 x 5 x2 x 3 x2 y2 z2 6 x 3 1 2 y2 z2 x x 5 y2 z2 x2 y2 z2 0 所以 A B 1 x 2 y2 z26 x 2 1 x 1 x 2 y2 z26 x 2 yz 0 因为 xyz 1 特别奖的解答针对原式 A 的特点 构造了式子 B 欲擒故纵 通过 A 与B 间的运算 以 B 为桥梁顺 利证得 A 0 这启示我们 在解决某些数学问题 时 针对其中某个式子 A 的特点 为其配凑一个合 适的对偶式 B 使得由 A 和B 之间的某些运算 能 产生一些有用的关系式 如常数 对称式 标准式等 从而促使问题向有利的方向转化 进而解决问题 我 们将这种解决问题的技巧称为配以对偶的技巧 运 用该技巧的一般步骤是 步骤 1 将已知式设为 A 并配其对偶式B 步骤 2 对 A 与B 进行适当的运算 步骤 3 转化或消去 B 从而解决原问题 配以对偶 功效独特 往往能柳暗花明又一村 对偶式的构造往往不拘一格 主要有互余型对偶式 和差型对偶式和对称型对偶式等 下面结合若干例 题 对配以对偶的技巧在数学解题中的应用再加以 阐述 1 互余型配以对偶 在三角函数 A f x y 的求值 化简与证 明中 构造其对偶式 B f P 2 x P 2 y 有时 能收到化繁为简 化难为易而豁然开朗的功效 例 1 求值 cos P 7 cos 3P 7 cos 5P 7 解 设 A cos P 7 cos 3P 7 cos 5P 7 构造其互 余对偶式 B sin P 7 sin 3P 7 sin 5P 7 则 A 2 B2 3 2cos 3P 7 4cos 5P 7 A 2 B2 5cosP 7 3cos 3P 7 cos 5P 7 两式相加得 2A 2 3 5A 解得 A 1 2 舍 去 A 3 注 用同样的方法可求得 cos P 5 cos 3P 5 24 数学通讯 2012 年第 12 期 下半月 解题方法 cos P 9 cos 3P 9 cos 5P 9 cos 7P 9 的值均为 1 2 进而可 以归纳猜想得到一般结论 cos P 2n 1 cos 3P 2n 1 cos 5P 2n 1 cos 2n 1 P 2n 1 1 2 例 2 已知 a b 为整数且 a b 0 sinH 2ab a2 b2 其中 HI 0 P 2 An a2 b2 nsinnH 求 证 对一切自然数 n An均为整数 证 明 构 造 An的 对 偶 式 Bn a2 b2 ncosnH 下面用数学归纳法证明更强的结论 An Bn都是整数 1 当 n 1 时 由 sinH 2ab a2 b2 知 cosH a2 b 2 a2 b 2 则 A1 a 2 b2 sinH 2ab B1 a2 b2 cosH a2 b2 于是 A1 B1都是整数 2 假设当 n k 时 Ak Bk都是整数 则当 n k 1 时 Ak 1 a2 b2 k 1sin k 1 H a2 b2 k 1 sinkH cosH coskH sinH A kB1 BkA1I Z 同理可得 Bk 1 BkB1 AkA1I Z 由 1 2 知 Ak Bn都是整数 注 根据该题可以找到 2010 年全国高考江苏 卷理科数学压轴题 已知 vABC 的三边长都是有理 数 1 求证 cosA 是有理数 2 求证 对任意的正 整数 n cosnA 是有理数0的缩影 2 和差型配以对偶 和差配对0即将 A f x y 与 B f x y 配对 如 a b 与 a b a b 与 a b a bi 与 a bi 均属常用的和差配对例子 例3 已知 a b c I R a2 b2 c2 d 2 1 求证 a b 4 a c 4 a d 4 b c 4 b d 4 c d 4 6 证明 记不等式左边为 A 构造 A 的对偶式B a b 4 a c 4 a d 4 b c 4 b d 4 c d 4 于是 A B 6 a4 b4 c4 d 4 2a2b2 2a2c2 2a2d 2 2b2c2 2b2d2 2c2d2 6 a2 b2 c2 d 2 2 6 又 B 0 所以 A a b 4 a c 4 a d 4 b c 4 b d 4 c d 4 6 例 4 求 2 3 2012的小数点的前一位与后 一位数字 并证明你的结论 解 设 A 2 3 2012 5 2 6 1006 构造 A 的对偶式B 5 2 6 1006 则 A B 2 51006 C 2 100651004 2 6 2 C1004 100652 2 6 1004 2 6 1006 10m 2 26 1006 10m 2 24503 其中 m 为正整数 容易判断 24503的个位数字是 4 所以 A B 的 个位数字是 8 又 B 5 2 6 1006 1 5 2 6 1006 1 5 1006 0 证明 a b c b c a c a b 3 2 证明 设 A a b c b c a c a b 构造其对偶 式 B b b c c c a a a b C c b c a c a b a b 则 A B a b b c b c c a c a a b 3 A C a c b c b a c a c b a b 3 所以 2A B C 6 又由 B C 3 所以 A a b c b c a c a b 3 2 注 此不等式为著名的 Nesbitt 不等式 它证法 众多 可 直接化简证明 也可利用均 值不等式 Cauchy 不等式 排序不等式 Jensen 不等式等进行 证明 对比发现 配以对偶的证明优美简洁 令人叹 为观止 回味无穷 25 解题方法 数学通讯 2012 年第 12 期 下半月 例6 设 x y z 是正实数 求证 z z 2 y2 x y x x 2 z2 y z y y 2 x2 z x 0 证明 记不等式左边为 A 构造其对偶式 B z z 2 x2 x y x x 2 y2 y z y y 2 z2 z x 则 A B z x 2 y2 x y x y 2 z2 y z y z 2 x2 z x z x y x y z y z x 0 A B A B z z 2 y2 x y y y 2 z2 z x x x 2 z2 y z z z 2 x2 x y y y 2 x2 z x x x 2 y2 y z x y z y z y z 2 x y z x x y z z x z x 2 y z x y x y z x y x y 2 z x y z 0 所 以 A z z 2 y2 x y x x 2 z2 y z y y 2 x2 z x 0 注 类似地 利用配以对偶的技巧 可以证明著 名W Janous 的猜想 设 x y z 是正实数 求证 z 2 y2 x y x 2 y2 y z y 2 x2 z x 00 例7 若 a1 a2 an 1 aiI R i 1 2 n 证明 a41 a31 a21a2 a1a22 a32 a42 a32 a22a3 a2a23 a33 a4n a3n a2na1 ana21 a31 1 4 证明 记不等式左边为 A 构造 A 的对偶式 B a42 a31 a21a2 a1a22 a32 a43 a32 a22a3 a2a23 a33 a41 a3n a2na1 ana21 a31 则 A B a41 a42 a21 a22 a1 a2 a42 a43 a22 a23 a2 a3 a4n a41 a2n a21 an a1 a1 a2 a2 a3 an a1 0 A B 又A B a41 a42 a21 a22 a1 a2 a42 a43 a22 a23 a2 a3 a4n a41 a2n a21 an a1 由基本不等式 易得 a4i a4j a2i a2j 1 2 a2i a2j a2i a2j ai aj 1 2 ai aj 故 A B 1 2 a21 a22 a1 a2 a22 a23 a2 a3 a2n a21 an a1 1 4 a1 a2 a2 a3 an a1 1 2 A 1 4 注 类似地 利用配以对偶的技巧 可以证明第 24 届全苏中学生数学竞赛试题 证明 对于和为 1 的正数 a1 a2 an 不等式 a21 a1 a2 a22 a2 a3 a2n an a1 1 2 成立0 结语 在数学解题过程中 如果我们能恰当地构造出 对偶关系式 不仅能够收到以简驭繁 简缩思维 拓 宽思路的功效 从而提高解题速度 而且让人萌生一 种 山重水复疑无路 柳暗