谈如何从事科学展览.doc

談如何從事科學展覽高雄師範大學數學系 左太政教授壹、何謂數學科展：數學科展是同學的數學課外活動之一，選取題材可能有關：1.解釋數學的理論；2.解決數學問題；3.利用不同的數學概念探討遊戲。貳、參與數學科展活動的重要性：科展是推展數學教育活動之一，其重要性如下：一、科學研究應是科學教育之一部份，可訓練同學敏銳的觀察力、創造力及思考力。藉觀察去發掘一些問題，並能使用科學的方法來解決問題，期使能透過科學方法使同學獲得一些知識。二、同學個人從事科展(專題研究)工作，期望自老師處獲得指導、建議並評估其正確性，尤其是在思考、觀察、創造及作品結構方面。三、科展(專題研究)是老師在教學過程中，指導同學如何學習自生活經驗取材或加深加廣教材，使同學瞭解數學與生活的連結，這也是一種學習活動。四、同學可自科展研究過程中獲得解題思考的表達能力。五、同學可自科展研究過程中獲得組織數學知識的能力。簡言之，同學在老師指導下，以類似科學研究的方法去從事專題研究以獲取知識、應用知識和解決問題；從而能掌握知識的內容，使同學能體驗、理解和應用科學的方法，培養創新的精神和實踐的能力。參、如何尋找科展(專題研究)之題材：科展題材應以同學所學習教材內容所做之科學研究為主；老師可協助同學尋找具挑戰性題材，使其與教材結合。科展題材及內容須考慮下列因素：一、選擇何種類型的專題研究的問題(適合同學的程度)(例如：幾何、數論、組合、益智數學遊戲、代數等題型)二、自何處找問題：請老師提供題材(目)或引導學生去發掘題材，或由同學間經由討論或發掘題材，最好能隨時記錄所查到資料並註明出處。另外，可考慮自下列尋找題材：1.國內外數學競賽試題的推廣或修改。2.數學或科學類課本、書籍、國內外期刊、報章雜誌等。3.已發表的作品之修改、推廣或利用不同方法(強調一題多解)：例如有關魔方陣、黃金分割、商高定理、河內塔(Hanoi Tower)、費瑪點及拿破崙定理、點燈問題等問題。4.利用網際網路資源-國內外數學各領域相關資源網站等。5.結合電腦的應用：利用軟體輔助解決問題如動態幾何(GSP)、 幾何專家(GEX)等，或先用電腦實驗尋求解答再輔以數學方法來驗證。6.自生活中尋找問題或與其他學科的連結。肆、如何蒐集研究資料：題目確定後，下一個步驟是同學自行蒐集相關資料，可請教師長、同學、家人或到校內外圖書館、或上網尋找相關資料。伍、如何整理資料編製好的數學專題研究問題，可引發研究其解題策略，使其能成為一個專題研究的好題材，而專題研究本身就是解題活動，藉此可培養學生數學的能力。一、何謂數學能力？數學能力是一種特殊的能力，它是在學習數學的過程中所形成和發展的。就整個數學學習的過程中，所提及的數學能力通常包括一般能力和數學基本能力，而數學基本能力就是課程綱要要求培養的計算能力、邏輯推理能力、平面與空間的概念和解決簡單的實際問題之能力。同學的數學能力之培養可經由老師在指導科展時要求同學生而獲得：1.在教學及解題過程中培養觀察能力2.培養理解能力3.培養記憶能力4.培養連結(應用)能力-能解決簡單實際問題的能力5.培養計算能力6.培養邏輯思維能力-比較能力、分析及綜合能力、抽象及概括能力、判斷及推理(含歸納及演繹)能力。7.培養平面及空間想像能力8.培養創造性思維能力二、解題方法的三個層次1.解題的具體方法和技巧如一元二次方程式的公式解等。2.數學解題的一些通則-如歸納法和演繹法、直接證法和反證法、分析法和綜合法、解析法等。3.數學解題中的思考原則和策略。三、數學解題策略通常數學解題的過程可依下列四個步驟：1.瞭解問題-審查題意，發掘概念內涵；若題意不了解，不妨再閱讀二至三次，直至了解題意。2.擬定計畫分析問題及產生聯想，尋求解題途徑(1) 儘可能畫出圖形或表格 (2) 檢查特例如令問題中整數取 1， 2， 3， 4， 5 等代入，看看是否可歸納出規律來。 (3) 嘗試簡化問題如利用對稱性、採用不妨假設 而不失問題的一般討論方式。 (4) 保留任何解題的紀錄，以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。3.實行計畫-選擇策略及綜合運用知識去進行推理計算解決問題4.回顧解答-驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題，甚至於自己修改原問題或推廣其結論，形成另一個問題，亦可考慮作為專題研究之題目。簡言之，通常解題活動先從題目待答或待證明的地方著手(Request)，適時引進題目的以之條件及潛在的性質(Response)，最後導出結果(Result)；這就是3 R 策略。陸、如何撰寫研究報告作品說明需用 WORD 檔以 A4 格張直式橫書，並需繳交電腦檔。一、摘要(三百字以內)二、研究動機：敘述問題如何發生，並需說明作品與教材的教學單元相關性。三、研究目的：具體明確簡潔地說明待答(待解決)的問題。四、研究設備器材：例如使用個人電腦、列表機、硬紙板及較具模型等。五、研究過程或方式：依據研究目的將待答的問題有步驟且分段的一一解決。若有必要，需先舉特例說明，再予以推廣至一般情形。研究內容需以學生在學期間之教材內容所做之科學研究為主。六、研究結果七、結論：依據各項研究結果提出總結，並可提出進一步待解的研究問題。八、討論：對研究結果作進一步的探討或推廣。九、參考資料及其他：與作品有關的資料儘量列，並依規定格式列出中英文文獻及參考網站，如下列範例：1.康明昌著(1987)，幾個有名的數學問題，臺北：中研院數學研究所。2.Larson，R. E.(1994)，Calculus，MA：D.C. Heath and Company.十、附錄-圖形、實驗數據、電腦列印結果、模型等。柒、科展作品內容應注意事項如下：須注意參展作品之內容是否為已知的結果，例如：商高定理的證明、魔方陣、費瑪點、河內塔、點燈問題等。1.作品需依規定格式撰寫，必要時附上實驗數據及草稿。2.展覽內容以學生在學期間之教材內容所做之科學研究為主。3.強調題材與教材的相關性。4.對作品的要求：(1) 如何引起動機(2) 強調創意及鄉土性(3) 是否由同學們自行做(4) 思考的程序必要時先以電腦呈現其可能結果(5) 研究方法之嚴密性及完整性(是否只歸納結果而缺驗證)(6) 不得只以電腦處理結果呈現而不用數學驗證(7) 研究日誌或數據之詳實性(8) 參考資料來源與主題之相關性(9) 同學表達能力及生動程度(操作技術)(10)學術性或實用性價值(11)主題與教材之相關性評審作品之流程1.各區承辦科展學校將收齊之參展作品說明書，於參展日的前一星期送至評審教授(或教師)處；2.評審委員審查參展作品，標記作品疑問之處，必要時須找尋相關資料及確認是否為已知結果；3.設計評審當天的問題。捌、結語一般而言，從事科學專題研究可使同學從中學習思考、創造及解決問題之能力等。同時，若作品能在科展獲得獎勵優勝者，則有助於推薦甄選或申請進入高中或大學。附錄一： 國外教學資源及競賽題庫網站第一部分：中小教學資源網站1. /content.html2. /ck6/tcenters (triangle centers)3. /lanius/Lessons (Math lessons)4. /research/primes5. /research/primes/largest.html6. /teachers/high/ (High school teachers place)7. www.ee.surrey.ac.uk/Personal/P.Knott/Fibonacci/fibpuzzles2.html第二部分：競賽題庫資源網站 1. /lanius/Geom/quiza.html (SAT-type test)2. /amc/problems.html (AMC Problems， Problems， Problems)3. /index.html (Index and Journal problems)簡介：題目難度高，適合作為專題研究題材。4. /mathCenter.html (Internet center for mathematics problems)5. /mathsites/problems.html (Internet center for mathematics problems)6. www.ualberta.ca/ahsmc/links.html (AHSMC Links for math contests)7. olympiads.win.tue.nl/imo/ (International Mathematics Olympiad-IMO)附錄二、 自競賽題中尋找可能的專題研究題材1.卡布列克(L. D. Kaprekar，印度數學家)怪數是類似 這樣的數，即一個 2n 位數，把前 n 位數當作一個數加上這個數的後 n 位數，它們之和的平方正好等於這個 2n 位數。試問四位數中有那些卡布列克怪數？(能否找出所有卡布列克怪數？) (提示：共有三組解-2025、3025、9801，巴納德找出：1、 81、52881984、60481729，試問如何求出其他位數？)【註】：對於奇數位的整數，偏前(或偏後)的斷開成兩個數，求其和後再平方正好等於原數，仍稱為卡布列克怪數，例如 88209=， 493817284=(4938+17284).2.試找出所有正整數使得恰好等於它的所有數字的三次方的和，例如：， 等，是否還有其它解？3.有7個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。(1) 規定每一次運動時，正好翻動其中任意四個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下？(2) 同上，規定每一次運動時，正好翻動其中任意六個， 試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下？(提示：可考慮從杯子數少時如 2、3、4、5、6 個分別討論並記錄其結果)4.有8個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意七個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下？5.如何推廣上述問題？即什麼情形下可以做到，什麼情形下不可以做到？6.魔方陣的聯想。7.其他數論、幾何等問題。8.目前市面上的益智性教具遊戲如土波鼠、斜方塊等。主題一、從鐘面數談起將整數分組的概念1.已知鐘面上有12個數分別為 1、2、3、12今將這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？2. 如何將問題1 的結果推廣至個數分別為，？3.已知有128個數分別為，今將這些數分為四組，使每組皆有32個數且每組的數之和都相等，試問應如何分法？4.已知有81個數分別為 ，今將這些數分為三組，使每組皆有27個數且每組的數之和都相等，試問應如何分法？【註】：問題4若改為下列問題時，可形成專題研究（科展）題材：5.已知有個數分別為，.今將這.些數分為 組，其中 為之因數，使每組皆有個數且每組的數之和都相等，試問應如何分法？主題二、 河內塔 (Hanoi Tower)數學歸納法及遞迴關係式之教學所使用的教具1.已知一河內塔上有3 根小木條，最左一根木條排列著n個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列； 若規定一次只能移動一個圓盤且小的圓盤必須在大的圓盤的上面， 試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至中間那一根小木條上？(解)：設 f(n) 表示n個圓盤依原來的排列次序全部移至另一根小木條上所需最少次數，則我們得知 f(1)=1、f(2)=3，且由操作過程中得到f(n)=2 f(n-1) +1 (遞迴關係式)，故， n=1、2、3、。2.承上題，已知一河內塔上有3 根小木條，最左一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列，若規定一次只能移動一個圓盤，小的圓盤必須在大的圓盤的上面，且僅能將圓盤移動至旁邊位置(不可跳著移動)的小木條上，試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至中間的小木條上？(提示： .)3.將河內塔上的3 根小木條依序排列在一圓周上，分別標上號碼 1、 2、3，如果 1 號一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列，且規定一次只能依順時針方向移動一個圓盤，試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至 3 號小木條上？ 2 號小木條上？ 4.已知一河內塔上有 n 根小木條，最左一根木條排列著 n 個大小不同的圓盤，由小而大且由上而下排列，若規定一次只能移動一個圓盤，試問至少須移動多少次才能將此 n 個圓盤依原來的排列次序全部移至另一根小木條上？5.試分別討論上述問題中n個大小不同的圓盤改成 n 個大小一樣但塗上兩種、三種等不同顏色的圓盤。6.河內塔與九連環之相關性。（九連環之遞迴關係式為）主題三、整數三角形 (Integer Triangle)預備知識：三角函數及其性質、正弦定理、餘弦定理、面積公式、海龍公式。定義：凡是三邊長都是正整數的三角形稱為整數三角形。海龍公式 (Heron formular)Alexandria 城的數學家 Heron(或稱為 Hero，西元10-75)，他專長於幾何及力學， 於西元60年時發表海龍公式。1.設三角形的三邊長分別為 a、b、c，試導出海龍公式。2.設四邊形內接於一圓，若其四邊長分別為 a、b、c、d， 試求此四邊形的面積。(Brahmagupta 公式)3.設四邊形 ABCD 的四邊長分別為 a、b、c、d，試求此四邊形的面積。4.已知三角形的三邊長分別為 10、17、21， 試求其三高長。 5.設a、b、c為一個三角形的三邊長，且s=( a+b+c)/2.試問滿條件 s(s-c)=(s-a)(s-b) 的三角形是何種三角形？海龍三角形(Heron Triangle) 定義：凡是面積仍是正整數的整數三角形稱為海龍三角形。例如：三角形的三邊長分別為 3、4、5 是海龍三角形。1.已知海龍三角形的兩邊長分別為 9、10，試求其第三邊長。2.設a、b、c為一直角三角形的三邊長，其中c為斜邊長，已知a、b、c皆為正整數，且其和等於 1000，試求所有可能$(a，b，c)的值。3.已知一直角整數三角形的三邊長為兩兩互質，若其面積值為630，且周長為126，試求此三角形的三邊長。4.設a、b、c為一直角三角形的三邊長，其中c為斜邊長，已知 $a、b、c皆為正整數，且其和等於1000，試求所有 (a，b，c) 的值。5.如果三角形的三邊長分別為 3、4、5，則面積為6，我們發現此三角形的三邊長與面積恰好是連續整數。試求滿足這種條件的所有海龍三角形。6.試求周長是12的所有海龍三角形。7.試求周長一定但至少有兩種不同的海龍三角形之最小周長。8.試求周長是100單位的五個不同的海龍三角形。9.試求周長是84的所有海龍三角形。10.能否找出所有的海龍三角形？尤拉三角形 (Eulerian Triangle)定義：凡是三中線長都是正整數的整數三角形稱為尤拉三角形。例如：三角形的三邊長分別為 136、170、174時，其三中線長為 158、127、131。1.設三角形的三邊長分別為a、b、c，若三中線長為x、y、z，試以 a、b、c表示