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第二章 波函数与薛定谔方程（1）一、填空题1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 连续性 ； 单值性 。根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 概率 波，波函数模的平方表示粒子在空间的几率分布，称为 概率密度 。而表示 在空间体积 dt中概率，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 归一化 。2、量子力学的状态由 波函数 描述，在体系空间r点处小体积元d内粒子出现的几率与波函数模的平方（|2） 成正比。3、根据波函数的统计解释，的物理意义为 粒子在xdx范围内的概率 。4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 单值性 ；连续的。5、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单值（3）波函数有限。6、三维空间自由粒子的归一化波函数为= ， 见书P18 。7、动量算符的归一化本征态 ， 见书P18 。8、按照量子力学理论，微观粒子的几率密度= 见网页收藏 ，几率流密度= 。9、设描写粒子的状态，是 概率波 ，在中力学量的平均值为= 。10、波函数和是描写 状态，中的称为 ，不影响波函数的归一化，因为 。11、定态是指 的状态，束缚态是指 的状态。12、定态波函数的形式为 。13、是定态的条件是 ，这时几率密度和 都与时间无关。14、波函数的统计解释 15描述微观粒子状态的波函数应满足的三个标准条件 。16、粒子作自由运动时，能量本征值是 _ _。17、已知的本征函数为，与它相应的本征值为E，则（C为常数）的本征函数为 ，本征值为 。18、当量子体系处于定态时，体系具有确定的 ，也即体系的 算符代表的力学量有确切值。二、选择题1、有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是 A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波. B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包. C.单个微观粒子具有波动性和粒子性. D. A, B, C.2、设粒子归一化波函数为，则在范围内找到粒子的几率为 （A） （B）2 （C） （D）3、设和分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态的几率分布为 A. B. +C. +D. +4、已知波函数.其中定态波函数是 A. B.和 C. D.和 5、若波函数归一化，则 A.和都是归一化的波函数 B.是归一化的波函数，而不是归一化的波函数 C.不是归一化的波函数，而是归一化的波函数 D.和都不是归一化的波函数.(其中为任意实数)6、波函数、(为任意常数)， A.与描写粒子的状态不同.B.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: . C.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是.D.与描写粒子的状态相同7、两个粒子的薛定谔方程是 A. B. C. D.8、波函数的标准条件为 A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒9、下列波函数中，定态波函数是 A. B. C. D. 10、关于波函数的含义，正确的是 A. 代表微观粒子的几率密度；B. 归一化后， 代表微观粒子出现的几率密度；C. 一定是实数；D. 一定不连续。11、一维的薛定谔方程，如果 是该方程的一个解，则 A. 一定也是该方程的一个解；B. 一定不是该方程的解；C. 与 一定等价；D.无任何结论。12、设波函数，为常数，则归一化常数A为 （A） （B） （C） （D） 14、已知做直线运动的粒子处于状态，则归一化常数C为 （A）1 （B） （C） （D） 15、若，则常数称为算符的 A、本征方程 B、本征值 C、本征函数 D、守恒量16、波函数应满足的标准条件是 A、 单值、正交、连续 B、 归一、正交、完全性 C、 连续、有限、完全性 D、 单值、连续、有限17、完全描述微观粒子运动状态的是_ A 薛定谔方程 B 测不准关系 C 波函数 D 能量18、定态薛定谔方程实际上是 的本征方程。A. 动能 B. 势能 C. 角动量 D. 以上都不对19、关于以下3个波函数，（其中为常数），叙述正确的选项为_ _A. 和描述同一状态 B. 和描述同一状态C. 和描述同一状态D. 以上都不对三、简答题1、何谓定态？它有什么特点？答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。2、简述量子力学中态的叠加原理。答：如果和是体系的可能状态，那末它们的线性叠加（是复数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子处于和的线性叠加态时，粒子是既处在态，又处在态。3、简述态叠加原理。答：当是体系的可能状态，他们的线性迭加：（是复数）也是这个体系的一个可能状态。态叠加原理是微观粒子具有波动性的体现。3、波函数是应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。4、下列波函数所描写的状态是不是定态？ （1） （2） （3）答：由是否与时间有关来判定是否是定态（1）与无关-定态；（2）与有关-非定态（3）与有关-非定态5、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。6、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。7、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。答：设和是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由和的线性叠加来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由确定，中出现有和的干涉项，和的模对相对相位对概率分布具有重要作用。8、量子态的叠加原理常被表述为：“如果和是体系的可能态，则它们的线性叠加也是体系的一个可能态”。（1）是否可能出现；（2）对其中的与是任意与无关的复数，但可能是时间的函数。这种理解正确吗？答：（1）可能，这时与按薛定谔方程的要求随时间变化。（2）如按这种理解 已知和是体系的可能态，它们应满足波方程式 如果和的线性叠加也是体系的可能态，就必须满足波方程式 ，然而， 可见，只有当时，才有。因此，中，与应是任意复常数，而不是时间的复函数。如上式中态不含时间，则有。9、（1）波函数与、是否描述同一态？（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？；。这里是复常数，是实常数。答：（1）与、描述的相对概率分布完全相同，如对空间和两点的相对概率 ，故与、均描述同一态。（2）由于任意复数，以及 显然，只有当复数，即，且时，；均描述同一态。10、（1）任意定态的叠加一定是定态。理由如下：定态的线性叠加，态中平均值与无关，所以叠加态是定态。（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。以上说法正确吗？答：（1）能量不同的定态的叠加态中，不具有确定的能量值，尽管与无关，但位置概率密度依赖于时间，这表明任意定态的叠加不再具有定态的特征，是非定态。（2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态仍是波动方程的解。因此，只能说定态解（不显含时间）是体系含时波动方程的解，但不能说该体系的含时波动方程的解都是定态解。由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程中明显出现，体系中不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解，而这种叠加态正是实际存在的最一般的可能态。11、何谓定态? 它有何特征？答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。若势场恒定，则体系可以处于定态。定态具有以下特征:（1）定态波函数时空坐标可以分离，其中是哈密顿量的本征函数，而为相应的本征值；（2）不显含时间的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。注意，通常用表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态的波函数都是含时的。12、波函数有哪些性质？答：（1）单值，这是由概率密度的确定性所要求的。（2）连续，连续，也连续。（3）有界，概率不可能无穷大（4）是平方可积的，。13、写出定态Schrodinger方程，并写出处于定态的波函数的形式以及处于定态的粒子具有的特征。解：定态Schrodinger方程为，其中 定态波函数为为能量本征函数。 处于定态的粒子具有的特性：（1）粒子在空间的几率密度与几率流密度不随时间变化；（2）任何（不显含时间的）力学量的平均值不随时间改变；（3）任何（不显含时间的）力学量的测量几率不随时间改变。四、证明题1、证明在定态中，几率流与时间无关。证明：对于定态，可令 可见无关。补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ 波函数不能按方式归一化。其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。2、由Schrdinger 方程证明：几率守恒：其中几率密度： 几率流密度：证明：考虑 Schrdinger 方程及其共轭式：在空间闭区域中将上式积分，则有：3、证明粒子处于定态时能量E为实数。证: 设波函数，概率密度则由定态性质，概率与时间无关，即： 证毕五、计算题1、设波函数，为常数，求归一化常数A。2、设 ，求A = ？3、如果粒子的状态由波函 ，求归一化系数A。4、维粒子的状态是，其中为实参数，求归一化常数。5、设波函数为，求其归一化常量。6、波函数为，求其归一化波函数。7、已知做直线运动的粒子处于状态。（1）将归一化；（2）求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。8、一维运动的粒子处于 的状态，式中， 求：（1）归一化常量A；（2）粒子的概率密度；（3）粒子出现在何处的概率最大？9、束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：（a）、求归一化常数A；（b）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？10、设粒子归一化波函数为，求在范围内找到粒子的几率。解：波函数已归一化，故在范围内找到粒子的几率，应将x,z分量积分掉，即。11、设波函数为 ，求在(）范围找到粒子的几率。 解:12、粒子处于状态：，求粒子的平均动量和平均动能。13、设t=0时，粒子的状态为。求此时粒子的平均动量和平均动能。14、对于以动量P沿方向运动的自由粒子，按de broglie假定，用一个平面波描述，计算粒子的流密度。答：15、由下列定态波函数计算几率流密度（1）；（2）。从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：，在球坐标中：（1） 同向。表示向外传播的球面波。（2）可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。16、写出几率守恒的积分和微分形式以及几率密度、几率流密度的表达式；并计算在球坐标系中粒子质量为m的波函数分布为 （1），n为整数 （2）， k为常数 （3），k为常数时的几率密度和几率流密度，并根据结果说明粒子的运动情况。解：几率守恒的积分形式： 微分形式： 几率密度： 几率流密度：（1）几率密度：几率流密度：在球坐标系中故由上可知几率密度为常数，而几率流密度沿方向，与r