高中数学三角函数章末小结与测评教学案北师大版.docx

第一章 三角函数一、角的概念1角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类2象限角及非象限角，都是相对于坐标系而言的，应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，只有在这一前提下，才能讨论象限角与非象限角3终边相同的角有无数个，在所有与角终边相同的角的集合可表示为S.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同二、角度制与弧度制弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如k360或602k，kZ的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k360，kZ等三、三角函数的定义1三角函数的定义有两种(1)角的终边上任取一点P(x，y)，|OP|r，则sin ，cos ；tan .(2)角的终边与以原点为圆心，以单位长为半径的圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan .2用三角函数线解基本的三角不等式的步骤为：(1)先作出取等号的角；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角范围3诱导公式2k，2，的诱导公式可归纳为：k(kZ)的三角函数值当k为偶数时，得的同名三角函数值；当k为奇数时，得的余名三角函数值，然后在前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶四、三角函数的图像与性质ysin xycos xytan x图像定义域(，)x|xR，xk，kZ值域1,1(，)周期性周期T2周期T奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kZ)上增；在，(kZ)上减在2k，2k(kZ)上增；在2k，2k(kZ)上减在(k，k)(kZ)上增对称轴xk(kZ)xk(kZ)_对称中心(k，0)(kZ)(k，0)(kZ)(，0)(kZ)五、函数yAsin(x)的图像1由ysin x的图像变换得到yAsin(x)的图像(1)三角函数图像的变化规律和方法，由ysin xysin(x)，此步骤只是平移，而由ysin xysin(x)可由两条思路：ysin xysin(x)ysin(x)即先平移后伸缩；ysin xysin xysin(x)即先伸缩再平移不论哪一条路径，每一次变换都是对字母x而言的(2)“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”，两条路径平移的单位不同 ；“先平移后伸缩”平移|个单位，“先伸缩后平移”则须平移个单位主要程序如下：ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)；ysin xysin xysin(x)yAsin(x)2由图像确定函数yAsin(x)的解析式，主要从以下三个方面来考虑(1)A的确定：根据图像的“最高点、最低点”确定A.(2)的确定：结合图像先求周期T，然后由T(0)确定.(3)的确定：根据函数yAsin(x)最开始与x轴的交点(靠近原点)的横坐标为确定.3函数yAsin(x)的性质(1)求形如yAsin(x)(其中A0，0)的函数的单调区间，可以通过列不等式的方法求解，列不等式的原则是：把“x”视为一个“整体”；再根据ysin x的增减区间列不等式(2)对于函数yAsin(x)(A0，0)，当k，kZ时，是奇函数；当k，kZ时，是偶函数(3)函数yAsin(x)的周期T.典例1已知f()，(1)化简f()；(2)若，求f()的值解(1)f()cos .(2)fcos coscos cos .借题发挥(1)灵活运用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，以达到统一角的目的；(2)在求值中有已知三角函数值求值与已知角求值两种情况，已知三角函数值求值时，要分清已知的三角函数与未知的三角函数之间的关系，特别是角的关系；已知角求值时，利用诱导公式对点训练1已知cos(3)，求的值解：cos(3)，cos 即cos .原式.典例2求下列函数的定义域：(1)y；(2)ytan x.解(1)要使函数有意义，必须使tan x有意义，且tan x0.有(kZ)函数y的定义域为.(2)当sin x0且tan x有意义时，函数有意义，有(kZ)函数ytan x的定义域为(kZ)借题发挥1.求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图像或单位圆来求解2求三角函数的值域(最值)问题常用的方法有：(1)将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域(最值)；(2)将所给的函数转化为sin(x)或cos(x)的函数，利用sin x，cos x的有界性求值域对点训练2已知函数ylg cos 2x，求它的定义域和值域解：函数f(x)lg cos 2x有意义，则cos 2x0，即2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.函数的定义域为x|kxk，kZ由于00，0)的一段图像(1)求此函数解析式；(2)说明该函数是如何通过ysin x变换得来的？解(1)由图像知A，k1，T2，2.ysin(2x)1.当x时，2，.所求函数解析式为ysin1.(2)把ysin x向左平移个单位，得到ysin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到ysin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到ysin，最后把函数ysin的图像向下平移1个单位，得到ysin1的图像借题发挥三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质具体要求：(1)用“五点法”作yAsin(x)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令x0，2.(2)对于yAsin(x)的图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别(3)已知函数图像来求函数yAsin(x)(A0，0)的解析式时，要先求A、，再求.对点训练3若函数f(x)Asin(2x)(A0，0)在x处取得最大值，且最大值为3，求函数f(x)的解析式解：因为函数f(x)最大值为3，所以A3，又当x时函数f(x)取得最大值，所以sin1，因为00，0，)在x处取得最大值2，其图像与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的值域(提示：cos 2x2cos 2x1)解(1)由题设条件知f(x)的周期T，即，解得2.因f(x)在x处取得最大值2，所以A2.从而sin1，所以2k，kZ.又由0)在区间上是增加的，在区间上是减小的，则()A3 B2C. D.解析：选C由题意知，函数在x处取得最大值1，所以1sin，.5函数y3sin的一个单调递减区间为()A. B.C. D.解析：选By3sin3sin，检验各选项知，只有B项中的区间是单调递减区间6(全国高考)若函数f(x)sin ，0，2是偶函数，则()A. B.C. D.解析：选C若f(x)为偶函数，则f(0)1，即sin 1，k(kZ)3k(kZ)只有C项符合7(山东高考)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0C1 D1解析：选A当0x9时，sin1，所以函数的最大值为2，最小值为，其和为2.8方程|x|cos x在(，)内()A没有根 B有且仅有一个根C有且仅有两个根 D有无穷多个根解析：选C构造两个函数y|x|和ycos x，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根9. 已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是()AysinBysinCycosDycos解析：选D由图像知T4.2，排除选项A、C.图像过代入选项B，fsin01，故B错误10如果函数y3cos(2x)的图像关于点(，0)中心对称，那么|的最小值为()A. B.C. D.解析：选A函数y3cos(2x)的图像关于点(，0)中心对称，2k(kZ)k(kZ)，由此易得|min.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)11设扇形的半径长为4 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_解析：由Sr2，得.答案：12已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，故y0，即sin.设z2x，则sin z.由图知，2kz2k(kZ)，即2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)答案：(k，k)(kZ)三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知f().(1)化简f()；(2)若sin，求f()的值解：(1)原式cos .(2)sinsin()cos ，cos .故f().16(本小题满分12分)已知函数f(x)2sin.(1)当x时，求f(x)的值域；(2)用五点法作出yf(x)在闭区间上的简图；(3)说明f(x)的图像可由ysin x的图像经过怎样的变化得到？解：(1)x，2x，sin1，所求值域为，2(2)列表：x2x022sin02020画图(如图)(3)法一：可由ysin x的图像先向左平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到法二：可由ysin x的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的，再将图像向左平移个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到17(本小题满分12分)函数f(x)Asin(x)的图像如图，试依图指出：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)的单调递增区间和递减区间；(3)图像的对称轴方程与对称中心解：(1)由图像知f(x)的最小正周期为23.(2)半个周期是，由图像可知，f(x)的单调递增区间是(kZ)，f(x)的单调递减区间是(kZ)(3)f(x)的图像的对称轴方程是x(kZ)，对称中心是(kZ)18(本小题满分14分)已知函数f(x)2sin，(00)(1)若函数yf(x)图像的两相邻对称轴间的距离为，且它的图像过(0，1)点，求函数yf(x)的表达式；(2)将(1)中的函数yf(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图像，求函数yg(x)的单调递增区间；(3)若f(x)的图像在x(aR)上至少出现一个最高点或最低点，求正整数的最小值解