线性代数第3章习题答案.ppt

3 1向量的概念及其运算 1 设 解 第三章习题答案 解 2 已知 解 3 设 解 4 写出向量 的线性组合 其中 1 2 1 2 5 设向量组 问 向量 可以由向量 写出其表达式 线性表示 若可以 解 设 即 所以向量 可以由向量 则有 解方程组得 线性表示 3 2线性相关与线性无关 一 判断下列向量组的线性相关性 1 解 由于 与 对应分量不成比例 所以 与 线性无关 2 解 由于向量组中含有零向量 所以向量组线性相关 3 解 向量组线性无关 4 解 即有 也即有 由于齐次线性方程组的系数行列式 齐次线性方程组有非零解 由于 方法2 所以 线性相关 5 因为向量个数大于向量维数 所以向量组线性 解 相关 二 填空题 1 已知向量组 线性相关 则k 解 则有 即有 2 即k 2时 2 设向量组 线性无关 则a b c必满足关系式 a b c 0 解 要使 线性无关 则有 所以a b c需满足a b c 0 n维单位向量组 3 都可由向量组 线性表示 则r n 解 因为n维单位向量组 线性无关 且每个向量都能由向量组 线性表示 由课本72页推论1知 三 选择题 线性无关的充分必要条件是 中必有两个向量的分量对应 1 向量组 A 向量组 不成比例 B 向量组 中不含零向量 C 向量组 中任意一个向量都不能由其 余n 1个向量线性表示 D 存在全为零的数 使 成立 C 2 设 其中 则有 A 向量组 是任意实数 总线性相关 B 向量组 总线性相关 C 向量组 总线性无关 D 向量组 总线性无关 C 四 若已知向量组 证明 线性无关 线性相关 由于向量组 证 1 线性无关 则 线性无关 2 线性无关 1 四 若已知向量组 证明 线性无关 线性无关 由于向量组 证 1 线性无关 线性相关 2 线性相关 2 令 3 已知向量组 问 线性无关 是否线性无关 解 向量组 考察向量方程 3 已知向量组 问 线性无关 是否线性无关 当m为偶数时 方程组有非零解 则向量组线性相关 解 向量组 当m为奇数时 方程组有零解 则向量组线性无关 五 设有向量组 问 向量 能否由向量组 唯一线性表示 解 由于向量组 线性相关 则向量 只要向量组 线性无关 唯一线性表示 必可由向量组 线性无关 唯一线性表示 由于 所以向量组 因此向量 能由 向量组 六 设已知向量组 向量组 线性相关 线性表示 证明你的结论 解 1 且表达式唯一 2 1 根据向量组线性相关性的性质可得 线性无关 问 能否由 能否由 线性表示 证明你的结论 线性表示 能由 因为 线性无关 则 线性无关 线性相关 又因为 线性表示 能由 六 设已知向量组 向量组 线性相关 线性表示 证明你的结论 用反证法证明 解 1 即 2 2 代入上式得 线性无关 问 能否由 能否由 线性表示 证明你的结论 由 1 可设 即 能由 线性表示 线性相关 与已知条件矛盾 假设不成立 故命题成立 一 填空题 1 若 解 则向量组 由于 所以向量组 是线性 线性无关 3 3向量组的秩 此向量组的部分组 仍线性无关 应填 无关 无关 2 设向量组 的秩为 向量组 的秩为 相等 解 因为二向量组等价 则它们的秩相等 应填 相等或 且 二 选择题 1 若向量组 是向量组 的极大 线性无关组 则下列论断不正确的是 解 由于向量组 是向量组 的极大线性无关组 显然向量组 线性无关 而向量组 线性相关 故 B 此外 由排除法知选项 B 错误 故应选 B 选项 A 正确 选项 C 正确 选项 D 也正确 显然 2 若向量组 的秩r 则 B 向量组 向量组 线性无关 线性相关 存在一个向量 可以由其余向量 线性表示 任一向量都不能由其余向量线性 表示 当向量组的秩等于向量个数时 向量组线性无关 3 若向量组 都是向 量组 则有 解 同一向量组的极大线性无关组所含向量的个数 是相同的 故选项 C 正确 C 的极大无关组 解 根据向量组的秩与向量个数的关系 当向量组的秩小于向量个数时 向量组线性相关 选项 B 正确 三 求下列向量组的秩 必须有解题过程 解 解 四 求下列向量组的一个极大线性无关组 并将其余 向量用此极大线性无关组线性表示 解 无关组为 向量组的极大线性 且有 2 解 向量组的极大线性无关组为 且有 五 已知向量组 1 求 2 求向量组的一个极大线性无关组 并将其余 解 的秩为3 的向量用极大线性无关组线性表示 且 行化为零行 则向量组的极大线性无关组为 六 设n维基本单位向量组 可由n维向量组 线性表示 证明向量组 线性无关 证 因n维基本单位向量组 线性表示 而n维向量组 等价 可由n维向量组 由于等价的向量组有相同 可由 n维基本单位向量组线性表示 因此向量组 与向量组 的秩 而 所以 因此向量组 线性无关 证毕 七 设 证明 证明 线性无关 考虑向量方程 即 线性无关 线性无关 八 设 若各向量组的秩分别为 R R 3 R 4 证明向量组 证 因为向量组 的秩为3 而向量组 中含3个向量 所以向量组 线性无关 同理 因为向量组 的秩为4 而向量组 中含4个向量 所以向量组 线性无关 又因为向量组 的秩为3 但向量组 中含4个向量 故向量组 线性相关 表示 即有 向量方程 一 设 为什么 解 3 4向量空间 是向量空间 不是向量空间 这是因为 则有 而 若 而 又 又 若 则有 所以 但 显然 不是向量空间 因此 而 这表明 对数乘运算不封闭 二 1 向量 下的坐标是 解 在基 2 已知的两个基为 求由基到基的过渡矩阵 解 设由基到基的过渡矩阵为C 则 三 设四维向量空间V的两个基 满足 1 求由基 到基 的过渡矩阵C 2 求向量 在基 下的坐标 解 四 1 试证 是 的一组基 并求 一组标准正交基 1 证 先证 线性无关 由于 令 都可用 即有 再证任意3维向量