集值优化问题Benson真有效解的高阶Fritz+John型最优性条件.pdf

2 0 0 9 年9 月 S e p 2 0 0 9 运筹学学报 0 RT R A N S A C T I O N S 第1 3 卷第3 期 V 0 1 1 3N o 3 H i g h e r O r d e rF r i t zJ o h nT y p eO p t i m a l i t yC o n d i t i o n s f o rB e n s o nP r o p e rE f f i c i e n tS o l u t i o n s i nS e t V a l u e dO p t i m i z a t i o nP r o b l e m s 木 W a n gQ i l i n l 2 A b s t r a c tT h i sp a p e rd e a l sw i t hh i g h e r o r d e rF r i t zJ o h nt y p eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s f o rB e n s o np r o p e re l i c i e u ts o l u t i o n so fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s B yv i r t u eo f t h eh i g h e r o r d e rt a n g e n ts e t si n t r o d u c e db yA u b i na n dF r a n k o w s k aa n dt h es e p a r a t i o n t h e o r e mo fc o n v e xs e t s w eo b t a i n e dh i g h e r o r d e rF r i t zJ o h nt y p en e c e s s a r ya n dS U f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rB e n s o np r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o n so fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m sw i t hg e n e r a l i z e di n e q u a l i t yc o n s t r a i n t su n d e rt h ea s s u m p t i o no fc o n e c o n v e x l i k e m a p s K e y w o r d sO p e r a t i o n sr e s e a r c h s e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s m t h o r d e rC O l l t i n g e n t a d j a c e n t s e t s c o n e c o n v e x l i k es e t v M u e dm a p s B e n s o np r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o n s m t h o r d e rF r i t zJ o h nt y p ec o n d i t i o n s S u b j e c tC l a s s i f i c a t i o n G B T 1 3 7 4 5 9 2 11 0 7 4 集值优化问题B e n s o n 真有效解的 口 同阶F r i t zJ o h n 型最优性条件 王其林1 摘要本文讨论的是集值优化问题B e n s o n 真有效解的高阶F r i t zJ o h n 型最优性条 件 利用A u b i n 和F r a n k o w s k a 引入的高阶切集和凸集分离定理 在锥一似凸映射的假设 条件下 获得了带广义不等式约束的集值优化同题B e n s o n 真有效解的高阶F r i t zJ o h n 型 必要和充分性条件 关键词运筹学 m 一阶相依 邻近 集 锥一似凸映射 集值优化问题 B e n s o n 真 有效解 m 一阶F r i t zJ o h n 型条件 学科分类号 G B T 1 3 7 4 5 9 2 1 1 0 7 4 收稿日期 2 0 0 7 年1 1 月1 5 日 T h j 8r e s e a r c hw a ss u p p o r t e db yt h eN a t i o n a lN a t u r a lS c i e n c eF o u n d a t i o no fC h i n a N o 1 0 s 7 1 2 1 6 N a t u r a lS c i e n c eF o u n d a t i o no fC Q N o s 2 0 0 8 B B 0 3 4 6a n dK J 0 8 0 4 0 4 a n dt h eE x c e l l e n tY o u n gT e a c h e r s P r o g r a mo fC h o n g q i n gJ i a o t o n gU n i v e r s i t y C h o n g q i n g C h i n a 1 C o l l e g eo fS c i e n c e s C h o n g q i n gJ i a o t o n gU n v e r s i t y C h o n g q i n g4 0 0 0 7 4 C h i n a 重庆交通大学理学院 重庆 4 0 0 0 7 4 2 C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dS c i e n c e C h o n g q i n gU n i v e r s i t y C h o n g q i n g4 0 0 0 4 4 C h i n a 重庆大学数理 学院 重庆 4 0 0 0 4 4 万方数据 2 W a n gQ i l i n 1 3 卷 1I n t r o d u c t i o n I ti sw e l lk n o w nt h a ts e t v a l u e do p t i m i z a t i o nh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si ne c o n o m i c s e n g i n e e r i n ga n do t h e rf i e l d si n v o l v i n gs e t v a l u e dm a p sa sc o n s t r a i n sa n do b j e c t i v e s 2 3 S i m u l t a n e o u s l y t h ei n v e s t i g a t i o no ft h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n si so n eo ft h em o s ta t t r a c t i v et o p i c s o fo p t i m i z a t i o nt h e o r y C o r l e y i 4 i n v e s t i g a t e df i r s t o r d e rF r i t zJ o h nt y p en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg e n e r a ls e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hc o n e c o n c a v i t yb yv i r t u e o fC l a r k et a n g e n td e r i v a t i v e sa n dc o n t i n g e n td e r i v a t i v e s s e e 1 C h e na n dJ a h n 5 Ji n t r o d u c e dag e n e r a l i z e dc o n t i n g e n te p i d e r i v a t i v eo fs e t v a l u e dm a p sa n do b t a i n e dau n i f i e dn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni nt e r m so ft h eg e n e r a l i z e dc o n t i n g e n te p i d e r i v a t i v e s J i m d n e z a n dN o v o 6 s t u d i e ds e c o n d o r d e rn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rap o i n t t ob ea ne f f i c i e n te l e m e n to fas e ti nan o r m e ds p a c eb yu s i n gc o m m o ns e c o n d o r d e rt a n g e n t s e t sa n da s y m p t o t i cs e c o n d o r d e rc o n e s G o n ge t a 1 洌i n v e s t i g a t e dn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rf i v ek i n d so fp r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o n so fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s w i t hc o n e c o n v e xm a pb yv i r t u eo fc o n t i n g e n te p i d e r i v a t i v e s C l a r k et a n g e n te p i d e r i v a t i v e s a n dr a d i a le p i d e r i v a t i v e s S h e n ga n dL i u 8 jd i s c u s s e dt h el s t o r d e rF r i t zJ o h nt y p eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rs e t v a l u e do p t i m i z a t i o nb yv i r t u eo ft a n g e n td e r i v a t i v e so fs e t v a l u e dm a p s J a h ne t a l f 9 i n t r o d u c e ds e c o n d o r d e rc o n t i n g e n te p i d e r i v a t i v e sa n dg e n e r a l i z e dc o n t i n g e n t e i p d e r i v a t i v e sf o rs e t v a l u e dm a p sa n do b t a i n e ds o m es e c o n d o r d e ro p t i m a l i t yc o n d i t i o n s b a s e do nt h e s ec o n c e p t s R e c e n t l y L ie t a 1 1 1 0 lo b t a i n e dh i g h e r o r d e rn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n so f w e a k l y m a x i m a ls o l u t i o n sf o rs e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hc o n e c o n c a v e m a p i nt e r m so ft h eh i g h e r o r d e rd e r i v a t i v e s T h e ya l s od i s c u s s e dh i g h e r o r d e rM o n d W e i r d u a l i t yf o rs e t v a l u e do p t i m i z a t i o ni n 1 2 1 L ia n dC h e n 1 1 li n t r o d u c e dt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rH e n i ge f f i c i e n ts o l u t i o n st oac o n s t r a i n e ds e t v a l u e do p t i m i z a t i o n p r o b l e mw i t hc o n e c o n v e xm a p sb yv i r t u eo fh i g h e r o r d e rg e n e r a l i z e de p i d e r i v a t i v e so fs e t v a l u e dm a p s M o t i v a t e db yt h ew o r k sr e p o r t e di nf 1 5 8 1 1 w ed i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fh i g h e r o r d e rt a n g e n ts e t su n d e rt h ea s s u m p t i o no fc o n v e x i t y T h e nw eo b t a i nt h eh i g h e r o r d e r F r i t zJ o h nt y p en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rB e n s o np r o p e re f f i c i e n t s o l u t i o n so fs e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m sw h o s eo b j e c t i v em a p sa n dc o n s t r a i n tm a p s a r ec o n e c o n v e x l i k e t h er e s u l t sa r eg e n e r a l i z a t i o n so fc o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n 8 2P r e l i m i n a r i e sa n dn o t a t i o n s T h r o u g h o u tt h i sp a p e r l e tX Ya n dZ b et h r e er e a ln o r m e ds p a c e s l e tCcYa n dDCZ b ec l o s e dc o n v e xp o i n t e dc o n e sw i t hi n t C aa n di n t D 谚 r e s p e c t i v e l y L e t0 x O r 0 z b et h eo r i g i n so fX KZ r e s p e c t i v e l y Y d e n o t e st h et o p o l o g i c a ld u a ls p a c eo fYa n d 万方数据 3 期H i g h e r O r d e rF r i t zJ o h nT y p eO p t i m a l i t yC o n d i t i o n s 3 C d e n o t e st h ed u a lc o n eo fC D e n o t et h eq u a s i i n t e r i o ro fC b y i e C u f A Y A 剪 0 0 ra l lY C o y L e tAb ean o n e m p t ys u b s e t F A 斗2 ya n d G A 2 zb en o n e m p t ys e t v a l u e dm a p s T h ed o m a i na n dt h eg r a p ho fFa r ed e f i n e db y D o m F z A I F x O G r a p h F z AXF i x A Y F z r e s p e c t i v e l y S e tF A UF z D e f i n i t i o n2 1 e e1 1 3 1 Fi sc a l l e dC c o n v e xo nan o n e m p t yc o n u e xs u b s e tA i l f o ra n y z l z 2 Aa n dA 0 1 s u c ht h a tA F X 1 1 一A F x 2 F A X l 1 一A x 2 C D e f i n i t i o n2 2Fi sc a l l e dC c o n v e x l i k eo nA 矿V x l X 2 A V A 0 1 3 X 3 A s u c h t h a tA F x 1 1 一入 F z 2 F x 3 C P r o p o s i t i o n2 1 t I Fi sC c o n v e xo nc o n v e xs e tA lt h e nF A Ci sac o n v 凹s e t 哟I F 1 SC c o n v e z l i k eo nA It h e nF A 七Ci sac o n v e xs e t I ti sw e l lk n o w nt h a ti fFi saC c o n v e xs e t v a l u e dm a po nac o n v e xs u b s e tA t h e nF i saC c o n v e x l i k es e t v a l u e dm a po nA b u tt h ec o n v e r s ed o e sn o th o l d D e f i n i t i o n2 3L e tBb eas u b s e to lY Y o Bi ss a i dt ob eaB e n s o np r o p e re f f i c i e n tp o i n t 0 Bi f C f ld c o n e B C y 0 o y T h es e to fa l lB e n s o np r o p e re f f i c i e n tp o i n t so f Bi sd e n o t e db yP m 饥旧 q I nt h i sp a p e r c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z e ds e t v a l u e do p t i m i z a t i o np r o b l e m G S V O P m 毗i n 粥 n 删地一 S e tK z E I G C x N D O Ap a i r X O Y o w i t hX 0 Ka n dY o F x o i sc a l l e da B e n s o np r o p e re f f i c i e n te l e m e n to fp r o b l e m G S V O P i fy 0 F x o nP m i n F K q 3 H i g h e r o r d e rt a n g e n ts e t s I nt h i ss e c t i o n w es h a l lr e c a l lt h ed e f i n i t i o n so ft h em t h o r d e rc o n t i n g e n t a d j a c e n t s e t s i nf l w h e r eF nb eap o s i t i v ei n t e g e r T h e nw es h a l ld i s c u s st h e i rp r o p e r t i e su n d e rt h e a s s u m p t i o n so fc o n v e x i t y L e tmb eap o s i t i v ei n t e g e r Xb ean o r m e ds p a c es u p p l i e dw i t had i s t a n c eda n dKb e as u b s e to fX W ed e n o t eb yd x K i n 矗e K d X Y t h ed i s t a n c ef r o mzt oK w h e r ew e s e td x 口 万方数据 4 W a n gQ i l i n 1 3 卷 D e f i n i t i o n3 1 s e e1 1 1 L e tzb e l o n gt oas u b s e tK o fan o r m e ds p a c eXa n d 3 1 V m 1 b ee l e m e n t so fX t W es a yt h a tt h es u b s e t 孵伽H 一 一 i ms u p 坠业 掣 l 斗O 6 一 耖 X 1 i m i n fd 兰 二 兰 二 坚垒二 i 二二监 i st h em t h o r d e rc o n t i n g e n ts e to fKa t z V l m 一1 甑 W es a yt h a tt h es u b s e t 碟m z m u m 1 l i m i n f K x h v l h O 一 一h m l v m 一1 h m 剪 x I 1 i r a d 可 兰 二 兰一 二生竺三二云三 二监 i st h er u t h o r d e ra d j a c e n ts e to fKa t z 7 3 1 u m 一1 F r o mP r o p o s i t i o n3 1a n d3 2i n 1 0 w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s P r o p o s i t i o n3 1 盯Ki sc o n 3 e xa n dz 7 3 1 u m 一1 K t h e n 礞m z t l z 口 一1 一z 互 z 1 一z 口 一1 一z c 吖U h O 0 1 l 0 J K z h v l z 一 一h m 1 u m 一1 生 m P r o p o s i t i o n3 2f i g i sc o n v e xa n dx K 一l X t h e n 磺 z v m 1 sc o n 3 e T N o ww ed i s c u s sc r u c i a lp r o p o s i t i o n so fr u t h o r d e rc o n t i n g e n t a d j a c e n t s e t s P r o p o s i t i o n3 3I f K 妇ae o n 3 e xs u b s e t 巧Xa n dz 7 3 1 u m 一1 K t h e n K z C 碟 z t l z u m l z P r o o fS i n c eKi sac o n v e xs u b s e t B yP r o p o s i t i o n3 1 w eh a v et h a t 磺m z t 一z 钉m 一 一z c f U h O K z h v l z 一 一h m 1v m 一1 堕 h m S e th 0 s u c ht h a th h 2 h m 1 B yc o n v e x i t yo fKa n dz 7 3 1 一l K f o r a n y K w eh a v e z n z 九 1 一z h 1 xv m l z h m 一z K 万方数据 3 期H i g h e r O r d e r F r i t zJ o h nT y p eO p t i m a l i t yC o n d i t i o n s5 T h u s 可一z2z n z h v l z 一 一h m 1v m 一1 一z z 警 J x u 1 一z 一l z F r o mP r o p o s i t i o n s3 1a n d3 3 w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t C o r o l l a r y3 1I Ki sc o n v e xa n dz V l t 3 m 1 K t h e n 4 K 一2cz 2 z t 1 一z 竹m l z H i g h e r o r d e rF r i t zJ o h nt y p eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n s f o rp r o b l e m G S V O P S h e n ga n dL i u 8 d i s c u s s e dt h e1 s t o r d e rF r i t z J o h nt y p eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n ss e t v a l u e d o p t i m i z a t i o nb yv i r t u eo ft a n g e n td e r i v a t i v e so fs e t v a l u e dm a p s I nt h i ss e c t i o n h i g h e r o r d e rF r i t zJ o h nt y p en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rB e u s o np r o p e r e f f i c i e n ts o l u t i o n so fp r o b l e m G S V O P w h o s eo b j e c t i v em a p sa n dc o n s t r a i n tm a p sa r e c o n e c o n v e x l i k e a r ee s t a b l i s h e d I nt h i ss e c t i o n X 0 Y o G r a p h F z o G x o n 一D S e t F 一咖 G z o z F G z 一 Y o z o F Y o G 一徇 E U F Y o G 一知 o 霉 E S d c a n e F 一珈 G z o E C D T h e o r e m4 1S u p p o s et h a tt h e o l l o w i n gc o n d i t i o n sn 他s a t i s f i e d 例 F G i sC D c o n v e x l i k eo nt h en o n e m p t ys e tE 一砂ap a i r z o Y o i snB e n s o np r o p e re f f i c i e n te l e m e n to G S V O P i i i U i 优 C D i 1 2 m 一1 T h e nt h e r ee x i s tA C a n dp D b u tn o tb o t hb e i n gz e r oJ u n c t i o n a l s s u c ht h a t 入 p 0 0 D ra l l v 名 Q z 警m o r 0 z t 1 钉1 U m l u m 1 万方数据 6 W a n gQ i l i n 1 3 卷 P r o o fI tf o l l o w sf r o ma s s u m p t i o n i t h a tSi sc o n v e x F r o mP r o p o s i t i o n3 2 Qi sc o n v e x N o w w ep r o v et h a t n n i n t c i n t D o 4 1 A s s u m et h a t 4 1 d o e sn o th o l d t h e nt h e r ee x i s t s 雪 乏 Qs u c ht h a t 雪 牙 一i n t C i n t D 4 2 I tf o l l o w sf r o m 雪 牙 Qa n dt h ed e f i n i t i o no fm t h o r d e ra d j a c e n ts e t st h a t f o ra n ys e q u e n c e 危 w i t hh 0 n o o t h e r ee x i s t s Y n z n Ss u c ht h a t 虹直立坐些三 垡兰坚型趔 雪 乏 4 3 九2 F r o m 4 2 a n d 4 3 t h e r ee x i s t sl a r g ee n o u g hN s u c ht h a th n N T h u s w h e nn N s n h n u l 一 一h Z 一1 t m l 一i n t C Z n h n V l 一 一 嚣一1 m l 一i n t D 4 4 S i n c eh n 0 t 上1 U m 1 Ca n dt l 口m 一1 D w eh a v e h n u l 嚣一1 t 正m 一1 C h n v l 九嚣一1 口m 一1 D 4 5 T h u s i tf o l l o w sf r o m 4 4 a n d 4 5 t h a t w h e nn N Y i n t C Z t l i n t D 4 6 S i n c e Y n Z n S t h e r ee x i s t 妙 Z n k F Y o G z o E C Da n dE k 0 s u c ht h a tE k y m z n 可n k o o I tf o l l o w sf r o mt h a t 4 6 t h a t w h e nki sl a r g e e n o u g h e 可n z n i n t C i n t D 礼 N T h u s w h e n 知i sl a r g ee n o u g h w eo b t a i n t h a t 0a n d 毫 n k i n t C z n k i n t D n N 4 7 I tf o l l o w sf r o m 4 7 a n d Y n 名n F Y 0 G 一2 o E C Dt h a tt h e r ee x i s t z E 雪 F z 瓦k G z k c C d k Ds u c ht h a t Y n k 乳k 一掣o c k Z n k 磊k Z 0 d k 4 8 T h u s i tf o l l o w sf r o m 4 7 4 8 Z 0 一D c Ca n dd k D t h a t w h e nki sl a r g ee n o u g h a n dn N 磊k G x k N D S oz 七 Ka n d 雪n k Y o 一i n t Cc C n N T h e r e f o r e 0 y 雪n 一Y o 一C nc l c o n e F K C v o w h i c hc o n t r a d i c t sa s s u m p t i o n i S o 4 1 万方数据 3 期 H i g h e r O r d e rF r i t zJ o h nT y p eO p t i m a l i t yC o n d i t i o n s 7 h o l d s I tf o l l o w sf r o mt h es e p a r a t i o nt h e o r e mo fc o n v e xs e t st h a tt h e r ee x i s tA Y a n d p Z n o tb o t hz e r of u n c t i o n a l s s u c ht h a t A 雪 乒 牙 入 可 p 名 o ra l l 雪 乏 i n t C i n t D Y z Q 4 9 I tf o l l o w sf r o m 哥 乏 i n t C i n t D a n d 4 9 t h a t 入 哥 p 三 0 o ra l l 雪 乏 i n t C i n t D 4 1 0 a n d 0 A p 名 D ra l 3 名 Q T h u si tf o l l o w sf r o m 4 1 0 t h a t f o ra l l 雪 i n t Ca n d 牙 一t n t D w eh a v e 入 雪 0a n d p 乏 0 T h e r e f o r eA C a n dp D R e m a r k4 1S i n c eFi sc o n e c o n v e xo nan o n e m p t yc o n v e xA Fi sc o n e c o n v e x l i k eo nA S o T h e o r e m4 1i sag e n e r a l i z a t i o no fT h e o r e m1i n 8 b u tt h ec o n v e r s em a yn o th o l d T h e f o l l o w i n ge x a m p l ee x p l a i n st h i sc a s e E x a m p l e4 1T a k e 仇 1 2 S u p p o s et h a tX Y Z R E o 1 cX C D j L e tF E 2 yb eas e t v a l u e dm a pw i t hF x 3 Y 1 2 a n dl e t G E Zb eas e t v a l u e dm a pw i t hG x 0 N a t u r a l l y F G i sC D c o n v e x l i k e o nE b u tn o tC D c o n v e x C o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc o n s t r a i n e ds e t v a l u e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m P m i n F z ls t z E G z N D 毋 L e t Z 0 Y o 0 1 G r a p h F B yt h ed e f i n i t i o no fB e n s o np r o p e re f f i c i e n te l e m e n t s z o Y 0 i sa B e n s o np r o p e re f f i c i e n te l e m e n to f P T a k ea n yz o G z o n 一D S i n c e G x o 三 O w eo b t a i nZ 0 0 S e tS c l c o n e F 一珈 G z o E C D O b v i o u s l y t h e a s s u m p t i o n so fT h e o r e m 4 1a r es a t i s f i e d T h e nT 喜 o 0 可 Z R R 0 名 o T a k eA 1 C a n dp21 D T h u s f o ra n y 暑 Z 丁喜 o o w eh a v eA 暑 p z 0 w h i c hs h o w st h a tt h e1 s t o r d e rn e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o no fT h e o r e m4 1h o l d s T a k et 12 1 V l 1 T h e nI L l 一C V l 一D a n dt h ea s s u m p t i o n so fT h e o r e m 4 1a r es a t i s f i e d N a t u r a l l y w eh a v e 孝2 o 0 u 1 u 1 C z R 2 Y o 彳 o S i m u l t a n e o u s t a k eA 1 C a n dl f I 1 D T h u s f o ra n y 暑 z z 螯2 o 0 t 1 t 1 w eh a v eA 秒 p z 0 w h i c hs h o w st h a tt h e2 n d o r d e rn e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o no f T h e o r e m4 1h o l d s S i n c eEi sn o tac o n v e xs u b s e t F G i sn o tC D c o n v e xm a p so nE T h e n t h e a s s u m p t i o n so fT h e o r e m1i n 8 a r en o ts a t i s f i e d T h e r e f o r e T h e o r e m1i n 8 i su n u s a b l e h e r e 万方数据 8 W a n gQ i l i n 1 3 卷 T h e o r e m4 2 S u p p o s et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d 俐 F G i sC D c o n v e x l i k eo nt h en o n e m p t ys e tE 一砂 t t V i S i 1 2 m 1 i i i i t h e r ee x i s t 入 C na n dp D s u c ht h a tA 可 p z 0a n du z o 0 f o ra l l 童 z z 蛰m o y 0 z t 正1 u l U r n l u m 1 T h e n X O Y o i saB e n s o np r o p e re f f i c i e n te l e m e n to G S V O P P r o o fA s s u m et h a t X O Y o i sn o taB e n s o np r o p e re f f i c i e n te l e m e n to f G S V O P t h e n t h e r ee x i s t 牙 K 妒 F 牙 c Ca n de 0s u c ht h a t 步 Y oa n dO y 穸 c Y o 一C nc l c o n e F K C 一珈 S o0 y 雪一Y o 一G I tf o l l o w sf r o m 孟 Kt h a tt h e r e e x i s t s 牙 G 孟 n n T h u s i tf o l l o w sf r o mA G 口a n d 肛 D t h a t 入侮一珈 p 牙一徇 0 4 1 1 I tf o l l o w sf r o ma s s u m p t i o n i t h a tSi sac o n v e xs u b s e t T h u s b yt h eP r o p o s i t i o n 3 3 w eh a v e 哥一Y o 牙一Z O Sc7 警 o y O z t 1 u 1 m l V m 1 I tf o l l o w sf r o m a s s u m p t i o n i i i t h a t 入 雪一Y o p 牙一Z 0 0 w h i c hc o n t r a d i c t s 4 1 1 S O z o Y o i sa B e n s o np r o p e re f f i c i e n te l e m e n to f G S V O P a n dt h ep r o o fi sc o m p l e t e I tf o l l o w sf r o mP r o p o s i t i