数值分析习题解 二三章.doc

12. 设是次Chebyshev多项式，证明（1）；（2）.证明：由Chebyshev多项式的定义，13. 求函数在区间上的一次最佳平方逼近多项式。解：方法一（用多项式作基底）令，设所求多项式为。因为，所以关于和的法方程为因此所求最佳平方逼近多项式 。方法二（用Legendre正交多项式, , , ,作基底，特别需要注意的是Legendre正交多项式的正交区间是，当所给区间，需要先利用变换将转化为）因为，令，则令，则。因为，所以，故在上的一次最佳平方逼近多项式为因此所求最佳平方逼近多项式 。14. 求函数在区间上的二次最佳平方逼近多项式。解：方法一（用多项式作基底）令，设所求多项式为。因为，所以关于，和的法方程为因此所求最佳平方逼近多项式 。方法二（用Legendre正交多项式作基底）因为，令，则令，则。因为所以，故在上的二次最佳平方逼近多项式为因此所求最佳平方逼近多项式注：若题目没有明确要求使用哪种基底时，建议选用多项式基底，即方法一。15. 给出数据-1.00-0.75-0.50-0.2500.250.500.751.00-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836希望用一次、二次和三次多项式，用最小二乘法拟合这些数据，并写出法方程组。解：由已知数据可得：1-1.001.0000-1.0000001.000000-1.0000001.000000-0.22090.220900-0.2209000.2209002-0.750.5625-0.4218750.316406-0.2373050.1779790.3295-0.2471250.185344-0.1390083-0.500.2500-0.1250000.062500-0.0312500.0156250.8826-0.4413000.220650-0.1103254-0.250.0625-0.0156250.003906-0.0009770.0002441.4392-0.3598000.089950-0.02248850000002.000300060.250.06250.01562500.0039060.0009770.0002442.56450.6411250.1602810.04007070.500.25000.1250000.0625000.0312500.0156253.13341.5667000.7833500.39167580.750.56250.4218750.3164060.2373050.1779793.70612.7795752.0846811.56351191.001.00001.0000001.0000001.0000001.0000004.28364.2836004.2836004.28360003.750002.76562502.38769518.11838.4436757.5869566.227936所以用一次多项式拟合的法方程为用二次多项式拟合的法方程为用三次多项式拟合的法方程为16. 设有一发射源的发射强度公式为，现测得与得一组数据如下：0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法根据上表确定参数和。解：将两边取对数得令，则。因为10.20.043.161.1505720.23011420.30.092.380.8671000.26013030.40.161.750.5596160.22384640.50.251.340.2926700.14633550.60.361.000060.70.490.74-0.301105-0.21077470.80.640.56-0.579818-0.4638553.52.031.9890340.185797所以法方程为从而，故发射强度公式为。第三章1. 分别用复合梯形公式和复合抛物线公式计算下列积分，并比较结果。（1）； （2）解：（1）令。使用复合梯形公式时，节点，故使用复合抛物线公式时，节点，故因为，所以比较复合梯形公式和复合抛物线公式计算得到的近似值可以发现，复合抛物线公式的精度要高一些。（2）令。使用复合梯形公式时，节点，故使用复合抛物线公式时，节点，故因为，所以复合抛物线公式的精度要高一些。2. 若用复合梯形公式求的近似值，问要将积分区间分成多少份才能保证计算结果有四位有效数字？若用复合Simpson公式呢？解：因为在上单调递减，所以因此这表明没有整数部分。为了保证计算结果有四位有效数字，计算应精确到小数后第4位，即余项，从而（1）使用复合梯形公式计算时有4位有效数字，应有又因为，所以，即，故将分成41份时可保证有四位有效数字。（2）使用复合Simpson公式计算时有4位有效数字，应有 在复合Simpson公式中，如果将步长取为（这实际上是复合梯形公式的步长），则，即，此时区间等分为和。但是，为了在子区间上利用Simpson公式，需要选取的中点，这时实际上又把每个子区间分成了两等分。所以，最终需要把分成和，把分成和，即需要将分成4份。如果将步长直接取为两个相邻节点之间的距离，则由复合Simpson公式包含个节点可得：，代入即得，故使用复合Simpson公式时，需要将分成4份。4. 用代数精度定义直接验证抛物线求积公式具有3次代数精度。解：令，则，故左边=右边；令，则，故左边=右边；令，则，故左边=右边；令，则，故左边=右边；令，则，故左边右边。综上所述，抛物线求积公式具有3次代数精度。5. 写出的Newton-Cotes公式，并求出其代数精度，利用此公式计算积分的近似值。解：当时，节点为。Cotes系数为，故从而3阶Newton-Cotes公式为 当时有，而当时有，故3阶Newton-Cotes公式具有3次代数精度。由可得7. 确定下列求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。（1）；解：令，则所以令，则；令，则。所以该求积公式具有3次代数精度。（2）；解：令，则所以令，则；令，则。所以该求积公式具有3次代数精度。（3）；解：令，则所以令，则。所以该求积公式具有2次代数精度。（4）.解：令时，。令，则所以令，则；令，则。所以该求积公式具有3次代数精度。9. 试用下列算法计算积分（1） 利用Romberg求积公式（计算到为止）；解：令，则；将区间分半，令，则所以令