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创新型命题一、知识要点 计算机技术与网络技术的迅猛发展,深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式。IT技术、Cyber空间、being digital(数学化生存)等新概念层出不穷.毛 与时俱时，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法。近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型： 1.定义一种新运算; 2.定义一类新数; 3.给定一定规划或要求,然后按上述规则要求解题; 4.注重跨学科命题. 解创新命题时,需要在新的问题情境下,尽快适应新情况,充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题,对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用.二、典型例题例1. 是否可以确定11222是两个连续自然数的积。（1995个1，1995个2）例2. 立方体的每一个面都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和相等。若一个面上的数是18，它的对面的数是质数a; 一个面上的数是14，它的对面的数是质数b; 一个面上的数是35，它的对面的数是质数c;试求：的值。例3. 若a,b,c是自然数，且ab, a+b=719, c-a=921, 求a+b+c的最大值。例6.当时， 那么当时，是多少？例7.甲、乙、丙、丁四个数的和为43，甲数的2倍加上8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4相等，求这四个数的积。 【例1】一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16=52-32，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是_. (北京市竞赛题) 【例2】在甲组图形的4个图中,每个图是由4种简单图形A、B、C、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的,例如由A、B组成的图形记为AB。在乙组图形的(a)、(b)、(c)、(d)4个图中,表示“AD”和“AC”的是( ). A.(a),(b) B.(b),(c)C.(c),(d) D.(b),(d) (第15届江苏省竞赛题) 【例3】有依次排列的3个数:3,9,8.对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8,继续依次操作下去,问:从数串3,9,8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少? (第12届“希望杯”邀请赛试题) 【例4】设x表示不超过x的最大整数(如3.7=3,-3.7=-4)解下列方程: (1)-1.77x=-1.77x;(x为非零自然数) (四川省选拔赛试题) (2)3x+1=2x-. (全国初中数学联赛题) 思路点拨 解与x相关的问题,关键是去掉符号“ ”,需灵活运用x的性质,并善于把估算、等式与不等式知识综合起来. 三、基础夯实1.现定义两种运算:“”、“”，对于任意两个整数a,b,ab=a+b-1,ab=ab-1,那么4(68)(35)=_.2.对于任意有理数a,b,c,d,我们规定=ad-bc,如果a-1 (第14届“希望杯”邀请赛试题)8.设记号“”表示ab=,试写出两边均含有运算符号“”和“”且对任意3个数a,b,c都成立的等式(不少于两人). (2001年上海市春季高考题)9.设x表示为不超过x的最大整数,解下列方程: (1)x+2x+4x+8x+16x+58=0;(2)2x+1=x- . (重庆市竞赛题)10. (“希望杯”邀请赛试题)一个自然数a,若将其数字重新排列可得到一个新的自然数b,如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”. (1)请你举例说明“希望数”一定存在;(2)请你证明:如果a,c都是“希望数”,则ac一定是729的倍数.四、提高练习 11.表示一种运算,它的含义是xy=+,已知21=+=,那么20012002=_.12.若规定ab= ,那么方程3x=4的解x=_.13.对一切正整数n,有f(n+1)=f(n)+n,且f(1)=1,则f(n)=_.14.将自然数N接写在每一个自然数的右面(例如,将2接写在35的右面得352),如果得到的新数都能被N整除,那么N称为“魔术数”,在小于130的自然数中,魔术数的个数为_. (全国初中数学联赛试题)15.若x=5,y=-3,z=-1,则x-y-z可以取值的个数是( ). A.3 B.4 C.5 D.6 (2002年重庆市竞赛题)16. (第17届江苏省竞赛题)用min(a,b)表示a、b两数中的较小者,用max(a、b)表示a、b两数中的较大者,例如min(3,5)=3,max(3,5)=5,min(3,3)=3,max(5,5)=5.设a、b、c、d是互不相等的自然数,min(a,b)=p,min(c,d)=q,max(p,q)=x,max(a,b)=m,max(c,d)=n,min(m,n)=y,则( ). A.xy B.xy和xy都有可能17. (第33届美国数学竞赛题)设x表示不超过x的最大整数,又设x、y满足方程组 ,如果x不是整数,那么x+y是( ). A.一个整数 B.在4与5之间 C.在-4与4之间 D.在15与6之间 E.16.5 18.对任意有理数x、y定义运算如下:xy=ax+by+cxy,这里a、b、c是给定的数,等式右边是通常数的加法及乘法运算,如当a=1,b=2,c=3时,13=11+23+313=16,现已知所定义的新运算满足条件,12=3,23=4,并且有一个不为零的数d使得对任意有理数xd=x,求a,b,c,d的值.19.有三堆石子的个数分别是19,8,9,现在进行如下的操作:每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子,然后把这2个石子都加到另一堆中去,试问能否经过若干次这样的操作后,使得: (1)三堆石子的数分别是2,12,22; (2)三堆都是12. 如能,请用最快的操作完成;不能,则说明理由.注:若从第一、二堆各取1个到第三堆,可表示为(19,8,9)(18,7,11)等 (五城市联赛题)20.n为自然数,若n+6n3+1996,则称n为1996的吉祥数.比如:4+643+1996,4就是1996的一个吉祥数,试求1996年的所有吉祥数的和.五、综合创新 21.规定:正整数n的“H运算”是:当n为奇数时,H=3n+13;当n为偶数时,H=n(其中H为