通信原理第8章-数字信号最佳接收.ppt

1 第8章数字信号的最佳接收 8 1引言8 2数字信号接收的统计表述8 3关于最佳接收的准则8 4确知信号的最佳接收8 5随相信号的最佳接收8 6起伏信号的最佳接收8 7普通接收机与最佳接收机的比较8 8匹配滤波器8 9最佳基带接收机 2 8 1引言 通信系统的质量优劣主要取决于接收机的性能 这是因为 影响信息可靠传输的不利因素直接作用在接收端 通信理论中一个重要的问题 最佳接收或信号接收最佳化 最佳接收理论 研究从噪声中如何最好地提取有用信号 最好 或 最佳 的概念是在某个准则意义下说的一个相对概念 这就是说 在某个准则下是最佳的接收机 在另一准则下就并非一定是最佳的 3 8 2数字信号接收的统计表述 数字通信系统中 接收机观察到接收波形后 要无误地断定某一信号的到来是困难的 原因是 哪一个信号被发送 对受信者来说是不确定的 信号在传输过程中可能发生各种畸变 因此可以说 带噪声的数字信号的接收过程是一个统计判决的过程 4 数字通信系统的统计模型 5 消息空间x 离散消息的所有可能取值的集合x1 x2 xm x的出现概率可以用一维概率分布P xi 表示 6 信号空间s 消息转换为信号是一一对应的 所以P si P xi 7 噪声空间n 假定噪声是高斯型的 均值为零 随机过程 n的统计特性用多维联合概率密度函数来描述 若是高斯过程且各抽样值独立 则 8 是噪声的方差 也就是噪声的功率 k 2fHT是在 0 T 内的抽样点数 噪声的平均功率还可以表示为 9 所以于是n0是单位频带内的噪声功率 10 观察空间y y t s t n t 当发出信号为si t 时 接收信号y t 为随机过程 其均值为si t 方差为 其概率密度函数为fsi y 称为似然函数 它是信号统计检测的依据 按照某种准则 即可对y t 作出判决 使判决空间中可能出现的状态r1 r2 rm与信号空间中的各状态s1 s2 sm相对应 11 8 3关于最佳接收的准则 在数字通信系统中 最直观且最合理的准则是 最小差错概率 准则 由于信号受到畸变和噪声的干扰 发送消息xi时不一定能判为ri出现 而是判决空间的所有状态都可能出现 这将造成错误接收 错误接收的概率愈小愈好 以二进制数字通信系统为例 分析在噪声中按何种方法接收才能使错误概率最小 12 二进制数字通信系统中 只发送两种信号s1和s2 先验概率分别为P s1 和P s2 错误概率为 Pe P s1 P r2 s1 P s2 P r1 s2 P r2 s1 和P r1 s2 为错误转移概率 以使Pe最小为目标 导出最佳接收的准则 把观察空间的取值域y划分成A1域和A2域 一旦接收机被构成后 则这个划分就被规定 该域的几何表示 如图8 3所示 13 Y中的每个点代表着y t 的一个实现 落在A1域的实现判为r1 A2域中的实现判为r2 因此Pe可写成Pe P s1 P A2 s1 P s2 P A1 s2 正确判决的概率为Pc 1 Pe P s1 P A1 s1 P s2 P A2 s2 这里改写为 14 或者写为为使Pc最大 应该使 在积分域A2内 15 同理 在积分域A1内 应该是或者说 若 判为r1 若 判为r2 或者 16 上式称为似然比准则 若P s1 P s2 则似然比准则简化为若 则判为r1若 则判为r2 17 8 4确知信号的最佳接收 到达接收机的信号分为两类 确知信号 随参信号 确知信号 所有参数 幅度 频率 相位 到达时间等 都确知 未知的只是信号出现与否 随机相位信号 除相位外其余参数都确知的信号 随机振幅 相位信号 简称起伏信号 的振幅 相位都是随机参数 而其余参数是确知的 18 8 4 1二进制确知信号的最佳接收机 设到达接收机的两个可能信号为s1 t 和s2 t 它们的持续时间为 0 T 且有相等的能量 n t 是高斯白噪声 其均值为零 单边功率谱密度为n0 目的 设计一个接收机 能在噪声干扰下有最小的错误概率检测信号 观察到的波形y t 可表示为y t s1 t 或s2 t n t 19 若 则判决收到s1 t 于是判决收到s1 t 的条件成为 20 不等式两边取对数 简化为再简化为其中 21 当P s1 P s2 时 条件成为对应的接收机结构称为 相关接收机 22 比较器是比较抽样时刻t T时上下两个支路样值的大小 相关接收机 最佳接收机的结构按比较观察波形y t 与s1 t 和s2 t 的相关性而构成 其中相乘器与积分器构成相关器 接收过程是分别计算观察波形y t 与s1 t 和s2 t 的相关函数 在抽样时刻t T y t 与哪个发送信号的相关值大就判为哪个信号出现 23 如果发送信号s1 t 和s2 t 的出现概率相等 即P s1 P s2 可得U1 U2 此时 两个相加器可以省去 则先验等概率情况下的二进制确知信号最佳接收机简化结构如图 24 当发送信号为s1 t 时 接收机输入信号为 y t s1 t n t 其中 n t 是高斯白噪声 均值为零 方差为 2n 若 8 4 2二进制确知信号最佳接收机的性能 则判为s1 t 出现 是正确判决 若 25 则判为s2 t 出现 是错误判决 将y t s1 t n t 代入判决式中可得错误判决条件为 化简得到 26 则 错误事件可以表示为随机变量服从正态分布 它的均值和方差分别为 令 27 式中E n t n t 为高斯白噪声n t 的自相关函数 由随机信号分析可知故有 28 于是有 式中 29 利用相同的方法 可求得式中 30 总的错误概率为 由此看出 所求的最佳接收机的极限性能只与先验概率P s1 和P s2 噪声功率谱密度n0及两信号之差的能量有关 而与s1 t 及s2 t 本身的具体形式无关 31 分析Pe与先验概率的关系 当P s1 0 而P s2 1或反之P s1 1 而P s2 0时 Pe 0 这意味着接收端知道发送的是什么 故不会有错 先验等概时 Pe只与两信号之差的能量及n0有关 当P s1 P s2 10或0 1时 Pe比先验等概时略小 32 在A一定的情况下 先验等概时的错误概率Pe最大 即 先验等概对于差错性能而言是一种最不利的情况 若先验不等概 则得到的Pe比等概时略有下降 先验分布是不易确知的 故实际中常常使用先验等概的假设 并按图8 5设计 最佳接收机的结构 33 8 4 3二进制确知信号的最佳形式 在先验等概情况下 极限性能Pe可简化为其中定义s1 t 和s2 t 之间的互相关系数为 8 4 22 E1 E2是信号s1 t 和s2 t 在0 t T期间的平均能量 34 E E1 E2 Eb 将Eb和 代入式 8 4 22 可得 当s1 t 和s2 t 具有相等的能量时 有 与信噪比及发送信号之间的互相关系数 有关 即为发送信号先验概率相等时 二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小误码率 35 当 1时 Pe 为最大值 当 0时 当 1时 最小 因此使 1的信号是最佳信号 36 若s1 t 和s2 t 能量不相等 如E1 0 E2 Eb 0 发送信号s1 t 和s2 t 的平均能量为E Eb 2 在这种情况下 误码率表示式变为 由此画出的Pe 关系曲线如图中 所示 37 图8 7二进制最佳接收机误码率曲线 2PSK信号能使互相关系数 1 因此2PSK信号是最佳信号波形 2FSK和2ASK信号对应的互相关系数 0 因此2PSK系统的误码率性能优于2FSK和2ASK系统 2FSK信号是等能量信号 而2ASK信号是不等能量信号 因此2FSK系统的误码率性能优于2ASK系统 38 对数字基带传输系统误码率性能的分析可知 双极性信号的误码率低于单极性信号 其原因之一就是双极性信号之间的互相关系数 1 而单极性信号之间的互相关系数 0 39 8 5随相信号的最佳接收机 确知信号是一种理想情况 实际信号带有随机参数 因而在检测时除了噪声会造成误判决外 参量的未知性又增加了检测错误的因素 随相信号是一种典型且简单的随参信号 对于随相信号最佳接收 与确知信号最佳接收的思路是一致的 但是 随相信号最佳接收的问题显得更复杂一些 最佳接收机结构形式也比确知信号最佳接收机复杂 40 8 4 1随相信号最佳接收机结构 随相信号有多种形式 以随机相位的2FSK信号为例进行分析 设发送的两个随相信号为 1和 2是每一个信号的随机相位参数 其取值在区间 0 2 上服从均匀分布 41 二者的能量相等接收波形y t s1 t 或s2 t n t 由于随机相位 因此不能直接给出似然函数fs1 y 和fs2 y 但是可以先求出在给定相位 1和 2的条件下关于y t 的条件似然函数fs1 y 1 和fs2 y 2 即 42 其中 经推导得 43 其中 44 最大似然函数准则成为 比较fs1 y 和fs2 y 哪个大 比较和哪个大 比较和哪个大 45 随相信号最佳接收机结构 46 8 6起伏信号的最佳接收 起伏信号 振幅服从瑞利分布 相位服从均匀分布 可看成是数字信号通过瑞利衰落 快衰落 信道后的信号 处理起伏信号的最佳接收 在原理和方法上 与随相信号相同 起伏信号的最佳接收机结构和图8 11给出的结构相同 47 8 7普通接收机与最佳接收机的性能比较 对普通数字调制系统的分析中 分析所得的结果与本章对最佳接收机的分析结果在公式的形式上是一样的 这就是说 普通接收系统的r r S N 与最佳接收系统的Eb n0相对应 但公式形式相同不意味着接收性能相同 分析r和Eb n0的关系 48 设 输入端加入相同的噪声n t 和数字信号s t 时 n t 的单边功率谱密度为n0 s t 的持续时间为T 其能量为Eb 实际接收系统总是首先要经过带通滤波 设滤波器的等效矩形带宽为B 则信噪比r可表示为而最佳接收机的 49 实际的带通滤波器带宽B总是大于或等于1 T 上述分析表明 由于实际的带通滤波器带宽B总是大于或等于1 T 故在同样的输入条件下 普通接收系统的性能总是比最佳接收系统的差 这个差值 将取决于B与Eb n0的比值 50 8 8匹配滤波器 对最佳线性滤波器的设计有两种准则 一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小 最小差错概率准则 由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器 另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大 最大输出信噪比准则 由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器 在数字通信中 匹配滤波器具有更广泛的应用 51 8 8 1匹配滤波器的原理 输入r t s t n t s t 为输入数字信号 其频谱函数为S n t 为高斯白噪声 其双边功率谱密度为n0 2 52 将解调器中抽样判决以前各部分电路用一个线性滤波器来等效 由数字信号的判决原理可知 抽样判决器输出数据是否正确 与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相似程度无关 与滤波器输出信号波形的失真程度无关 而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比 即信噪比 信噪比越大 错误判决的概率就越小 反之 信噪比越小 错误判决概率就越大 53 当所选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时 这种滤波器称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器 设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为H 滤波器输入信号与噪声的合成波为s t 为输入数字信号 其频谱函数为S n t 为高斯白噪声 其双边功率谱密度为 54 滤波器H 是线性滤波器 满足线性叠加原理 因此滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成 即输出信号的频谱函数为So 对应的时域信号为 滤波器输出噪声的平均功率为 55 在抽样时刻t0 线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为使输出信噪比ro达到最大的传输函数H 就是所要求的最佳滤波器的传输函数 这是一个泛函求极值的问题 采用施瓦兹 Schwartz 不等式可以解决该问题 施瓦兹不等式为 X KY 等式才能成立 K为任意常数 56 令X H Y S ej t0可得 根据帕塞瓦尔定理有 式中 E为输入信号的能量 57 线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X KY 可得不等式 8 1 10 中等号成立的条件为H KS e j t0K为常数 通常可选择为K 1 S 是输入信号频谱函数S 的复共轭 H 就是所要求的最佳线性滤波器的传输函数 该filter在给定时刻t0能获得最大输出信噪比 58 这种滤波器的传输函数除相乘因子Ke j t0外 与信号频谱的复共轭相一致 所以称该滤波器为匹配滤波器 从匹配滤波器传输函数H 所满足的条件 也可以得到匹配滤波器的单位冲激响应h t 59 即匹配滤波器的单位冲激响应为 匹配滤波器的单位冲激响应h t 是输入信号s t 的镜像函数 t0为输出最大信噪比时刻 对于物理可实现系统 匹配滤波器的单位冲激响应h t 应满足 t 0t 0 必须有 t 0 即 t0 t 0或t t0 60 说明 对于一个物理可实现的匹配滤波器 其输入信号s t 必须在它输出最大信噪比的时刻t0之前结束 也就是说 若输入信号在T时刻结束 则对物理可实现的匹配滤波器 其输出最大信噪比时刻t0必须在输入信号结束之后 即t0 T 对于接收机来说 t0是时间延迟 通常总是希望时间延迟尽可能小 因此一般情况可取t0 T 若输入信号为s t 则匹配滤波器的输出信号为为输入信号s t 的自相关函数 表明 匹配滤波器的输出波形是输入信号s t 的自相关函数的K倍 61 因此 匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器 其在t0时刻得到最大输出信噪比romax 由于输出信噪比与常数K无关 所以通常取K 1 例 设输入信号如下 试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形 其他 62 63 匹配滤波器的传输函数为 匹配滤波器的单位冲激响应为 取t0 T 则有 解 1 输入信号s t 的频谱函数为 64 2 由式 8 1 21 可得匹配滤波器的输出为 其他 匹配滤波器的输出波形如图8 3 c 所示 可见 匹配滤波器的输出在t T时刻得到最大的能量 65 例 试求与射频脉冲波形匹配的匹配滤波器之特性 并确定其输出波形 66 令t0 最大信噪比时刻为 则 67 假设 kT0k是整数T0为载频周期则 68 69 8 8 2匹配滤波器的实现 矩形包络信号的匹配滤波器LC谐振式动态滤波器模拟计算式动态滤波器数字滤波式动态滤波器声表面波匹配滤波器 70 LC谐振式动态滤波器 7