房贷数学建模.doc

摘要： 如今社会中的各大银行关于各种贷款的还款主要有两种：等额本息还款法和等额本金还款法。两种方法各有优缺点，适适合不同类型的人群，通过本次数学模型的建立，可以让广大人民群众直观地辨别出这两种方式的异同点及优缺点，从而根据自己的实际情况选择合适的还款方式。在这两种还款方式的数学模型的建立过程中都涉及到了数列的有关知识，通过分析问题，采用递推的思想方法及等差等比数列求和的计算，分别建立了等额本息还款数学模型和等额本金还款数学模型。建模过程中，计算解决一个实际问题和分析模型时，发现等额本金还款法的利息逐月减少，但初期还款压力大，而等额本息还款法再在整个还款过程中平衡稳定，但在最后的 还款总额中明显要高于等额本金还款的总额。且同样的贷款金额同样的还款期限（若二者数目相对较大），两种还款方式的还款总额会相差很大。一、 问题分析随着社会的发展，人们的各种贷款也随着增多，特别是在青年群体中，有关房贷、车贷然他们对银行提供的两种还款方式等额本息还款法和等额本金还款法，了解得并不是很多，由于前者还款时操作简单且平衡稳定，因而大多数人选择等额本息的还款方式。但也有人选择后者却发现20万元的房贷20年 还清，两种还款方式竟差出一万多元，于是他认为银行背后隐瞒了信息。通过分析，建立模型，计算结果不难发现这是真实的差距！所谓等额本息还款法，就是每月 以相等的额度平均偿还贷款本息，直到期满还清。因它的还款初期利息较大，初期的本金还款额就小，因而相对于等额本金还款方式，还款的总利息要多。但它实际 操作起来比较简单，适合收入较为稳定的工薪阶层。等额本金还款法则是每月偿还贷款本金相同，而利息随着本金的减少而逐月递减，即实际上是减少占用和缩短了 银行的钱。这种还款方式适合生活负担越来越重（养老，有病，孩子读书）或预计收入将会逐步减少的人使用。通过以上的分析发现上面两种还款方式差别虽大，但 都有一个共同点：每月还款金额=当月本金还款额+当月利息。考虑消费者的经济实力，对于经济实力的不同，选择的还贷款的方式也就不同。先建立如下模型，力使银行和消费者的满意度达到最好。二、 模型假设假设银行在贷款期利率不变； 在这段时间内不考虑经济波动的影响； 银行利息按复利计算； 消费者每月的消费十分理智； 消费者是按月还款，且为月底还款； 三、 符号说明m：贷款总额，单位为（元）； n：还款总日期，单位为（月）； p：贷款月利率； x：等额本息还款中的每月还款额； X(i)：第i月的还款额；A(i)：第i月初剩余还款额；B(i)：第i月末剩余还款额；W：还款总额；Q：还款总利息；四、 模型建立与求等额本息还款法：第一个月： A(1)=m B(1)=m(1+p)x第二个月： A(2)=B(1)=m(1+p) (2)=A(2)(1+p)x=m(1+p)2x(1+P) 则由此类推可得到还款到第n个月时：第n个月：A(n)=B（n1）=m(1+p)(n1)x(1+p)(n2)x B(n)=A(n)(1+p)x=m(1+p)nx(1+p)(n1)x(1+p)(n2)x因为第n个月后贷款还清，则此时B(n)=0，即：B(n)=A(n)(1+p)x=m(1+p)nx(1+p)(n1)x(1+p)(n2)x=0利用等比数列求和公式即可解的： x=mp(1+P)n(1+P)n1建立此模型后现计算前面提到的房贷问题，及20万元的房贷，20年还清的还款情况：即m=200000；n=240；p=11年04月06日贷款的基准利率，利用Mathematica软件编程建模后计算结果为： 还款总额W=366402.98（元） 还款利息Q=166402.98（元） 月均还款额x=1526.68（元）等额本金还款法： 当月本金还款=总贷款数/还款次数 当月利息=上月剩余本金*月利率第一个月：x(1)=mp+m/n第二个月：x(2)=(mm/n)p+ m/n第三个月：x(3)=(m2 m/n) +m/n则由此类推可得到还款到第n个月时：x(n)= m(n1)m/np+ m/n即还款总额 W= x(1)+ x(2)+ x(3)+ x(n)=pm(n+1)/2+m（n固定好后还款期） 还款总利息 Q= pm(n+1)/2（n固定好后还款期）建立此模型后现计算前面提到的房贷问题，及20万元的房贷，20年还清的还款情况：即m=200000；n=240；p=11年04月06日贷款的基准利率，利用Mathematica软件编程建模后计算结果为：第一个月还款：1966.67（元）第二个月还款：1961.94（元）第三个月还款：1957.22（元）第四个月还款：1952.50（元）第237个月还款：852.20（元）第238个月还款：847.50（元）第239个月还款：842.78（元）第239个月还款：838.06（元） 还款总额W=336566.67（元） 还款利息Q=136566.67（元） 通过以上两种模型的计算结果，进行比较，我们不难发现前面提到的有人怀疑银行隐瞒信息的想法是错误的，两种还款方式差距就是这样，真实存在。生活中我们要根据自己的实际经济能力来选择适合自己的还款方式！五、讨论模型优缺点及推广新思想 观察以上两种还款方式的数学模型，不难发现二者的还款总额的大小取决与还款期限n和银行的贷款利率p。利用数学模型我们可以分析到在我们的现实生活中，n与p的变化从而影响两者的还款总额。由于本人数学能力有限，未能具体分析出n与p二者究竟谁的影响力度更大，且还款总额W与还款利息Q具体地是怎样随着n和p的变化而变化，因此该模型还有待今后的改进！但就大多数人民群众而言，根 据前面模型所建立的还款系统，可以很好的解决年轻人房屋贷款问题。在建摸过程中，简化了很多因素，如假设消费者按月定期还款，