电磁场与电磁波(第1章)OK.ppt

FundamentalsofElectromagneticFieldsandWaves 武汉理工大学信息工程学院黄秋元 电磁场与电磁波理论基础 创新计划 通信技术研究所 1 标量 矢量 标量场 矢量场 3 通量与散度 重点 第1章矢量分析 VectorAnalysis 2 矢量的运算 坐标系 4 环量与旋度 5 方向导数与梯度 7 斯托克斯定理 6 高斯散度定理 8 亥姆霍兹定理 1 矢量与标量 矢量的大小 称为矢量的模 矢量的方向 称为单位矢量 只有大小 不包含方向的物理量叫做标量 Scalar 既有大小 同时又包含方向的物理量称为矢量 Vector 矢量的表示 1 1矢量代数 Vectoralgebra 2 矢量的代数运算 矢量的加法和减法 平行四边形法则 设 两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的 矢量的标积 ScalarProduct 则 数量值 为矢量与矢量之间的夹角 设 两矢量进行矢积后的结果仍为矢量 矢量的矢积 VectorProduct 则 为矢量与矢量之间的夹角 上式可记为 矢量矢积运算表达式 另外一种形式 矢量的混合运算 3 标量场与矢量场 在电磁场中 若描述场的物理量随时间变化 则将场称为时变场 而当描述场的物理量与时间无关时 就将场称为静态场 场 是指某种物理量在空间的分布 场 标量场 矢量场 具有标量特征的物理量在空间的分布 具有矢量特征的物理量在空间的分布 1 2正交坐标系 描述电磁场的物理量一般是分布在空间的 即是与空间有关的矢量场 因此 为了描述某一场量在空间的分布和变化规律 必须引入坐标系Coordinatesystem 我们通常用得较多的是直角坐标系 但有时考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律 或物体的几何形状不同 也经常采用其他坐标系 以便使问题的分析更为简便 如圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系如 平行板之间的电场园柱坐标系如 通电直导线周围的磁场球坐标系如 点电荷周围的电场它们都是正交曲线坐标系的特例 简称正交坐标系 关于正交坐标系 应注意以下几个特点 1 正交曲线坐标系是三组坐标面在空间每一点相互正交 即相互垂直的坐标系 描述三维空间中的任一点 可用三个独立变量来确定 即可以有三个独立的坐标变量 1 2 3 则空间一点 的坐标用 1 2 3 来表示 即空间中的一点 可用三个独立变量表示 如 2 单位矢量 两两正交 相互垂直 在正交坐标系中 设单位矢量为或 它们的方向分别以其变量增大的方向为单位矢量的正方向 三者互相正交 quadrature 直角坐标单位矢量是常量 其他坐标系单位矢量不是常量 3 正交曲线坐标系的坐标单位矢量相互正交 因此 它满足右手螺旋法则 4 正交坐标系单位矢量的特性 zxy 1 2 2矢量微元在电磁场中 经常要进行曲线积分 曲面积分和体积分 要写出对应的微分元 如微分长度 微分面积和微分体积 它们分别对应于线元 面元和体元 在矢量微积分中 特别要注意的是在电磁场的微积分运算中 线元和面元是有方向的 是矢量 另外 因直角坐标系的单位矢量是常量 而其他坐标系的单位矢量不一定是常量 而是随着角度的不同 其方向会发生变化 因此 单位矢量是变量 即单位矢量也存在微元问题 曲线积分微分长度线元是矢量曲面积分微分面积面元是矢量体积积分微分体积体元是标量下面分别就三种最常见的正交坐标系分别进行分析 在直角坐标系中 空间任意一点M的位置可以用三个相互独立的变量 表示 记为 x y z 它们的变化范围分别是 1 2正交坐标系 QuadratureCoordinatesystem 考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律不同 或物体的几何形状不同等等 可采用直角坐标系 圆柱坐标系和球面坐标系 这是最常用的三种正交坐标系 1 直角坐标系 任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量 因为它们处于正交坐标系中 因此 它们相互垂直并遵循右手螺旋法则 即 在直角坐标系中 空间任一点M的位置可用一矢量来表示 即 在圆柱坐标系中 空间任一点 可用r z三个坐标变量来表示 点的位置在圆柱坐标系下可写为 r z 三个变量r z的变化范围分别是 0 r 0 2 2 圆柱坐标系 圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是 它们始终保持相互正交 且符合右手螺旋法则 即 空间任一点 的位置可用单位矢量表示为 圆柱坐标系变量与直角坐标系的关系是 rcos rsin 在圆柱坐标系下 任意矢量的线元可表示为 在圆柱坐标系下 任意曲面上的面元可表示为 在圆柱坐标系下 任意体积元可表示为 3 球坐标系 球坐标系中 三个坐标变量分别为 R 这三个变量的变化范围是 0 R 0 0 2 球坐标系的三个变量的单位矢量分别是 它们始终保持相互正交 且符合右手螺旋法则 即 空间任一点 的位置可用单位矢量表示为 球坐标系变量与直角坐标系变量的关系为 Rsin cos Rsin sin Rcos 球坐标系变量与圆柱坐标系变量的关系为 r Rsin z Rcos 在球坐标系下 任意矢量的线元可表示为 在球坐标系下 六个坐标点组成的六面体的面积元可表示为 在球坐标系下 任意体积元可表示为 三种坐标系单位矢量之间的关系1 圆柱坐标系与直角坐标系讨论二者的关系 主要是要分析单位矢量 之间的关系 而其中 因此 可简化为xoy平面上的二维来考虑 因为单位矢量模的大小为1 即在的投影为1 所以 因为和是随变化的 所以 单位矢量是变量而带来的一个重要结果 2 柱坐标和球坐标之间的关系都有相同的变量 因此同样可简化为平面上的投影来考虑 3 球坐标和直角坐标的关系因为在球坐标系中 单位矢量均不是常量 是随某个量而变化的 所以 1 3矢量函数的通量与散度 FluxandDivergenceofVectorfunction 1 矢量的通量 为了研究矢量场的空间变化情况 我们需要引入矢量场的散度的概念 矢量函数的散度是一个标量函数 它表示矢量场中任意一点处 通量对体积的变化率 即描述了通量源的强度 在研究电场 磁场时 可用一组曲线来形象地表示矢量场的空间分布 如电场的电力线 磁场中的磁力线等 它们都是带有方向的线 线上每一点的切线方向代表了这一点处矢量场的方向 这样的一些有方向的曲线叫矢量线 电力线和磁力线统称为矢量线矢量场中每一点都有唯一的一条矢量线通过 线的疏密表示该点矢量场的大小 矢量线 借用矢量线的概念 通量可以认为是矢量穿过曲面 的矢量线总数 矢量线也叫通量线 穿出的为正 穿入的为负 矢量场也可称为通量面密度矢量 通量的物理意义 矢量E沿有向曲面S的面积分 0 有正源 0 有负源 0 无源 若S为闭合曲面 可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质 通量是描述什么 存在个什么问题 如果包围点P的闭合面 S所围区域 V以任意方式缩小为点P时 通量与体积之比的极限存在 即 2 散度 计算公式 如果此极限存在 则称此极限为矢量场在空间 点处的散度 divergence 记作 div 称为哈密顿算子 它是一个矢性微分算子 即 式中 在矢量场中 若 A 0 称之为有源场 称为 通量 源密度 若矢量场中处处 A 0 称之为无源场 散度代表矢量场的通量源的分布特性 矢量的散度是一个标量 是空间坐标点的函数 散度的物理意义 矢量函数的散度表示矢量场中任意一点处 通量对体积的变化率 描述了通量源的强度 是讨论场点与通量源的关系 该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系 矢量函数的面积分与体积分的互换 由于是通量源密度 即穿过包围单位体积的闭合面的通量 对体积分后 穿出闭合面S的通量 3 高斯公式 散度定理 高斯公式 1 4矢量函数的环量与旋度 CirculationandrotationofVectorfunction 1 矢量的环量 通量和散度是针对具有通量源的矢量场 并用来描述场中的通量源与场点的关系的 而能够产生矢量场的源除了通量源外 还有一类源 叫旋涡源 要讨论旋涡源所形成的场 就需要讨论矢量场的旋度 rotation 而要讨论矢量函数的旋度 必须先引入环量的概念 矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分 称为矢量A的环量 该环量表示绕线旋转趋势的大小 环量的计算 水流沿平行于水管轴线方向流动C 0 无涡旋运动 流体做涡旋运动C 0 有产生涡旋的源 例 流速场 流速场 环量是一个代数量 标量 其大小和正负与矢量场的分布有关 而且与所取积分环绕方向有关 过点P作一微小曲面 S 它的边界曲线记为 L 面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则 当 S 点P时 存在极限环量密度 取不同的路径 其环量密度不同 旋度是一个矢量 模值等于环量密度的最大值 方向为最大环量密度的方向 2 矢量的旋度 1 环量密度 2 旋度 它与环量密度的关系为 在直角坐标系下 矢量的旋度仍为矢量 是空间坐标点的函数 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值 在矢量场中 若 A J 0 称之为旋度场 或涡旋场 J称为旋度源 或涡旋源 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向 若矢量场处处 A 0 称之为无旋场 3 旋度的物理意义 旋度的重要性质 任何一个矢量的旋度的散度恒等于0 A是环量密度 即围绕单位面积环路上的环量 因此 其面积分后 环量为 在电磁场理论中 Gauss定理和Stockes定理是两个非常重要的定理 作用是什么呢 矢量函数的线积分与面积分的互换 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 3 斯托克斯 Stockes 定理 Stocke s定理 1 5标量函数的方向导数与梯度 DirectivityderivativeandgradientofScalarfunction 在一定条件下 矢量场是可以用标量 标量函数 来描述的 这样就可以简化运算 由矢量和标量的定义可知 二者之间的差别就是 矢量有大小有方向 而标量有大小却无方向 那么 如果要用标量来描述矢量场 势必就需要给标量添加上方向因素后 这种描述才成立 但如何给标量添加上方向因素呢 在标量场中 空间每一点都只能对应于一个数值 这个数值是用标量函数来描述的 在研究标量场时 我们常常关心的是标量函数值随空间位置的变化规律 即标量函数最大变化率及其方向 这个标量函数在空间中的最大变化率和最大变化率的方向正是我们所需要的方向因素 1 标量函数的方向导数 1 标量场 等值线 面 其方程为 等值线 标量场中每一点都有一个等值面通过 且只有一个 也就是说 等值面充满整个标量场所在的空间 且互不相交 等值面的性质 2 方向导数 方向导数表示函数 x y z 在一给定点处沿某一方向的标量函数的变化率 式中 称为方向余弦 3 标量场的梯度 设一个标量函数 x y z 若函数 在点P可微 则 在点P沿任意方向的方向导数为 则有 式中分别是与x y z轴的夹角 设 当 即与方向一致时 为最大 哈密顿算子 式中 则可定义梯度 gradient 标量场的梯度是一个矢量 是空间坐标点的函数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 即与等值线 面 相垂直的方向 它指向函数的增加方向 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率 即该点最大方向导数 梯度的物理意义 例1三维高度场的梯度 例2电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高线垂直 数值等于该点位移的最大变化率 指向地势升高的方向 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直 指向电位增加的方向 数值等于该点的最大方向导数 梯度的重要性质 梯度的旋度恒等于0 1 6格林公式 Green stheorem 格林公式又称格林定理 是矢量分析中的重要公式 在电磁场理论中 在研究解的唯一性和电磁辐射及电磁波传播等问题中经常用到 第一格林公式 第二格林公式 1 7亥姆霍兹定理 Helmholtz sTheorem 在有限区域内 矢量场由它的散度 旋度及边界条件唯一地确定 亥姆霍兹定理 例 判断矢量场的性质 0 0 0 0 0 0 矢量场可以根据散度和旋度分为 无旋场 无源场和有旋有源场 矢量场的分类 1 无旋场 2 无源场 3 有旋有源场 1 平行平面场 如果在经过某一轴线 设为Z轴