统计量及其抽样分布.ppt

第五章统计量及其抽样分布 第五章统计量及其抽样分布 6 1统计量6 2关于分布的几个概念6 3由正态分布导出的几个重要分布6 4样本均值的分布与中心极限定理6 5样本比例的抽样分布6 6两个样本平均值之差的分布6 7关于样本方差的分布 学习目标 了解统计量及其分布的几个概念了解由正态分布导出的几个重要分布理解样本均值的分布与中心极限定理掌握单样本比例和样本方差的抽样分布 6 1统计量 6 1 1统计量的概念6 1 2常用统计量6 1 3次序统计量6 1 4充分统计量 统计量 statistic 设X1 X2 Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本 如果由此样本构造一个函数T X1 X2 Xn 不依赖于任何未知参数 则称函数T X1 X2 Xn 是一个统计量样本均值 样本比例 样本方差等都是统计量统计量是样本的一个函数统计量是统计推断的基础 次序统计量 一组样本观测值X1 X2 Xn由小到大的排序X 1 X 2 X i X n 后 称X 1 X 2 X n 为次序统计量中位数 分位数 四分位数等都是次序统计量 样本统计量的概率分布 是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时 由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布随机变量是样本统计量样本均值 样本比例 样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息 是进行推断的理论基础 也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布 samplingdistribution 构造抽样分布的步骤 从容量为N的总体中抽出容量为n的所有可能的样本 计算出每个样本所要分析的统计量观察值 将来自不同样本统计量观察值加以分组 将观察值相对应的频数排成一列 这些全部可能的样本统计量观察值形成一个概率分布 这个分布就是该统计量的抽样分布 例6 2某公司有4名职工 甲工资40元 乙工资50元 丙工资70元 丁工资80元 从4人中有放回的任意抽取2个人 试分析2个人平均工资的分布 确定样本和样本平均数 样本平均数的分布表 404550556065707580 4321 样本平均数的抽样分布图 6 3由正态分布导出的几个重要分布 6 3 1 2分布6 3 2t分布6 3 3F分布 2分布 由阿贝 Abbe 于1863年首先给出 后来由海尔墨特 Hermert 和卡 皮尔逊 K Pearson 分别于1875年和1900年推导出来设 则令 则Y服从自由度为1的 2分布 即当总体 从中抽取容量为n的样本 则 2分布 2distribution 分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小 通常为不对称的正偏分布 但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为 E 2 n 方差为 D 2 2n n为自由度 可加性 若U和V为两个独立的 2分布随机变量 U 2 n1 V 2 n2 则U V这一随机变量服从自由度为n1 n2的 2分布 2分布 性质和特点 c2分布 图示 2分布 2分布上侧分位数表 附表3 p 277 t分布 t分布 高塞特 W S Gosset 于1908年在一篇以 Student 学生 为笔名的论文中首次提出t分布是类似正态分布的一种对称分布 它通常要比正态分布平坦和分散一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数 随着自由度的增大 分布也逐渐趋于正态分布 t分布 定义设Z N 0 1 Y 2 n 且相互独立 则 服从自由度为n的t分布 记为 t分布图示 t分布 性质与标准正态分布相似关于t 0对称只有一个峰 峰值在t 0分布曲线受自由度影响 自由度越小 离散程度越大当n t n N 0 1 t分布 t分布与正态分布的比较 t分布 t分布双侧分位数表 附表4 p 279 F分布 由统计学家费希尔 R A Fisher 提出的 以其姓氏的第一个字母来命名设若U为服从自由度为n1的 2分布 即U 2 n1 V为服从自由度为n2的 2分布 即V 2 n2 且U和V相互独立 则称F为服从自由度n1和n2的F分布 记为 F分布 Fdistribution F分布 图示 不同自由度的F分布 F分布 F分布 性质F分布随机变量的取值范围为 0 F分布的分布曲线受两个自由度的影响若F F m n 则1 F F n m 若X t n 则X2 F 1 n F分布 F分布的上侧分位数表 附表5 p 281 正态总体样本平均数的分布 样本平均数的期望和方差设样本来自均数为 方差为 2的总体设样本为简单随机样本 正态总体样本平均数的分布 期望 正态总体样本平均数的分布 方差 标准差 平均数的标准误 正态总体样本平均数的分布 正态总体样本平均数的分布设样本来自正态总体N 2 则样本平均数也服从正态分布 其总体均数为 方差为 2 n 中心极限定理 无论样本所来自的总体是否服从正态分布 只要样本足够大 样本平均数就近似服从正态分布 样本越大 近似程度越好 所需的样本含量随原总体的分布而异 但只要样本含量 30 无论原总体是何分布 都足以满足近似的要求 设原总体的期望为 方差为 2 则样本平均数的期望为 方差为 2 n 正态总体样本方差的分布 样本方差的期望和方差设样本来自均数为 方差为 2的总体设样本为简单随机样本 正态总体样本方差的分布 样本方差的分布 6 4样本均值的分布与中心极限定理 在重复选取容量为n的样本时 由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值 的理论基础 样本均值的抽样分布 样本均值的抽样分布与中心极限定理 当总体服从正态分布N 2 时 来自该总体的所有容量为n的样本的均值 x也服从正态分布 x的数学期望为 方差为 2 n 即 x N 2 n 中心极限定理 centrallimittheorem 从均值为 方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本 当n充分大时 样本均值的抽样分布近似服从均值为 方差为 2 n的正态分布 中心极限定理 centrallimittheorem x的分布趋于正态分布的过程 6 5样本比例的抽样分布 总体 或样本 中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品 或不合格品 与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为 比例 proportion 在重复选取容量为n的样本时 由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布当样本容量很大时 样本比例的抽样分布可用正态分布近似推断总体比例 的理论基础 样本比例的抽样分布 样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样 样本比例的抽样分布 数学期望与方差 6 6两个样本均值之差的抽样分布 两个总体都为正态分布 即 两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布 其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布 6 7关于样本方差的分布 6 7 1样本方差的分布6 7 2两个样本方差比的分布 样本方差的分布 在重复选取容量为n的样本时 由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布对于来自正态总体的简单随机样本 则比值的抽样分布服从自由度为 n 1 的 2分布 即 两个样本方差比的分布 两个总体都为正态分布 即X1 N 1 12 X2