梯度、散度、旋度的关系

梯度gradient 设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)D，都可以定出一个向量 (f/x)*i+(f/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(f/x)*i+(f/y)*j+(f/z)*k 记为gradf(x,y,z) 梯度的汉语词义，用法。 现代汉语词典附：新词新义 梯度 1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有。散度散度（divergence）的概念： 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积V以任何方式趋近于0时，则比值FdS/V的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。 div F=F 气象学： 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 微积分学多元微积分多元函数积分： 设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数， 是场内一有向曲面，n 是 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则 AndS 叫做向量场 A 通过曲面 向着指定侧的通量，而 P/x + Q/y + R/z 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = P/x + Q/y + R/z。 上述式子中的 为偏微分（partial derivative）符号。 散度（divergence）的运算法则： div ( A + B ) = div A+ div B (,为常数) div (u A ) =u div A+ A grad u (u为数性函数)旋度设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 R/y - Q/z ， P/z - R/x ，Q/x - P/y 的向量叫做向量场A的旋度，记作 rot A或curl A ，即 rot A=(R/y - Q/z )i+(P/z - R/x )j+(Q/x - P/y)k 式中的 为偏微分（partial derivative）符号。 行列式记号 旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示： 若 A=Axi+Ayj， 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Axi+Ayj+Azk 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 为一向量。向量场A，数量场u称为汉密尔顿算子，算法不表示了，符号打不出来。=2=，称为拉普拉斯算子。梯度u散度A旋度A首先梯度和旋度是向量场，而散度是标量。梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为0说明该势场是个等势场。散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。散度为0说明这个场没有源头。旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。三者的关系：注意各自针对的对象不同。1.梯度的旋度u=0梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。例如重力场。2.梯度的散度2u=u3.散度的梯度(A)4.旋度的散度(A)=0旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。5.旋度的旋度(A)=(A)-2A=(A)-A旋度场的旋度也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，磁场本身也是有旋场。1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度。反之则不行，还需要其他条件。2.已知某向量场，求原数量场（势场）。某向量场具