第10讲 立体图形w.doc

第10讲 立体图形知识方法扫描我们所在的世界，是一个丰富多彩的图形世界.概括起来，图形可以分为立体图形和平面图形.对于立体图形的问题，我们要逐步学会将它们转化成平面图形的问题来解决，它包括：1展开与折叠将一个立体图形的表面展开，就得到了一个平面图形；反过来，将一个平面图形折叠起来，就得到一个立体图形。我们既要会将一个立体图形展开得到它的各个面，也要会将一个平面图形折叠起来，想象出它的立体形状。2立体的切割用一个平面去切割立体图形，会得到不同的形状的平面图形。此外，将一个立体图形按不同的要求分割成一些小的立体图形，也是我们要探讨的内容。3从不同方向看从不同的方向看一个立体图形，看到的形状是不相同的.我们既要会从一个给定的立体图形想象出从不同方向看它时的不同形状；也要会从不同方向看它时的不同形状（三视图）想象出这个几何图形来.经典例题解析例1. （2004年第二届“创新杯”数学邀请赛初二试题）由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆。那么大立方体被涂过油漆的面数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解. 设大立方体棱长为n, 显然n3。若n6, 即使六面都油漆过, 未油漆的小方块也有4364个,大于45。 故n4或5. 除掉已油漆的单位立方体后, 剩下未漆的构成一个长方体, 设其和长宽高为a, b, c, 则abc45, 且a, b, c5, 故只能是33545, 即n5, 它的四个面油漆过. 故选D。例2 （第1届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）如下图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面.这个多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样.因此，多面体的顶点总数为 92=18（个）.在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条.因为每条虚线表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以多面体的总棱数为19342=36（条）.综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为20+183674.评注：关于多面体的顶点数（V），棱数（E），面数（F），数学家欧拉曾给出一个公式（欧拉公式）：VF-E2. 根据欧拉公式，知道上例多面体的面数和顶点数之后，棱数便可求得：E=VF-2=2018-2=36（条）.例3（1997年“希望杯”全国数学邀请赛试题）将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各面上的某些小方格涂上黑色，如图所示，而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同，这时，至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数是（ ）（A） 18 （B） 20 （C） 22 （D） 24解 从图中可以看出大正方体正面中心的一个小正方体，以及它后面的两个小正方体（共3个）没有被涂黑，顶面中间一排左右两个小正方体，及其地面相对应的两个小正方体没有被涂黑。总共有7个小正方体没有被涂黑。其余20个小正方体至少有一面被涂黑了。 故选B. 例4（2005年台湾第三届JHMC国中数学竞赛试题） 有五个相同的正方体，按相同的顺序在每个面上写上数字1,2,3,4,5,6。将这些正方体排列如下图，试求号码2对面写的数字。解 从图中可以看出，5与2，4，3，6相邻，所以5的对面是1；从而6与1相邻，但由图中又可看出：6与4，3，5相邻；所以6的对面是2.例5（2005年第3届“创新杯”数学邀请赛试题）用同样大小的正方体木块搭建的几何体,从正面看到的平面图形如图1所示；从上面看到的平面图形如图2所示. 图1 图2(1)如果搭建的几何体由9个小正方体木块构成,试画出左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形(2)这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下,画出从左面看到的所有可能的平面图形.解：(1)在图2的六个小正方形内,分别填入适当的正整数,用它们分别表示在该处的正方体的个数,结合1的要求,有两种填法：由上二图知,从左面看这个几何体所得的平面；图形有两种可能： (2)用(1)中的方法,在图2的六个正方形中分别填上适当的正整数,结合图1,显然所填的六个正整数之和最大为11(如下图)故这样的向何体最多由11块小正方体木块构成.由上图知,从左边看这个几何体所得到的平面图形是例6（1992年第二届“勤奋杯”数学邀请赛初中一年级试题）如图,将三个同样的正方体重叠放在不透明的桌面上,每个正方体的六个在上分别写有1,2,3,4,5,6,并且相对的两个面上的数字之和是7,现在有5个面上的数字不论从哪个角度都看不到,这5个看不到的面上的数字的乘积是 .解：因为相对的两个面上的数字之和是7，故最上面一块看不见的一面是1；中间一块，5的对面是2，1的对面是6，看不见的两块是3和4；下面一块，6的对面是1，4的对面是3，看不见的两块是5和2.于是5个看不到的面上的数字的乘积是 13452=120.例7.（1997年安徽省初中数学竞赛试题）设计一种方法，把一个立方体分割成55个小立方体（分得的立方体大小可以不相同）.解：把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27-4+48=55个立方体.评注：对于本题，现在有下列一般的结论：一个立方体可以分割成n个立方体，这里 n = 1,28,15,20,22,27,29,34,36,38,39,41,43,45,46及大于47的整数。一个立方体能否分割成47个立方体，这还是一个没有解决的问题.例8 (1996年第5届日本算数奥林匹克竞赛预赛试题)雨哗哗地不停地下着。如在雨地里放一个如图1那样的长方体的容器，雨水将它注满要用1小时。有下列AE不同的容器（图2），雨水注满这些容器各需多长时间？分析 题中“雨哗哗地不停地下着”这一条件，也可以理解为雨均匀地下。（这与日常生活中的降雨略有不同，生活中降雨可能会时大时小，并不均匀。）雨水从敞口部分垂直落入到容器内，我们就可以把“敞开面”（即图中所示的阴影面）叫做“接雨面”。图中所示的长方体容器，“接雨面”与底面大小相同，雨水将它下满需要1小时，也就是说1小时后该容器内雨水的深度是10cm。如果容器的高度不止10cm，而是无限的，那么2小时后容器内雨水的深度将会是2cm，以后每过1小时雨水的深度就会增加10cm；如果在长方体容器中垂直放入一个很薄的挡板（其厚度忽略不计），将大容器分成两个小容器（如图所示）。小容器的“接雨面”变小了，但每个小容器的“接雨面”与底面大小仍然相同。那么1小 时后，每个小容器内雨水的深度还是10cm。（因为忽略了挡板的厚度，它不占原来长方体容器的容积。）通过上述分析与假设，我们可得出如下结论：只要容器的“接雨面”与底面大小相同，1小时后容器内雨水的深度就是10cm。 解根据结论，观察图2所示的五种容器。其中A、B、E三种容器的“接雨面”与底面大小相同。A容器高10cm，雨水下满该容器需要1小时；B容器高30cm，雨水下满该容器需要3小时；E容器高20cm，雨水下满该容器需要2小时。剩下C、D两种容器，它们的“接雨面”与底面大小不同，可先将其转化为“接雨面”与底面大小相同的容器（如图所示）。此时，C容器的高变为30cm，雨水下满需3小时；D容器的高变为15cm，雨水下满需1.5小时。 原版赛题传真同步训练一 选择题1（2007年 广东初中数学竞赛试题）如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB、DC重合，则所围成的几何体图形是( ) 1. DP2（2004年重庆市数学竞赛初中一年级决赛试题）把10个相同的小正方体按如图的位置堆放，它的外表会有若干个小正方形，如果将图中标有字母P的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬动前相比（）（A）不增不减（B）减少一个（C）减少2个（D）减少3个2. A3（2004年江苏省初中数学竞赛试题）如图(1)，将正方体的左上部位切去一个小三棱柱（图中M、N都是正方体的棱的中点），得到如图(2)所示的几何体设光线从正前方、正上方、正左方照射图(2)中的几何体，被光照射到的表面部分面积之和分别为S前、S上、S左.那么( )(A)S前=S上=S左 (B) S前S上S左 (C)S上S左S前 (D)S上S左=S前3. C4 （2008年第6届“创新杯”全国数学邀请赛试题）如图是一个正方体纸盒，在其中的三个面上各画一条线段构成ABC，且A、B、C分别是各棱上的中点现将纸盒剪开展成平面，则不可能的展开图是（ ）4 B 5(2007年“希望杯”数学邀请赛试题)韩老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图(a)放置，然后又如图(b)放置，则图(b)中四个底面正方形中的点数之和为( ) (A) 11 (B) 13 (C) 14 (D) 165 D由图（a）依次可以判定：点4的对面是2，点6的对面是3，点5的对面是1。从而知图(b)中底面四个点数之和为1+3+6+6=16。二 填空题6（2006年山东省初中数学竞赛试题）桌面上摆着一些相同的小正方体木块，从正南方向看如图1(a)，从正西方向看如图1(b)那么，桌上至少有这样的小正方体木块 块6D由已给视图可知至少有6块，下图给出了由6块小正方体木块组成的满足条件的方案7（2004年第二届理想杯数学邀请赛复赛试题）有一个333的正方体，现从其表面任意拿出一个111的小正方体，则剩余立体图形的表面积为 （写出所有可能的结果）7. 54；56；58原立方体的表面积为96=54。当拿出的小正方体位于角上时，表面积不变；当拿出的小正方体位于边上时，表面积增加2平方单位；当拿出的小正方体位于中间时，表面积增加4平方单位。8(2008年龙泉市七年级数学竞赛试题)如图是一个正方体的平面展开图，各个面上分别写有“华”、“师”、“大”的汉字若各个面上所写汉字“华”、“师”、“大”表示三个不同的数字，且这个正方体的三组对面（左面和右面、上面和下面、前面和后面）上的两个汉子所表示的数字之和分别为7、8、9，则这个正方体六个面上的汉字所表示的六个数字之积为 .8. 3600设“华”、“师”、“大”三个数字分别为x,y,z。则有x+y=7,y+z=8,z+x=9=49（2004年江苏省初中数学竞赛试题）把图(1)中的正方体沿图用粗线画出的7条棱剪开，即可将其表面展开在平面上在图(2)中按已确定的一个面ABCD的位置，画出这个平面展开图的示意图9. 如下图所示10（2006年江苏省初中数学竞赛试题）如图6(1)，一个正方体的三个面上分别写有1、2、3，与它们相对的三个面上依次写有6、5、4这个正方体的每一条棱处各嵌有一根金属条，每根金属条的质量数（单位：克）等于过该棱的两个面上所写数的平均数 (1)这个正方体各棱上所嵌金属条的质量总和为 克 (2)沿这个正方体的某些棱（连同嵌条）剪开，得到图(2)所示的展开图，其周边棱上金属条质量之和的最小值为 克在图(2)中把这个正方体的六个面上原有的数字写出来（注：写字的这一面是原正方体的外表面）10. (1)42；(2)21各面上的数字如图，三 解答题11. （2004年江苏省初中数学竞赛试题）如图(2)为正方体图(1)的展开图图(1)中M，N分别是FG，GH的中点，CM，CN，MN是三条线段，试在图(2)中画出这些线段11.如下图12. （2000年江苏省初一数学竞赛试题）（1）图（1）是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图（2），（3），（4），（5）的木块。 （1） （2） （3） （4） （5）我们知道，图（1）的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图（2），（3），（4），（5）中木块的顶点数，棱数，面数填入下表：图顶点数棱数面数（1）8126（2）（3）（4）（5）（2）观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是：_.（3）图（6）是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图（2）（5）不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为_，棱数为_，面数为_。这与你（2）题中所归纳的关系是否相符？12. （1）图顶点数棱数面数（1）8126（2）695（3）8126（4）8139（5）10157（2）顶点数-棱数+面数=2（3）按要求画出图形，再验证（2）的结论。13. （2001年第16届江苏省初中数学竞赛试题）把两个长3cm、宽2cm、高1cm的小长方体先粘合成一个大长方体，再把它切分成两个大小相同的小长方体，末了一个小长方体的表面积最多可比起初一个小长方体的表面积大多少？13. 设原先的小长方体称为A型体，将这两个A型体最小面1cm2cm粘合成一个大长方体：1cm2cm6cm。将这大长方体从最小边开始，在面1cm6cm中间切开，成为两个B型小长方体：0.5 cm2cm6cm. 一个A型小长方体表面积S1=2（12+13+23）=22(cm2), 一个B型小长方体表面积S2=2(0.52+0.56+26)=32(cm2). 一个B型小长方体表面积与一个A型小长方体表面积可以相差10cm2,这是差的最大值。14（2000年北京市第17届迎春杯数学科普活动日队际交流试题）把一个长方体的木料分割成3小块. 使这3小块的体积相等, 已知这长方体的长为15厘米、宽为12厘米、高为9厘米. 分割时要求只能锯两次, 如图就是一种分割线的图. 除这种分割的方法外, 还可有其它不同的分割方法, 请把分割线分别画在下面的各图中.14. 分割的方法很多，下面的几种供参考。15（1