经济数学极值的几何应用.ppt

ESC 3 2极值的几何应用 在资源一定的情况下 要求效益最佳的问题 实际中 而在效益一定的情况下 要求所消耗的资源最少的问题 ESC 3 2极值的几何应用 或 设函数在区间上 若 则称是函数在区间 或 且对该区间内一切 有 由最大值与最小值的定义知 最大值与最小值统称最值 ESC 3 2极值的几何应用 1 函数的极值是仅就函数有定义的区间内某一点的邻近 即在局部范围内比较函数值的大小 故2 一个函数在一个区间上可以有几个极大值和极小值 3 极值只能在区间内部取得 1 而函数的最值是函数在所考察的区间上比较函数值的大小 故必有2 一个函数在一个区间上只能有一个最大值和最小值 3 最值可在区间内部取得 也可在区间端点处取得 若在区间内部求函数的最值 则只能在函数的极值中寻找 特别是在解极值应用问题时 常常是下述情况 3 2极值的几何应用 若函数在区间内仅有一个极大值而没有极小值 则该极大值就是函数在该区间内的最大值 若函数在区间内仅有一个极小值而没有极大值 则该极小值就是函数在该区间内的最小值 极大值 最大值 极小值 最小值 ESC ESC 1 分析问题 建立目标函数 3 2极值的几何应用 3 作出结论 按实际问题的要求给出结论 在充分理解题意的基础上 设出自变量与因变量 一般地 是把问题的目标 即要求的量作为因变量 把它所依赖的量作为自变量 建立二者的函数关系 即目标函数 并确定该函数的定义域 2 解极值问题 应用极值知识 求目标函数的最大值或最小值 3 2极值的几何应用 ESC 案例 一块边长为24cm的正方形纸板 四角各截去一个大小相同的小正方形 然后将四边折起做一个无盖的方盒 问截掉的小正方形边长为多少时时 能得到一个容积最大的方盒 最大容积是多少 该案例是在资源一定的情况下 即纸板的大小给定 要求效益最佳的问题 即要使方盒的容积最大 解案例 1 分析问题 建立目标函数 按题目的要求 在纸板大小给定的条件下 要使方盒的容积最大是我们的目标 而方盒的容积依赖于截掉的小正方形的边长 这样 目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方形边长之间的函数关系 3 2极值的几何应用 ESC 解案例 1 分析问题 建立目标函数 设截掉的小正方形的边长为 则方盒底的边长为 2 解极大值问题确定的取值 以使方盒的容积取最大值 由此知 截掉的小正方形的边长最长为12cm 若以表示方盒的容积 则与的函数关系为 3 2极值的几何应用 ESC 解案例 续 2 解极大值问题 因为当时 所以是极大值点 由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点 这也就是取最大值的点 3 结论当截掉的小正方形边长cm时 方盒容积最大 最大容积为 cm3 当时 ESC 解 练习 3 2极值的几何应用 这是容积一定 要求用料最省 即在效益一定的情况下 要求所消耗的资源最少的问题 1 分析问题 建立目标函数贮油桶的容积一定 要求用料最省 这实际上就是以圆柱形贮油桶表面积最小为目标 而圆柱形的表面积依赖于底半径和侧面高度 由于圆柱形贮油桶的体积 容积 已知 则侧面高度可用底半径来表示 设圆柱形贮油桶的底半径为 其侧面高度为 则由 即 要设计一个容积为54m3的有盖圆柱形贮油桶 问底半径为多少时 用料最省 得 ESC 解练习 续 3 2极值的几何应用 因贮油桶的上盖和下底面积都是 侧面积是 若以表示贮油桶的表面积 则目标函数为 2 解极小值问题 因 ESC 解练习 续 3 2极值的几何应用 2