经济数学41定积分的概念与性质.ppt

4 1定积分概念与性质 4 3积分的基本公式 经济数学基础 第4章 ESC 第4章积分及其应用 4 4换元积分法 4 2不定积分概念与性质 4 5分部积分法 4 6无限区间的广义积分 4 7积分学的应用 一 定积分定义 ESC 4 1定积分概念与性质 二 定积分的几何意义 4 1定积分概念与性质 三 定积分的性质 ESC 一 定积分定义 规则图形的面积 矩形的面积 长宽 长 宽 高 下底 上底 直角梯形的面积 中位线 长为 直角梯形的面积可用矩形面积计算 ESC 一 定积分定义 一 定积分定义 用若干条平行于轴及轴的直线将图形分割 所求面积应为被分割的所有小面积之和 如左图 将其放入平面直角坐标系中 我们分析 由三条直线和一条曲线围成 其中两条直线互相平行 第三条直线与这两条直线垂直 另一边为曲线 称这样的图形为曲边梯形 对四周的不规则图形 面积怎么求 只要将其求出 则大的不规则图形面积也即求出 ESC 求不规则图形的面积问题 其中 中间部分为矩形 易求面积 求曲边梯形的面积问题 ESC 一 定积分定义 案例 如何求曲边梯形的面积 将曲边梯形放在平面直角坐标系中 则由连续曲线 称为曲边梯形 直线 面积 ESC 一 定积分定义 直 曲 在区间上任意选取分点 每个小区间的长度为 其中最长的记作 我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积 1 分割 分曲边梯形为个小曲边梯形 ESC 一 定积分定义 过每个分点 作轴的垂线 把曲边梯形分成个窄曲边梯形 1 分割 分曲边梯形为个小曲边梯形 用表示所求曲边梯形的面积 表示第个小曲边梯形面积 则有 ESC 一 定积分定义 2 近似代替 用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 在每一个小区间上任选一点 用与小曲边梯形同底 以为高的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积 即 ESC 一 定积分定义 3 求和 求个小矩形面积之和 个小矩形构成的阶梯形的面积是 这是原曲边梯形面积的一个近似值 即 ESC 一 定积分定义 4 取极限 由近似值过渡到精确值 分割区间的点数越多 即越大 且每个小区间的长度越短 即分割越细 阶梯形的面积 即和数与曲边梯形面积的误差越小 现将区间无限地细分下去 并使每个小区间的长度都趋于零 这时 和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值 动态描述阶梯形面积与曲边梯形面积的无限接近过程 ESC 一 定积分定义 案例 如何求曲边梯形的面积 面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 经以下四步 一 定积分定义 案例 如何求曲边梯形的面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 经以下四步 一 定积分定义 案例 如何求曲边梯形的面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 经以下四步 A 一 定积分定义 案例 如何求曲边梯形的面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 经以下四步 A 一 定积分定义 案例 如何求曲边梯形的面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 经以下四步 A 一 定积分定义 案例 如何求曲边梯形的面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 经以下四步 A 一 定积分定义 案例 如何求曲边梯形的面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 经以下四步 ESC 一 定积分定义 案例 求得曲边梯形的面积 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 经 ESC 一 定积分定义 定义4 1 用分点 设函数在闭区间上有定义 把区间分成个小区间 其长度 并记 在每一个小区间 上任选一点 作乘积的和式 当时 若上述和式的极限存在 且这极限与区间的分法无关 与点的取法无关 则称函数在上是可积的 并称此极限值为函数在上的定积分 记作 即 ESC 一 定积分定义 积分上限 积分下限 积分变量 积分号 称为积分区间 由定积分定义还可知 案例中 ESC 一 定积分定义 由定积分定义知 积分上限 1 定积分是一个数值 该数值取决于被积函数和积分区间 与积分变量无关 即 积分下限 2 交换定积分的上下限 定积分变号 即 特别地 有 ESC 一 定积分定义 3 可以证明 如果在区间上可积 则在区间上有界 即函数有界是其可积的必要条件 这一结论也可以叙述为 如果函数在区间上无界 则在上不可积 4 可积的充分条件 且只有有限个第一类 函数在上连续 在上可积 函数在上有界 在上可积 间断点 ESC 一 定积分定义 例1下列函数在区间 1 1 上不可积的是 解 选 在区间 1 1 上有 无穷型间断点即无界 学生思考 为什么选项中的函数在区间 1 1 上可积 ESC 二 定积分的几何意义 特别地 在区间上 若 则 面积 二 定积分的几何意义 在区间上 若 ESC 二 定积分的几何意义 则图中阴影部分的面积为 在区间上 ESC 二 定积分的几何意义 例2 ESC 用几何图形说明下列等式成立 1 1 由定积分的几何意义 该面积就是作为曲边的函数在区间上的定积分 即 解 二 定积分的几何意义 ESC 2 解 2 由定积分的几何意义 该面积就是作为直线的函数在区间上的定积分 即 三 定积分的性质 性质1 ESC 常数因子可提到积分符号前 性质2 代数和的积分等于积分的代数和 例3 ESC 解 计算定积分 由上述定积分的性质及例2 有 由性质2 由性质1 由例2 1 2 三 定积分的性质 三 定积分的性质 ESC 对任意三个数 总有 1 当时 由定积分的几何意义可知 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 即 性质3 定积分对积分区间的可加性 三 定积分的性质 性质3 定积分对积分区间的可加性 对任意三个数 总有 2 当时 由前一种情形 应有 ESC 其他情形可类似推出 例4 ESC 用几何图形说明下列等式成立 解 三 定积分的性质 1 1 由定积分对区间的可加性知 面积 由定积分的几何意义 故 奇函数 ESC 解 三 定积分的性质 2 由定积分对区间的可加性知 面积 由定积分的几何意义 故 2 偶函数 三 定积分的性质 ESC 则 则 1 若是奇函数 即 设函数在对称区间上连续 2 若是偶函数 即 三 定积分的性质 ESC 性质4 比较性质 若函数和在闭区间上总有 则 由图 两个曲边梯形的面积有关系 的面积 的面积 例5 ESC 比较下列积分值的大小 解 三 定积分的性质 由定积分的比较性质 1 在区间上 因 ESC 解 三 定积分的性质 由定积分的比较性质 2 在区间上 因 ESC 三 定积分的性质 5 1 1 ESC 三 定积分的性质 这一性质的几何意义是 由曲线 轴和直线 所围成的曲边梯形面积等于区间上某个矩形的面积 这个矩形的底是区间 其高为区间内某一点处的函数值 ESC 三 定积分的性质 由 5 1 1 式得到的 称为函数在区间上的平均值 例 已知需求函数为试求出在区间平均 价格的表示式 单位 元 ESC 三 定积分的性质 解在区间平均价格记为 则 例 估计的值 解令 求导得 令 得 ESC 三 定积分的性质 所以 ESC 内容小结 1 定积分的定义 乘积和式的极限 近似计算 矩形公式 梯形公式 3 定积分的性质 4 积分中值定理 连续函数在区间上的平均值公式 2 定积分的几何意义 ESC 课