高一数学：向量的坐标运算和数量积.docx

第十讲 向量的数量积和坐标运算（新课）1数量积的有关概念(1)两个非零向量a与b，过O点作a，b，则 .叫做向量a与b的夹角；范围是 .(2)a与b的夹角为 度时，叫ab.(3)若a与b的夹角为，则ab|a|b|cos.(4)a在b的方向上的投影为 .（5）熟悉数量积定义的变形1：2：3：2数量积满足的运算律已知向量a、b、c和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(1)ab ；(2)(a)b(ab) ；(3)(ab)c .3注意(1)两个向量的数量积是一个实数0a0(实数)而0a0.(2)数量积不满足给合律(ab)ca(bc)(3)ab中的“”不能省略例1(1)已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a与b的夹角为30，（1）分别求ab.，（2）a与b的夹角为30，求（2a+ b）（a b）【解析】当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0.ab|a|b|cos025110.若a与b反向，则它们的夹角为180.ab|a|b|cos18025(1)10.当ab时，它们的夹角为90.ab|a|b|cos902500.当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos30255.（2）(2)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.(2)2，(2)2()2，2()2.442264.16.例2（夹角问题）（1）已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为（ ）()A. B. C. D.【解析】设a与b的夹角为.由题意，得ab|a|b|cos14cos2，cos，即.(2)已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：a与b的夹角；ab与ab的夹角的余弦值【解析】(ab)(ab)|a|2|b|2，又|a|1，|b|.，设a与b的夹角为，则cos.45.(ab)2a22abb212，|ab|.(ab)2a22abb212，|ab|.设ab与ab的夹角为，则cos.cos.例3（模的问题）(1)已知向量a，b满足|a|6，|b|4，且a与b的夹角为60，求|ab|和|a3b|.解析】方法一因为|a|6，|b|4， a与b的夹角为60.所以，ab|a|b|cos6412，(ab)2a22abb236241676，(a3b)2a26ab9b23672144108.所以，|ab|2，|a3b|6.练习：1关于平面向量a，b，c，有下列命题：若abac，则bc；|ab|a|b|ab；ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|；若非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案2(2013衡水调研卷)已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是（ ）()A4B4 C2 D2解析ab|a|b|cosa，b18cosa，b12，cosa，b.a在b方向上的投影是|a|cosa，b4.3已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.解析由题设知|e1|e2|1，且e1e2，所以b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e3286.4已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|；(3)若a，b，作ABC，求ABC的面积答案(1)120(2)，(3)3解析(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261.|a|4，|b|3，代入上式求得ab6.cos.又0，180，120.(2)可先平方转化为向量的数量积|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.同理，|ab|.(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值由(1)知BAC120，|a|4，|b|3，SABC|sinBAC 34sin1203.用坐标表示数量积(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab .(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，夹角为，则|a| ，cos .ab . ab .例4：（1）已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12 B6 C6 D12答案D解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.（2）设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)，若(ac)b，则|a|_.解析由题意可得ac(3,3m)由(ac)b，得(ac)b0.即(3,3m)(m1,1)3(m1)3m0，解得m，a(1，1)，|a|.(3)如图所示，在平行四边形ABCD中，(1,2)，(3,2)，则_.【解析】由于四边形ABCD为平行四边形，设O为AC与BD的交点，连接O点与DC的中点E，则22()(1,2)，所以1223.例5： (1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|_.(2)(2012重庆)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab| ()A. B. C2 D10（3）已知|a|3，|b|2，a，b60，若(3a5b)(mab)，则m的值为 ()A. B. C. D.【解析】(1)ab，212y，y1.b(2，1)，3ab(1,5)|3ab|.(2)由ac，得ac2x40，解得x2.由bc，得，解得y2，所以a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)，|ab|，故选B项（3）由已知可得(3a5b)(mab)0.即3ma2(5m3)ab5b203m32(5m3)32cos605220，解之得m.例6(1)a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于（ ）()A. B C. D【解析】由题可知，设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以可以解得x5，y12，故b(5,12)由cosa，b，故选C.例7已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O为原点(1)若，求tan的值；(2)若，求sin2的值；(3)若|且(0，)，求与的夹角解析】(1)(cos，sin)，(3,3)，3cos3sin，tan1.(2)(cos3，sin)，(cos，sin3)，cos23cossin23sin0，sincos，12sincos，sin2.(3)(3cos，sin)，|2(3cos)2sin213，cos.(0，)，C(，)，cos，.与的夹角为.练习：若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于（ ）()A B. C. D.解析2ab(3,3)，ab(0,3)，则cos，故夹角为，选C.例8已知向量a(sin，)，b(1，cos)，(，)(1)求ab，求；(2)求|ab|的最大值解析(1)因为ab，所以sincos0.得tan.又(，)，所以.(2)因为|ab|2(sin1)2(cos)254sin()，所以当时，|ab|2的最大值为549.故|ab|的最大值为3.例9：已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 :B2 C. D.【解析】方法一设出单位向量的坐标和向量c的坐标，将问题转化为求函数的最值设|c|r，设a(1,0)，b(0,1)，c(rcos，rsin)，则(ac)(bc)0，即(1rcos，rsin)(rcos，1rsin)0，即rcosr2cos2rsinr2sin20，即r2r(sincos)，当r0时，则rsincossin()，即|c|的最大值是.法二：直接设出向量的直角坐标，把问题转化为坐标平面内曲线上的问题，根据曲线的几何意义解决设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则(ac)(bc)0，即(1x，y)(x,1y)0，即x2y2xy0，即(x)2(y)2，这是一个圆心坐标为(，)，半径为的圆，所求的问题等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离，根据图形，最大距离是，即所求的最大值为.方法三因为|a|b|1，ab0，展开(ac)(bc)0后得|c|2c(ab)，由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故|ab|，设ab，c，则|c|2c(ab)|c|ab|cos，当|c|0时，|c|ab|coscos，故|c|的最大值是例10设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的范围答案(7，)(，)解析由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角设2te17e2(e1te2)，0，可求得所求实数t的范围是(7，)(，)例11已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 ()A4 B3C42 D32答案D