《1.1.2 平面上的伸缩变换》同步练习1.doc

1.1.2 平面上的伸缩变换同步练习11在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换后的方程(1)2x3y0；(2)x2y21.【解】由伸缩变换得到(1)将代入2x3y0，得到经过伸缩变换后的方程为xy0，所以，经过伸缩变换后，直线2x3y0变成直线xy0.(2)将代入x2y21，得1.所以，经过伸缩变换后，方程x2y21变成1.2伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆x21.求曲线C的方程【解】把代入x21，得x2y21，即曲线C的方程为x2y21.3设F：(x1)2(y1)21在的伸缩变换下变为图形F，求F的方程【解】由得所以(x1)2(y1)21变换为(x1)2(y1)21，即(y1)21，所以F的方程是(y1)21.4双曲线1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x2y21吗？【解】双曲线方程1可以化为()2()21.令则x2y21.所以双曲线1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x2y21，具体步骤是：按伸缩系数向着y轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数向着x轴进行伸缩变换5已知G是ABC的重心，经过伸缩系数k向着x轴(或y轴)的伸缩变换后，得到G和ABC.试判断G是否为ABC的重心【解】设ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则G(，)经过伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到ABC的三个顶点及点G的坐标分别为A(x1，ky1)、B(x2，ky2)，C(x3，ky3)，G(，k)由于ABC的重心坐标为(，)，所以G仍然是ABC的重心同理可证，若伸缩变换向着y轴方向，G同样也是ABC的重心6已知：ABC经过伸缩变换(k0，且k1)后，得到ABC.求证：ABC和ABC相似，且面积比为k2.【证明】设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A(kx1，ky1)、B(kx2，ky2)所以AB|k|k|AB.同理可得AC|k|AC，BC|k|BC，所以ABCABC，所以AA，SABC(|k|AB)(|k|AC)sin Ak2(ABAC)sin Ak2SABC.7设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数，使PP2，称为点P分有向线段P1P2所成比设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，点P分有向线段P1P2所成比为，经过伸缩变换后，点P1、P2和P分别变为P1、P2和P.求证：P1、P2和P三点依然共线，且P分有向线段P1P2所成比等于.【证明】设P(x0，y0)，由，得(x0x1，y0y1)(x2x0，y2y0)，所以设给定伸缩变换为则有P1(k1x1，k2y1)、P2(k1x2，k2y2)、P(k1，k2)(k1k1x1，k2k2y1)(，)，(k1x2k1，k2y2k2)(，)，所以.所以P1、P2和P三点依然共线，且P分有向线段P1P2所成比等于.8在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线1的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍【解】(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线1的图形如下：(2)如果x轴上的单位长度保持不变