《1.3.1 二项式定理》导学案3.doc

1.3.1 二项式定理导学案3【课标要求】1会证明二项式定理2掌握二项式定理及其展开式的通项公式3能解决与二项展开式有关的简单问题【核心扫描】1二项式定理的证明(难点)2利用通项公式求特定项或其系数(重点)3二项式系数与二项展开式中某项的系数(易混点)自学导引1二项式定理二项展开式：(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二项式定理，其中各项的系数C(k0,1,2，n)叫做二项式系数特别地，(1x)n1CxCx2CxkCxn(nN*)；结构特点：(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n；(3)共有n1项想一想：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a、b的值有关2二项展开式的通项(ab)n的二项展开式中的第k1项Cankbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即Tk1Cankbk.(其中0kn，kN，nN*)试一试：二项式(ab)n与(ba)n展开式中第r1项是否相同？提示不同(ab)n展开式中第r1项为Canrbr，而(ba)n展开式中第r1项为Cbnrar.名师点睛1二项式定理的理解(1)项的构成：展开式中每一项的构成，都可以利用分步乘法计数原理来解析如通项Tr1Canrbr即为从n个因式(ab)中取r个，有C种取法，这r个因式取b相乘得到br，余下的nr个因式取a相乘得到anr，所以构成该项Canrbr.(2)二项展开式的特点：展开式共有n1项各项的次数都等于二项式的幂指数n.字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2对通项公式的理解(1)通项Tr1Canrbr是(ab)n的展开式的第r1项，这里r0,1，n.(2)二项式(ab)n的第r1项Canrbr和(ba)n的展开式的第r1项Cbnrar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的(3)注意二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负(4)通项公式是在(ab)n这个标准形式下而言的，如(ab)n的二项展开式的通项公式是Tr1(1)rCanrbr(只需把b看成b代入二项式定理)，这与Tr1Canrbr是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是C，但项的系数一个是(1)rC，一个是C，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念.题型一二项式定理的正用、逆用【例1】 (1)求4的展开式；(2)化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)思路探索 (1)直接运用公式将其展开，也可先变形，后展开；(2)根据所给式子的形式，考虑逆用二项式定理解(1)法一4C4C3C22C3C481x2108x54.法二4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C1(x1)151x51.规律方法运用二项式定理展开二项式，要记准展开式公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数【变式1】 (1)展开6；(2)化简：12C4C2nC.解(1)6(2x1)6C(2x)6C(2x)5C(2x)4C(2x)3C(2x)2C(2x)C64x3192x2240x160.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.题型二二项展开式通项的应用【例2】 若n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中的所有有理项思路探索 先由前三项系数成等差数列确定n，再利用二项展开式的通项求有理项解(1)由已知可得CC2C，即n29n80，解得n8，或n1(舍去)Tk1C()8kkC2kx4k，令4k1，得k4.所以x的一次项为T5C24xx.(2)令4kZ，且0k8，则k0,4,8，所以含x的有理项分别为T1x4，T5x，T9.规律方法利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等等其通常解法就是根据通项公式确定Tk1中k的值或取值范围以满足题设的条件【变式2】 已知二项式10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项解(1)10的展开式的第5项为T5C(x2)64C4x124x10.(2)设第k1项为常数项，则Tk1C(x2)10kkCx20kk(k0,1,2，10)，令20k0，得k8，所以T9C8，即第9项为常数项，其值为.题型三二项式定理的应用【例3】 (1)用二项式定理证明：34n252n1能被14整除；(2)求9192除以100的余数审题指导 规范解答 (1)证明：34n252n192n152n1(95)52n152n1(145)2n152n1(2分)142n1C142n5C142n152C1452nC52n152n1(4分)14142nC142n15C142n252C52n上式是14的倍数，能被14整除，所以34n252n1能被14整除(6分)(2)解法一9192(1009)9210092C100919C1009092C100991992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数992(101)92(8分)1092C1091C1090C102C10(1)921092C1091C1090C1029201(10分)(1092C1091C1090C1021 000)81，被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.(12分)法二由9192(901)92C9092C9091C902C901，(9分)可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9018 2818 20081，故9192除以100的余数为81.(12分)【题后反思】 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系【变式3】 求证：51511能被7整除证明51511(492)511C4951C49502C49250C2511.易知除(C2511)以外各项都能被7整除又2511(23)171(71)171C717C716C7C17(C716C715C)，显然能被7整除，所以(51511)能被7整除方法技巧转化思想在二项式定理中的应用转化思想是高中数学重点考查的内容之一在与二项式定理有关的问题中，主要表现为一项式和三项式转化为二项式来求解；若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题【示例】 求(12x3x2)5展开式中x5的系数思路分析 由于三项式的展开式无现成公式，因此应将其转化为二项式的展开式，然后再求x5的系数解法一(12x3x2)51(2x3x2)515(2x3x2)10(2x3x2)210(2x3x2)35(2x3x2)4(2x3x2)515x(23x)10x2(23x)210x3(23x)35x4(23x)4x5(23x)5x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和，即：10C21(3)25C23(3