《1.3.2三角函数的图象与性质（二）》教学案.doc

13.2三角函数的图象与性质（二）教学案第2课时正切函数的图象与性质 (教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)能画出ytan x的图象，并能借助图象理解ytan x在(，)上的性质(2)会利用正切函数的单调性比较函数值大小(3)理解正切函数的对称性2过程与方法通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力3情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃重点难点重点：正切函数的图象与性质难点：理解正切函数在(，)上的性质，并会运用性质解决简单问题教学方案设计(教师用书独具)教学建议 1正切函数的性质建议教师引导学生根据正、余弦函数的图象和性质研究正切函数的性质2正切函数的图象建议教师在教学中，让学生先画出在区间(，)内的图象，体会正切函数图象的形态，并对图象进行平移，观察函数的性质，有条件的话，可以借助多媒体演示作图的过程和图象的变化趋势提醒学生对正切函数图象的理解并记忆正切函数的性质教学流程通过例1及其变式训练，使学生掌握正切函数定义域、值域的应用，并总结在求定义域、值域时注意的事项.课前自主导学课标解读1.能画出ytan x的图象2.理解正切函数ytan x在(，)上的性质(重点)3.能够熟练应用正切函数ytan x的性质(难点)正切函数的图象与性质【问题导思】1说出正切函数ytan x的定义域与值域【提示】定义域为x|xk，kZ，值域为R.2正切函数的奇偶性如何？【提示】正切函数的定义域关于原点对称，又由tan(x)tan x可知，正切函数ytan x为奇函数正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域x|xk，kZ值域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间(k，k)(kZ)上都是增函数课堂互动探究正切函数的定义域、值域例1(1)函数ylogtan(x)的定义域是_(2)求函数ytan2(3x)tan(3x)1的定义域和值域【思路探究】(1)列出使函数有意义的不等式，再求解即可(2)求定义域可把3x看成一个整体，结合函数ytan x的定义域求解，利用换元法求值域【自主解答】(1)由题意tan(x)0，即tan(x)0，kxk，kxk，kZ.【答案】(k，k)(kZ)(2)由3xk，得x(kZ)，函数的定义域为x|x(kZ)，设ttan(3x)，则tR，yt2t1(t)2，原函数的值域是，)规律方法1求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义，即xk(kZ)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解2求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围变式训练(1)函数y(x)的值域是_(2)求函数y的定义域【解】(1)x，1tan x1，即(，1)(1，)【答案】(，1)(1，)(2)要使y有意义，必须满足即函数y的定义域为(k，k)(k，k)(kZ).正切函数的单调性及其应用例2(1)求函数ytan(x)的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小【思路探究】(1)将函数转化为ytan(x)，然后把x看成一个整体，利用ytan x单调区间求解(2)把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较【自主解答】(1)ytan(x)tan(x)由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)函数ytan(x)的单调递减区间是(2k，2k)(kZ)(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3)又2，20，3，30，显然231，且ytan x在(，)内是增函数，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.规律方法1求yAtan(x)的单调区间，可先用诱导公式把化为正值，由kxk求得x的范围即可比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内2运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小变式训练(1)比较大小：tan 1与tan 4.(2)求函数ytan(x)的单调区间【解】(1)tan 4tan(4)tan(4)，41且ytan x在(，)上是增函数，tan(4)tan 1，即tan 1tan 4.(2)由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)函数ytan(x)的单调增区间是(2k，2k)(kZ).正切函数的图象及其应用例3画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性【思路探究】【自主解答】由y|tan x|得，y其图象如图由图象可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为k，k)(kZ)，单调递减区间为(k，k)(kZ)，周期为.规律方法1用图象法研究三角函数性质，体现了数形结合思想方法，其优点是直观、形象，但前提是必须正确作出相应函数图象，本题可采用对称的办法通过变换作出函数图象2只有熟练掌握正切函数的图象和性质才能更好地研究与正切函数有关的一些函数的图象和性质互动探究将本例中的函数y|tan x|改为ytan |x|解答同样的问题【解】由ytan |x|得y根据ytan x的图象，作出ytan |x|的图象如图：由图象可知，函数ytan |x|是偶函数，单调增区间为0，)，(k，k)(k0，1，2，)；单调减区间为(，0，(k，k)(k0，1，2，)，不具有周期性易错易误辨析忽视正切函数的定义域致误典例求函数y 的定义域【错解】要使y有意义，必须满足即函数y的定义域为x|xk且xk，kZ【错因分析】忽略了保证正切函数有意义，即ytan x中xk，kZ.【防范措施】求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ.【正解】要使y有意义，必须满足解得函数y的定义域为(k，k)(k，k)(k，k)(kZ)1正切函数的图象的作法(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较繁(2)三点两线法“三点”是指(，1)，(0，0)，(，1)；“两线”是指x和x.2准确理解正切函数的性质(1) 正切函数ytan x的定义域是x|xk，kZ，这与正弦、余弦函数不同(2)正切函数ytan x的最小正周期是.一般地，函数yAtan(x)(A0，0)的周期为T.(3)正切函数ytan x无单调减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间(4)正切函数ytan x是奇函数，正切函数的图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(，0)(kZ)，正切函数的图象无对称轴，正、余弦函数图象既中心对称又轴对称.当堂双基达标1函数ytan(x)的定义域为_【解析】xk，kZ，xk，kZ.【答案】x|xk，kZ2函数ytan 的周期为_【解析】由公式得T3.【答案】33函数y3tan(x)的增区间为_【解析】kxk，kZ，kxk，kZ，2kx2k，kZ.【答案】(2k，2k)，kZ4求函数ytan 2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间，内的图象【解】定义域为xR|x，kZ；值域为R；周期为.图象如下：课后知能检测一、填空题1下列说法正确的有_(填序号)ytan x是增函数；ytan x在第一象限是增函数；ytan x在每个区间(k，k)(kZ)上是增函数；ytan x在某一区间上是减函数【解析】根据正切函数的单调性，可知正确【答案】2(2013南通高一检测)函数ylg(3tan x)的定义域为_【解析】由ylg(3tan x)得3tan x0，即tan x，kxk，kZ，ylg(3tan x)的定义域为(k，k)(kZ)【答案】(k，k)(kZ)3函数ytan(2x)的单调递增区间是_【解析】由k2xk(kZ)，得x(kZ)【答案】(，)(kZ)4比较大小：tan _tan .【解析】tan tan()tan .ytan x在(0，)上是增函数且0.tan tan ，即tan tan .【答案】5函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间(，)内的图象是图133中的_图133【解析】函数ytan xsin x|tan x sin x|【答案】(4)6ytan 满足下列哪些条件_(填序号)在(0，)上单调递增；为奇函数；以为最小正周期；定义域为x|x，kZ【解析】令x(0，)，则(0，)，所以ytan 在(0，)上单调递增正确；tan()tan ，故ytan 为奇函数；T2，所以不正确；由k，kZ得，定义域为x|x2k，kZ，所以不正确【答案】7函数y3tan(2x)的对称中心是_【解析】2x，kZ，x，kZ.【答案】(，0)(kZ)8已知函数ytan x在(，)内是减函数，则的取值范围是_【解析】ytan x在(，)是减函数，0且10.【答案】1，0)二、解答题9求下列函数的定义域(1)y；(2)ylg(1tan x)【解】(1)由tan x0，得tan x.在(，)内满足不等式的范围是(，又ytan x的周期为，故原函数的定义域为(k，k)，kZ.(2)函数ylg(1tan x)有意义，等价于所以0tan x1.由正切曲线可得kxk，kZ.故原函数的定义域为x|kxk，kZ10. 已知x，f(x)tan2x2tan x2，求f(x)的最值及相应的x值【解】x，tan x1，f(x)tan2x2tan x2(tan x1)21，当tan x1，即x时，f(x)有最小值1，当tan x1即x时，f(x)有最大值5.11判断下列函数的奇偶性(1)f(x)tan x；(2)f(x)lg|tan x|.【解】(1)要使函数有意义，需满足：tan x0，且tan x有意义，即x(k，k)(k，k)，kZ，可知定义域关于原点对称又对于定义域内的任意x，都有f(x)tan xf(x)，函数f(x)为奇函数(2)由得函数f(x)的定义域为(k，k)(k，k)，kZ，定义域关于原点对称又对任意x(k，k)(k，k)，kZ，都有f(x)lg|tan(x)|lg|tan x|lg|tan x|f(x)，函数f(x)是偶函数.教师备课资源(教师用书独具)备选例题观察正切函数图象，写出下列不等式的解集：(1)tan x0；(2)|tan x|1.【思路探究】画出正切函数在(，)内的图象，结合图象求解集【自主解答】(1)设ytan x，则它在(，)内的图象如图所示由图可知