初等变换与初等矩阵.doc

2.3 初等变换与初等矩阵授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。一初等变换与初等矩阵1. 初等变换（1）定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置；2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列）上去，为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。（2）记法 分别用表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用，列变换用例1 .2. 初等矩阵（1）初等矩阵的定义定义2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 、分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。 * 是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。二初等变换与初等矩阵的关系1、问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。2、初等变换与初等矩阵的关系定理2.3.1 对一个矩阵作一次初等行变换,就相当于在的左边乘上相应的阶初等矩阵；对作一次初等列变换,就相当于在的右边乘上相应的阶初等矩阵。（结合分块矩阵，直接相乘，就可证出）证 我们只对初等行变换给出证明，列变换的情况可以同样证明。设其中分别代表矩阵A的第1行，第2行，一直到第m 行。用m 阶初等矩阵左乘A得这相当与把A的第i行与第j列交换用m 阶初等矩阵左乘A得这相当用k乘A的第i行、用m 阶初等矩阵左乘A得这相当与把A的第j行的k倍加到第i行上。三、矩阵的等价标准形1、矩阵的等价关系等价是矩阵的一种关系，它具有如下性质：1）反身性，即；2）对称性，即若，则；3）传递性，即若，且，则。这些性质对研究矩阵的关系很有用。2、矩阵的等价标准形定理2.3.2 任意一个矩阵,都与形式为的矩阵等价。我们称为矩阵的等价标准形。证 设A=0，那么A已经是标准形了。以下设。A至少有一个不为零的元素， 通过行，列的交换总可以把这个元素调到（1，1）位置上去。不妨设，把A的其余行减去第一行的倍，把A的其余列减去第一列的倍。再用乘A的第一行，A就化成，矩阵，对重复以上步骤，总可以化成的形式。让学生记住定理2.3.2的5种形式：；。例2 设求的等价标准形。解 推论1 对两个矩阵和，与等价的充分必要条件是存在m阶初等矩阵P1，P2，PS和n阶初等矩阵Q1，Q2，Qt,使得P1P2PSA Q1Q2Qt=B。推论2 对每个矩阵, 总存在m阶初等矩阵 P1，P2，PS和Q1，Q2，Qt,使得P1P2PSA Q1Q2Qt=四、阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵1、阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵的定义定义4 若矩阵A具有以下特点：1）元素全为零的行（简称零行）在矩阵下方（如果有的话）；2）元素不全为零的行（简称为非零行）的第一个不为零的元素（简称首非零元）的列标随着行标的增加而严格增加，则称矩阵A为阶梯形矩阵。定义5 首非零元为1，且首非零元所在列的其余元素全为零的阶梯矩阵称为简化阶梯形矩阵。2、基本定理定理2.3.3 任意一个矩阵总可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵，进而化为行简化阶梯形矩阵。证 设中第1列不全为零，总可以交换两行使左上角元素不为零。不妨设倍，A化成形如 的矩阵。如A的第1列元素全为零，则考虑第2列，做法相同。不妨设的矩阵。如此继续下去，总可以将A经初等变换化为阶梯形矩阵。进而化成简化阶梯形矩阵。