自动控制系统的数学模型-2.ppt

2 0问题的提出 2 1控制系统的微分方程 2 2传递函数 2 3传递函数方框图等效变换 2 4典型环节及其传递函数 第二章自动控制系统的数学模型 拉氏变换定理 方框图结束 方框图练习 10min 一阶惯性环节 返回目录 控制单元 执行单元 控制对象 测量单元 p t q t y t b t r t e t f t y t F r t f t 为研究系统输出y t 随时间变化的规律 以及系统的特性 必须研究系统的数学模型 2 0问题的提出 返回本章 2 1控制系统的微分方程 任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述 控制系统也不例外 例如 R C Ui t UO t 解 返回本章 2 1控制系统的微分方程 R C Ui t UO t 当Uo 0 0时 返回本节 一般地 对于线性定常系统 可描述为 2 1控制系统的微分方程 返回本节 系统的数学模型可以用微分方程表示 但对复杂的微分方程 其求解过于困难 甚至无法求解 为此研究系统的复数模型 即传递函数 为把实数模型转换为复数模型 必须借助拉氏变换 即Laplace变换 返回本章 2 2传递函数 1 Laplace变换积分变换的一种 它把复杂的微分方程转换为简单的线性代数方程 定义为 其中 s j F s f t 的象函数 f t F s 的象原函数例如 返回本节 2 2传递函数 2 常用拉氏变换 返回本节 2 2传递函数 3 拉氏变换定理 条件 f 0 0 即初始条件为0 条件 f 0 f 0 f 0 f n 1 0 0 返回本节 2 2传递函数 4 拉氏逆变换 可通过公式推导 但通常通过查拉氏变换表 如不能直接查到 则应先分解为部分分式和 例如 返回本章 2 2传递函数 5 传递函数 R C Ui t UO t 设Uo 0 0 则 返回本节 2 2传递函数 从以上可以看出 只要G s 一确定 该电路 环节 系统 的输出与输入之间的关系便已确定 因此 将G s 称为该电路 环节 系统 的传递函数 返回本节 2 2传递函数 传递函数的定义 线性定常系统在初始条件为零的情况下 其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 下面推导一般系统的传递函数 返回本节 2 2传递函数 在初始条件为零的情况下 对两边求拉氏变换得 传递函数G s 在复数域表征了在零初始条件下系统的输出量与输入量之间的关系 对于实际的系统 总有n m 即G s 是复变量s的有理分式 返回本节 2 2传递函数 将G s 写成 其中 X s 0称为系统的特征方程 也即对应微分方程的特征方程 pi i 1 n 为X s 0的根 称为G s 的极点 zi i 1 m 为Y s 0的根 称为G s 的零点 如果系统特征方程中s的次数是n 则称该系统称为n阶系统 返回本节 2 2传递函数 传递函数的性质 1 分母次数n 分子次数m 惯性所致 2 an an 1 a1 a0 bm bm 1 b1 b0取决于系统中各元件的参数 3 传递函数反映系统的固有特性 取决于系统的结构和参数 与系统存在的物理形式 输入输出的形式以及初始条件无关 4 传递函数的零极点若为复数 则必为共轭复数 成对出现 5 传递函数的拉氏逆变换实际上是系统的理想单位脉冲响应 简称脉冲响应 6 传递函数在系统中起信号的传递或转换作用 返回本节 2 2传递函数 由于传递函数反映的是系统的固有特性 取决于系统的结构和参数 与系统存在的物理形式 输入输出的形式以及初始条件无关 因此在研究控制系统时往往仅从系统的传递函数入手 而不去关心系统的结构形式 因为 对于控制系统 最重要的是 1 系统的动态过程是否稳定 以及稳定程度如何 2 系统是否存在静态偏差 以及静态偏差的大小 3 寻找提高稳定性和减少静态偏差的途径 传递函数的用途 1 求系统或环节输出量的表达式 2 分析系统的稳定性 动态特性和静态特性 返回本节 2 2传递函数 6 传递函数的方框图 将一个环节用方框图表示 并将其传递函数写在方框中 便得到该环节的传递函数方框图 若用方框图描述一个系统 并将系统中各个环节用传递函数方框图表示 则得到该系统的传递函数方框图 G s Xi s XO s 环节的传递函数方框图 返回本节 2 2传递函数 G1 s G2 s G3 s G4 s P s Q s Y s B s R s E s F s 控制系统的传递函数方框图 返回本节 2 2传递函数 传递函数的方框图的基本元素 1 函数方框 方框中的传递函数表示该环节的动态特性 其输出等于该环节的传递函数和输入的乘积 环节的输入会影响环节的输出 但输出不会影响输入 2 信号线 带箭头的信号传递路线 信号线上标出其携带的信号变量 信号传递具有单向性 3 引出点 交叉点 测量点 信号线的分叉点 同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同 4 比较点 会合点 对两个以上的信号进行代数运算 其输出等于各个输入的代数和 END 返回本节 2 2传递函数 又设系统的输入x t t 即X s 1 对Y s 求拉氏逆变换得到系统的脉冲响应输出y t 设系统的传递函数为 则系统的输出 则 返回最近 2 2传递函数 对Y s 求拉氏逆变换得到系统的阶跃响应输出y t t 那么系统的输出 若n m 则在G s 中至少出现s的一次方项 设G s s 假设对系统输入一个单位阶跃输入x t 1 即X s 1 s 该系统在实际中不存在 返回最近 2 2传递函数 2 3传递函数的方框图等效变换 G2 s G1 s G3 s Xi s X1 s X2 s Xo s 1 串联方框的等效变换 返回本章 G2 s G1 s G3 s Xi s X1 s X2 s Xo s G s Xi s Xo s 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 2 3传递函数的方框图等效变换 G2 s Xi s X1 s X2 s Xo s 2 并联方框的等效变换 G s Xi s Xo s 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 G1 s H s 3 反馈连接方框的等效变换 X1 s Xf s Xi s Xo s A 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 G1 s H s X1 s Xf s Xi s Xo s A G s Xi s Xo s 反馈连接传递函数也称为闭环传递函数 若在A点断开 则为开环 开环传递函数为 前向通道反馈通道 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 G1 s Xi s G s Xi s Xo s Xo s 若反馈通道的传递函数H s 1 则称为单位反馈 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 4 引出点的移动 相邻的引出点可以前后任意改变次序 A B B A 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 顺着信号传递的方向跨越环节 乘以 G s X1 s X2 s X3 s G s X3 s X1 s X2 s 1 G s 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 G s X1 s X2 s X3 s G s X3 s X1 s X2 s 逆着信号传递的方向跨越环节 乘以G s 返回本节 G s 2 3传递函数的方框图等效变换 X1 s X2 s X4 s 5 汇合点的移动 X3 s X1 s X2 s X4 s A B A B 相邻的汇合点可以前后任意改变次序 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 乘以G s G s X1 s X2 s X3 s G s G s X3 s X1 s X2 s 5 汇合点的移动 顺着信号传递的方向跨越环节 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 乘以 逆着信号传递的方向跨越环节 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 相邻的引出点和汇合点不可改变次序 X1 s X2 s A B X1 s X2 s A B 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 逆着信号传递的方向移动 引出点 汇合点 顺着信号传递的方向移动 乘以G s 乘以 乘以 乘以G s 引出点和汇合点的移动原则 保持移动前后的信息总量不变 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 G2 G3 G1 H1 H2 G1 Xi s Xo s 练习1 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 G2 G3 G1 H1 H2 G1 Xi s Xo s G3 H2 G1 Xi s Xo s G1G2 1 G1G2H1 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 Xi s Xo s G1G2G3 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 Xi s Xo s 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 G2 s G3 s G1 s G4 s G5 s G6 s X s Y s 练习2 返回本节 2 3传递函数的方框图等效变换 G2 s G3 s G4 s G5 s G6 s X s Y s 练习3 返回本节 2 4典型环节的传递函数 1 比例环节 环节的输出随输入成比例变化xo t kxi t 其传递函数为 任何复杂的控制系统都是由最基本的典型环节所组成的 返回本章 2 4典型环节的传递函数 1 弹性元件 位移随外力大小成比例变化 比例系数取决于元件的弹性大小 与输入输出无关 片簧 金属膜片 波汶管 F F P 返回本节 2 4典型环节的传递函数 2 节流元件 前后压力差的大小随气流量成比例变化 比例系数取决于元件的弹性大小 与输入输出无关 p t R q t G s P s Q s R 返回本节 2 4典型环节的传递函数 3 喷嘴挡板机构 输出压力随喷嘴挡板的开度成比例变化 恒节流孔 背压室 喷嘴 挡板 喷嘴挡板机构结构示意图 气源 输出 返回本节 2 4典型环节的传递函数 0 10MPa 0 02MPa 10 22 h um MPa 喷嘴挡板机构的静特性 返回本节 2 4典型环节的传递函数 4 放大器 对输入信号成比例放大 气源 输出 输入 气动功率放大器 返回本节 2 4典型环节的传递函数 I II III S P输入F P0 Pa 返回本节 2 4典型环节的传递函数 电动功率放大器 R1 Rf u0 ui i i 返回本节 2 4典型环节的传递函数 返回本节 5 比例环节的阶跃相应特性 t t xo t xi t A kA t xo t xi t A kA t 0 0 0 0 2 4典型环节的传递函数 2 积分环节 环节的输出与输入对时间的积分成比例 若k 1 则 返回本节 2 4典型环节的传递函数 q p 输入量为气体流量 输出量为气容气压 1 气容 返回本节 2 4典型环节的传递函数 C uo i 输入量为电流 输出量为电容两端的电压 2 阻容电路 返回本节 2 4典型环节的传递函数 输入量为电压 输出量也为电压 3 运放电路 ui C uo i i R 返回本节 2 4典型环节的传递函数 4 fig 2 35 ui C uo i i R1 R2 返回本节 2 4典型环节的传递函数 5 积分环节的阶跃响应 设ui t 1 则 Ui s 1 s t u t 返回本节 2 4典型环节的传递函数 3 一阶惯性环节 输入突变时 输出的变化滞后于输入的变化 并按一定的规律趋近于输入值 返回本节 2 4典型环节的传递函数 uo ui R C K i 因分母最高次数为1 所以为一阶惯性环节 返回本节 2 4典型环节的传递函数 ui Rf C R1 uo 运算放大电路组成的惯性环节 返回本节 2 4典型环节的传递函数 一阶惯性环节的阶跃响应 设ui t 1 则 Ui s 1 s 0 2 4 6 8 10 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 一般系统对单位阶跃函数的响应 返回本节 2 4典型环节的传递函数 4 一阶微分环节 环节的输出与输入的微分成比例 设xi t 1 则Xi s 1 s 因此 理想的微分环节在实际中并不存在 返回本节 2 4典型环节的传递函数 实际的微分环节 理想的微分环节与惯性环节的串联 返回本节 2 4典型环节的传递函数 实际的微分环节 理想的微分环节与惯性环节的串联 Pass 返回本节 2 4典型环节的传递函数 实际微分环节的阶跃响应 设ui t 1 则 Ui s 1 s 0 2 4 6 8 10 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 一般系统对单位阶跃函数的响应