（新课标）高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(理)习题.doc

2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(理)习题a组基础巩固一、选择题1(2015山西临汾一模)如图所示，点p在正方形abcd所在平面外，pa平面abcd，paab，则pb与ac所成的角是()a90b60c45d30答案b解析将其还原成正方体abcdpqrs，显然pbsc，acs为正三角形，acs60.2若正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为()a.bc.d答案b解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知b1d平面acd，b1ddc，故b1dc为直角三角形，设棱长为1，则有ad，b1d，dc，sb1dc.设a到平面b1dc的距离为h，则有vab1dcvb1adc，hsb1dcb1dsadc.h，h.设直线ad与平面b1dc所成的角为，则sin.向量法：如图，取ac的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为2，则有a(0，1,0)，d(0,0,2)，c(0,1,0)，b1(，0,2)设n(x，y，z)为平面b1cd的法向量，则有n(0,2,1)sin，n.3(2015皖南八校联考)四棱锥vabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角vabc的余弦值的大小为()a.bc.d答案b解析如图所示，取ab中点e，过v作底面的垂线，垂足为o，连接oe，根据题意可知，veo是二面角vabc的平面角，因为oe1，ve2，所以cosveo，故选b.4(2015沈阳模拟)在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，m是aa1的中点，则点a1到平面mbd的距离是()a.abac.ada答案a解析以a为原点，ab、ad、aa1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系；a1(0,0，a)，m(0,0，)，b(a,0,0)，d(0，a,0)，(a，a,0)，(a,0，)设平面bdm的法向量n(x，y，z)，则，设x1，n(1,1,2)(0,0，)，则点a1到平面mbd的距离da，故选a.5如图所示三棱柱abca1b1c1的侧棱长为3，底面边长a1c1b1c11，且a1c1b190，d点在棱aa1上，ad2da1，点p在棱c1c上，则的最小值为()a.bc.d答案b解析建立如图所示的空间直角坐标系，则d(1,0,2)，b1(0,1,3)，设p(0,0，z)，则(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)(z)2，故当z时，取得最小值为.6过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abcd，若abpa，则平面abp与平面cdp所成的二面角为()a30b45c60d90答案b解析建立如图所示的空间直角坐标系，设abpa1，知a(0,0,0)，b(1,0,0)，d(0,1,0)，c(1,1,0)，p(0,0,1)由题意得，ad平面abp，设e为pd的中点，连接ae，则aepd，又cd平面pad，aecd，又pdcdd，ae平面cdp.(0,1,0)和(0，)分别是平面abp和平面cdp的法向量，而，45，平面abp与平面cdp所成的二面角为45.二、填空题7在长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为_.答案解析建立坐标系如图则a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为.8如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e为cc1的中点，则直线de与平面a1bc1的夹角的正弦值为_.答案解析设正方体的棱长为2，直线de与平面a1bc1的夹角为，建立如图所示的坐标系，则d(0,0,0)，e(0,2,1)，b1(2,2,2)，db1平面a1bc1，(2,2,2)是平面a1bc1的法向量，(0,2,1)，sincos，.9已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e2eb，cf2fc1；则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值等于_.答案解析延长fe，cb相交于点g，连接ag，设正方体的棱长为3，则gbbc3，作bhag于点h，连接eh，则ehb为所求二面角的平面角bh，eb1，tanehb.10正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为bb1，cd的中点，则点f到平面a1d1e的距离为_.答案解析以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则a1(0,0,1)，e(1,0，)，f(，1,0)，d1(0,1,1)(1,0，)，(0,1,0)设平面a1d1e的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又(，1，1)，点f到平面a1d1e的距离为d.三、解答题11(2015新课标全国)如图，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be2df，aeec.(1)证明：平面aec平面afc；(2)求直线ae与直线cf所成角的余弦值答案(1)略(2)解析(1)证明：连接bd，设bdacg，连接eg，fg，ef.在菱形abcd中，不妨设gb1.由abc120，可得aggc.由be平面abcd，abbc，可知aeec.又aeec，所以eg，且egac.在rtebg中，可得be，故df.在rtfdg中，可得fg.在直角梯形bdfe中，由bd2，be，df，可得ef.从而eg2fg2ef2，所以egfg.又acfgg，可得eg平面afc.因为eg平面aec，所以平面aec平面afc.(2)如图，以g为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系gxyz.由(1)可得a(0，0)，e(1,0，)，f(1,0，)，c(0，0)，所以(1，)，(1，)故cos，.所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为.12(2015西安八校联考)在如图所示的几何体中，四边形abcd为矩形，ab2bc4，bfcfaede，ef2，efab，afcf.(1)若g为fc的中点，证明：af平面bdg；(2)求平面abf与平面bcf夹角的余弦值答案(1)略(2)解析(1)连接ac交bd于o点，则o为ac的中点，连接og，点g为fc的中点，ogaf.af平面bdg，og平面bdg，af平面bdg.(2)取ad的中点m，bc的中点q，连接mq，则mqabef，m，q，f，e共面作fpmq于p，enmq于n，则enfp且enfp.连接em，fq，aedebfcf，adbc，ade和bcf全等，emfq，enm和fpq全等，mnpq1，bfcf，q为bc中点，bcfq，又bcmq，fqmqq，bc平面mqfe，pfbc，pf平面abcd.以p为原点，pm为x轴，pf为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则a(3,1,0)，b(1,1,0)，c(1，1,0)，设f(0,0，h)，则(3，1，h)，(1,1，h)afcf，0，解得h2.设平面abf的法向量n(x1，y1，z1)，(3，1,2)，(1，1,2)，由得，令z11，得x10，y12，同理得平面bcf的一个法向量为n2(2,0,1)，cosn1，n2，平面abf与平面bcf夹角的余弦值为.b组能力提升1如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e为bc1的中点，则de与平面bcc1b1所成角的正切值为()a.bc.d答案c解析设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，以d为原点，以da为x轴，以dc为y轴，以dd1为z轴，建立空间直角坐标系，e为bc1的中点，d(0,0,0)，e(1,2,1)，(1,2,1)，设de与平面bcc1b1所成角的平面角为，平面bcc1b1的法向量n(0,1,0)，sin|cos，n|，cos，tan.2在正三棱柱abca1b1c1中，若abaa14，点d是aa1的中点，则点a1到平面dbc1的距离是()a.bc.d答案a解析过点a作ac的垂线为x轴，以ac为y轴，以aa1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱abca1b1c1中，若abaa14，点d是aa1的中点，b(2，2,0)，c1(0,4,4)，d(0,0,2)，a1(0,0,4)，(2，2，2)，(0,4,2)，(0,0,2)，设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，n0，n0，n(，1,2)，点a1到平面dbc1的距离d.故选a.3在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()a.bc.d答案b解析以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1.则a1(0,0,1)，e(1,0，)，d(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，)设平面a1ed的一个法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.4如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧面abb1a1为矩形，ab1，aa1，d为aa1的中点，bd与ab1交于点o，co侧面abb1a1.(1)证明：bcab1；(2)若ocoa，求直线c1d与平面abc所成角的正弦值答案(1)略(2)解析(1)由题意知tanabd，tanab1b，注意到0abd，ab1b，所以abdab1b，所以abdbab1ab1bbab1，所以ab1bd.又co侧面abb1a1，所以ab1co.又bd与co交于点o，所以ab1平面cbd.又bc平面cbd，所以bcab1.(2)如图，以o为坐标原点，分别以od，ob1，oc所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系oxyz，则a(0，0)，b(，0,0)，c(0,0，)，b1(0，0)，d(，0,0)因为2，所以c1(，)所以(，0)，(0，)，(，)设平面abc的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得，令x1，得n(1，)设直线c1d与平面abc所成的角为，则sin.5(2015湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马pabcd中，侧棱pd底面abcd，且pdcd，过棱pc的中点e，作efpb交pb于点f，连接de，df，bd，be.(1)证明：pb平面def.试判断四面体dbef是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面def与面abcd所成二面角的大小为，求的值答案(1)是，deb，def，efb，dfb(2)解析解法一：(1)证明：因为pd底面abcd，所以pdbc，由底面abcd为长方形，有bccd，而pdcdd，所以bc平面pcd.而de平面pcd，所以bcde.又因为pdcd，点e是pc的中点，所以depc.而pcbcc，所以de平面pbc.而pb平面pbc，所以pbde.又pbef，deefe，所以pb平面def.由de平面pbc，pb平面def，可知四面体bdef的四个面都是直角三角形，即四面体bdef是一个鳖臑，其四个面的直角分别为deb，def，efb，dfb.(2)如图1，在面pbc内，延长bc与fe交于点g，则dg是平面def与平面abcd的交线由(1)知，pb平面def，所以pbdg.因为pd底面abcd，所以pddg.而pdpbp，所以dg平面pbd.故bdf是面def与面abcd所成二面角的平面角，设pddc1，bc，有bd，在rtpdb中，由dfpb，得dpffdb，则tantandpf，解得.所以.故当面def与面abcd所成二面角的大小为时，.图1图2解法二：(1)如图2，以d为原点，射线da，dc，dp分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系设pddc1，bc，则d(0,0,0)，p(0,0,1)，b(，1,0)，c(0,1,0)(，1，1)，点e是pc的中点，所以e(0，)，(0，)，于是0，即pb