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文档简介

2-12 导数与极值和最值题型一、函数的极值例设的导数为,若函数的图象关于直线对称,且(1)求实数的值;(2)求函数的极值.解(本小题满分12分,(1)小题5分,(2)小题7分) 解:(1)由得: 所以关于直线对称,所以有,解得: 又由于,所以,解得: (2)由(1)知, 令解得: 当时,故在上为增函数 当时,故在上为减函数 当时,故在上为增函数 所以在处取得极大值,在处取得极小值 例设函数,其中为正实数.(1)当时,求的极值点;(2)若为上的单调函数,求的取值范围.解解: (1)当时,由得:,解得:, 结合可得:当时,为增函数; 当时,为减函数;当时,为增函数 所以,是极大值点,是极小值点 (2)若为上的单调函数,是在上不变号,结合与条件,知 在上恒成立,因此 由此并结合知, 例设的导数满足其中常数.(1)求曲线在点处的切线方程.(2)设,求函数的极值.解(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分.) 解:(1)由得: 由已知可得:, 由此解得:, 因此,又 故曲线在点处的切线方程为,即 (2)由(1)知,从而 令得:,解得:, 当时,在上为减函数; 当时,在上为增函数; 当时,在上为减函数 从而函数在处取得极小值,在处取得极大值 例已知函数,其中为自然对数的底数.()当时,求曲线在处的切线与坐标轴围成的面积;()若函数存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为,求的值.解解:(), 当时, , 所以曲线在处的切线方程为, 切线与轴、轴的交点坐标分别为, 所以,所求面积为 ()因为函数存在一个极大值点和一个极小值点, 所以,方程在内存在两个不等实根, 则 所以 设为函数的极大值点和极小值点, 则, 因为,所以, 即, 解得,此时有两个极值点,所以 例设函数,其图像过点(0,1).(1)当方程的两个根分别为是,1时,求f(x)的解析式;(2)当时,求函数f(x)的极大值与极小值.解解:由题意可知,f(0)=1所以c=1 ()由得. 因为,即的两个根分别为 所以解得 故 ()所以, 若b0,则当时,函数f(x)单调递增 当时,函数f(x)单调递减 当时,函数f(x)单调递增 因此,f(x)的极大值为f(0)=c=1, f(x)的极小值为 若b0时, f(x)的极大值为1, 极小值为, 当b0,所以“在(-,+)内无极值点”等价于“在(-,+)内恒成立” 由(*)式得又 解 得 即的取值范围 例设函数的导函数为(1)a表示;(II)若函数在R上存在极值,求a的范围解(I) (II)设处取得最大值,则 使得不满足假设 当必须有两个相异根 故 即 例设为实数,函数()求的单调区间与极值;()求证:当且时,解()解:由令的变化情况如下表:0+单调递减单调递增故的单调递减区间是,单调递增区间是,处取得极小值,极小值为 ()证:设于是由()知当于是当而即例已知函数与函数.(I)若的图象在点处有公共的切线,求实数的值;(II)设,求函数的极值.解解:(I)因为, 所以点同时在函数的图象上 因为, , 由已知,得,所以,即 (II)因为( 所以 当时, 因为,且所以对恒成立, 所以在上单调递增,无极值 ; 当时, 令,解得(舍) 所以当时,的变化情况如下表:0+极小值 所以当时,取得极小值,且 综上,当时,函数在上无极值; 当时,函数在处取得极小值. 例已知函数其中.(1)若是函数的极值点,求实数的值;(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立,求实数的取值范围.解解:(1), 是函数的极值点, ,即. , . (2)对任意的都有成立等价于对任意的都有. 当时,. 函数在上是增函数. . ,且, 当且时, 函数在上是增函数. . 由,得, 又,不合题意. 当时,若,则, 若,则. 函数在1,上是减函数,在上是增函数. 由,得. 又,. 当且时, 函数在上是减函数. . 由,得, 又,. 综上所述,的取值范围为. 例设角A,B,C为ABC的三个内角.()若,求角A的大小;()设,求当A为何值时,f(A)取极大值,并求其极大值.解【解析】()由已知,即. 所以,即. 在ABC中,因为,则,所以,从而. 而,即. ()因为. 因为,则.由,得,所以,即.所以当时,为增函数;当时,为减函数. 故当时,取极大值,且极大值为 例已知函数(),其中、当时,讨论函数的单调性;、若函数仅在处有极值,求的取值范围解、解: 当时, 令,解得, 当变化时,的变化情况如下表:02000极小值极大值极小值所以在,内是增函数,在,内是减函数 、解:,显然不是方程的根 为使仅在处有极值,必须恒成立,即有解此不等式,得这时,是唯一极值 因此满足条件的的取值范围是 题型二、函数的最值例设与是函数的两个极值点.(1)求函数的解析式; (2)求在-3,2上的最值.解(1) 由极值点的必要条件可知:,即,且, 解方程组可得, , (2)当时,单调递增; 当时,单调递减; 当时,单调递增 故在处函数取得极小值,在处函数取得极大值 , 所以,在处函数最大值2,在处函数取得最小值为 例设,函数.()若,求曲线在点处的切线方程;()求函数在上的最小值.解(). 3 分当时,所以曲线在点处的切线方程为,即. 5 分()令,解得或. ,则当时,函数在上单调递减,所以,当时,函数取得最小值,最小值为 ,则当时,当变化时,的变化情况如下表:极小值所以,当时,函数取得最小值,最小值为. 10 分 ,则当时,函数在上单调递增,所以,当时,函数取得最小值,最小值为. 12 分综上,当时,的最小值为;当时,的最小值为;当时,的最小值为. 13 分例已知两个函数,其中k是实数(1) 对于任意,都有成立,求k的取值范围;(2) 存在,使得成立,求k的取值范围;(3) 对于任意,都有成立,求k的取值范围解(1)设于是,问题转化为当时,恒成立,而 ,所以得(2)设于是,问题转化为当时,有解,而 ,所以得(3)问题相当于当时,而,所以得例已知函数.()当时,求函数f(x)的单调区间;()若函数f(x)在1,e上的最小值是,求的值解(1) (2) 例已知函数上是增函数,在(0,1)上是减函数.(I)求b的值;(II)当总在直线上方,求a的取值范围解解:(),. 在上是增函数,在上是减函数, 当时,有极大值,即, (), 在上是增函数,在上是减函数, ,即. 曲线在直线的上方, 设, 在时,恒成立. , 令,两个根为,且, -+极小值 当时,有最小值. 令, ,由, 例已知函数.()求函数的单调区间与极值;()若对于任意,恒成立,求实数的取值范围.解(共13分) 解:()由,可得. 令,解得. 因为当或时,;当时, 所以的单调递增区间是和,单调递减区间是. 又,所以当时,函数有极大值; 当时,函数有极小值 (). 由已知对于任意恒成立, 所以对于任意恒成立, 即 对于任意恒成立. 因为,所以(当且仅当时取“=”号). 所以的最小值为2. 由,得, 所以恒成立时,实数的取值范围是 例设函数,(1)求的单调区间(2)求所有实数,使对恒成立.注:为自然对数的底数.解解:(1)因为() 所以 由于,所以的增区间为,减区间为 (2)证明:由题意得, 由(1)知在内单调递增,所以要使对恒成立 只要,解得 例设函数,(1)若为的极值点,求实数;(2)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立(注:为自然对数的底数)解解:(1)求导得: 因为是的极值点,所以 解得:或,经检验,符合题意,所以或 (2)当时,对于任意的实数,恒有成立 当时,由题意,首先有 解得:,由(1)知 令,则, 且 又在内单调递增,所以函数在内有唯一零点,记此零点为, 则,从而当时,;当时,; 当时,. 即在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,所以要使对恒成立,只要 成立,由知 将代入得:,又,注意到函数在内单调递增,故 再由以及函数在内单调递增,可得 由解得:,所以 综上,的取值范围为 例已知函数(1)求的单调区间;(2)若对于任意的,都有,求的取值范围.解解:(1),令,解得: 若,由解得:或;由解得: 所以,此时的增区间为,;的减区间为 若,由解得:;由解得:或 所以,此时的增区间为;的减区间为, (2)当时,因为,所以不会有对任意的,都有 当时,由(1)知在内,在处取得极大值,且是最大值 所以要任意的,都有成立,则,解得: 故对任意的,都有, 的取值范围 例已知函数的图象过原点,且在x=1处取得极值,直线与曲线在原点处的切线互相垂直.(I)求函数的解析式;(II)若对任意实数的,恒有成立,求实数t的取值范围.解解:(I) 图象过原点, 曲线在原点处切线斜率 又直线与切线垂直, 代入得a=0, (II)由(I) 易知上为增函数,在-1,1上为减函数 又 上的最大值是2,最小值为-2 要使对任意恒成立,只需 即 例已知函数在处取得极小值.(1)求;(2)若对恒成立,求的取值范围. 解(1)解:,. . (2),令有.23+0-0+, 依题意,即,. 例已知A、B、C是直线l上的三点,向量,。满足:y2f /(1)ln(x1)0.(1)求函数yf(x)的表达式;(2)若x0,证明:f(x);(3)若不等式x2f(x2)m22bm3时,x1,1及b1,1都恒成立,求实数m的取值范围解 (1)y2f /(1)ln(x1)0,y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共线即y2f /(1)ln(x1)1yf(x)ln(x1)12f /(1) f /(x),得f /(1),故f(x)ln(x1) (2)令g(x)f(x),由g/(x)x0,g/(x)0,g(x)在(0,)上是增函数故g(x)g(0)0 f(x) 。 (3)原不等式等价于x2f(x2)m22bm3。令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2),由h/(x)x当x1,1时,h(x)max0,m22bm30令Q(b)m22bm3,则 解得m3或m3例已知函数,其中,为参数,且.()当时,判断函数是否有极值,并说明理由;()要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;()若对()中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围解解:(I)当时, 则在内是增函数,故无极值. (II)令得 由及(I),只需考虑的情况 当变化时,的符号及的变化情况如下表:0+0-0+递增极大值递减极小值递增 因此,函数在处取得极小值. 且 要使,必有,可得所以 (III)解:由(II)知,函数在区间与内都是增函数. 由题设,函数在内是增函数,则须满足不等式组 或 由(II),参数时, 要使不等式关于参数恒成立,必有. 综上,解得或. 所以的取值范围是. 题型三、方程根的个数问题例若函数,当时,函数有极值为,()求函数的解析式;()若有3个解,求实数的取值范围.解() 由题意;,解得, 所求的解析式为 ()由(1)可得 令,得 或, 当时, ,当时, ,当时, 因此,当时, 有极大值, 当时, 有极小值, 函数的图象大致如图. 由图可知: 例已知是函数的一个极值点.()求;()求函数的单调区间;()若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围.解解:()因为 所以 因此 ()由()知, 当时,; 当时,. 所以的单调增区间是; 的单调减区间是. ()由()知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时, 所以的极大值为,极小值为 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当. 因此,的取值范围为 例已知是函数的一个极值点。()求;()求函数的单调区间;()若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。解()因为 所以 因此()由()知, 当时,当时,所以的单调增区间是的单调减区间是()由()知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,所以的极大值为,极小值为因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当因此,的取值范围为。例已知函数()当时,求函数的极小值;()当时,试讨论方程的解的个数。解(),当或时,当时,在内单调递增,在内单调递减故的极小值为 ()(1)若,则,的图象与轴只有一个公共点。(2)、若,则,当或时,当时,的极大值为的图象与轴只有一个公共点。(3)若,则 在内单调递增,的图象与轴只有一个公共点。 (4)当时,由()知的极大值为的图象与轴只有一个公共点。 综上所述,当时,方程有且仅有一解 例已知函数在点(1,)处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)若对于区间上任意两个自变量的值,都有,求实数的最小值(3)若果点(2)可作曲线的三条切线,求实数的取值范围解解: 根据题意,得即解得 所以 令,即.得.(,)-1(-1,1)1(1,2)2+-+-2增极大值减极小值增2因为, 所以当时, 则对于区间上任意两个自变量的值,都有 ,所以. 所以c的最小值为4 因为点不在曲线上,所以可设切点为. 则. 因为,所以切线的斜率为 则=, 即. 因为过点可作曲线的三条切线, 所以方程有三个不同的实数解. 所以函数有三个不同的零点. 则.令,则或.(-,0)0(0,2)2(2,+)+-增极大值减极小值增则,即,解得 例已知函数(I)求函数的解析式;(II)若对于任意的恰有三个不同的实根,求实数a的范围。解解:(I) (II)由 有三个不同的根,只需使有不同的两个实根令例已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:解解:(1)求函数的导数;曲线在点处的切线方程为:,即(2)如果有一条切线过点,则存在,使于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根记,则 当变化时,变化情况如下表:000极大值极小值由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则即例已知函数,且当和时,函数取得极值.(1)求函数的解析式;(2)若曲线与有两个不同的交点,求实数的取值范围.解即 曲线有两个不同交点即有两个不同实数列设由上递增当于是上递减解得 题型四、利用导数证明不等式例已知函数.()若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;()求函数的单调区间和极值; ()当,且时,证明:.解()解:函数的定义域为, 所以. 又曲线在点处的切线与直线平行, 所以,即 ()令,得. 当变化时,的变化情况如下表:极大值由表可知:的单调递增区间是,单调递减区间是. 所以在处取得极大值, ()当时,. 由于,要证, 故只需证明. 令, 则. 因为,所以,故在上单调递增, 当时,即成立. 故当时,有.即 例已知,其中是自然常数,(1)讨论时, 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下,;(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由解(), 当时,此时单调递减

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