计算机仿真教案04-2-第四章离散相似法的连续系统仿真.ppt

4 2连续系统的离散化模型 离散状态方程模型 脉冲传递函数模型 在数值积分法的计算中 只计算了采样点的值 相当于是对系统模型进行了离散化处理 所以从本质说 数值积分法也是离散化方法 只不过它是从数值积分的角度出发 没有明确提出 离散 这个概念 而本章则是从连续系统离散化的角度来探讨数字仿真的方法 数值积分法 离线 非实时比较成熟 精度也比较高 计算公式比较复杂 因而计算量比较大离散化模型 速度很快 设x t X s 对式 3 1 进行拉氏变换 得 sX s X 0 AX s BU s 经整理后 得 sI A X s X 0 BU s X s sI A 1X 0 sI A 1BU s 一 离散状态方程模型 x uy x 3 2 1 连续系统的状态方程和输出方程为 拉氏变换 3 2 2 因为 标量 拉氏反变换 同理 令F t eAt 称F t 为系统的状态转移矩阵 拉氏卷积定理 若 f1 t F1 s f2 t F2 s 则有 对 3 2 2 式进行拉氏反变换 并利用卷积定理得 这就是连续方程的解 3 2 3 现推导离散化后的解 对kT及 k 1 T两个依次采样时刻 有 3 2 4 3 2 5 式 3 2 5 eAT 式 3 2 4 得 现作变量置换 kT t d dt所以 3 2 6 变成 3 2 3 2 离散状态方程 加零阶保持器的离散化状态方程 如果采用零阶保持器 那么 u kT t u kT 这样 3 2 7 可写成kT记作第n点 k 1 T记作第n 1点x n 1 T x n m T u n 加零阶保持器的离散化状态方程 3 2 8 加一阶保持器的离散化状态方程 如果采用一阶保持器 那么 代入 3 2 7 所以 x n 1 T x n m T u n p T u n 3 2 9 离散化状态方程 系数计算 矩阵指数函数的数值解方法 矩阵指数函数展成幂级数之和 根据精度要求只取 L 1 项 则 方法 矩阵指数函数展成两项之差exp AT I exp AT I exp AT 若取4项 L 3 得 利用矩阵指数函数的计算 可方便计算出其余的两个系数 例如 令 T t 则有 对于 令 T t 则有 二 脉冲传递函数模型 离散系统 连续系统 差分方程 微分方程 Z变换 拉氏变换 脉冲传递函数 传递函数 脉冲传递函数的定义在连续系统中 应用拉氏变换可将描述系统的微分方程转化为传递函数 同样 在采样系统中 利用Z变换可将描述采样系统的差分方程转化为类似于传递函数的另一种数学模型一脉冲传递函数 或称Z传递函数 脉冲传递函数的定义如下 在零初始条件下 线性定常采样系统的输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比称为采样系统的脉冲传递函数 脉冲传递函数又可表示为 G Z Z Gh s Ga s 保持器传递函数 系统传递函数 选择不同的保持器 将得不同的G Z 例如选零阶保持器 则由 3 2 10 得 3 2 10 通过脉冲传递函数导出系统差分方程 脉冲传递函数在大多情况下是z的有理分式 即可表示为 已知 由前面计算得 上式改写为 Y z b0 b1z 1 b2z 2 bmz m U z a1z 1 a2z 2 apz p Y z 3 2 11 对 3 2 11 进行z 返变换并由延迟定理 y kT b0u kT b1u k 1 T b2u k 2 T bmu k m T a1y k 1 T a2y k 2 T apy k p T 令kT对应n点 有 y n b0u n b1u n 1 b2u n 2 bmu n m a1y n 1 a2y n 2 any n p 4 3Z变换 Z变换的定义Z变换的方法Z变换的性质Z反变换 Z变换的定义 对其进行拉氏变换 此式称为采样函数的Z变换 Z变换的方法级数求和法部分分式法 级数求和法例4 3 1求1 t 的Z变换 例4 3 2求的F Z 部分分式法例4 3 3求解的Z变换 例4 3 4求 Z变换的性质线性性质延迟定理超前定理复位移定理初值定理终值定理卷积和定理 线性性质 延迟定理 设t 0 f t 0 令Z f t F z 则延迟定理为 超前定理 令Z f t F z 则 复位移定理 设Z f t F z 则 初值定理 设Z f t F z 如果Z 时F z 的极限存在 则函数的初值为 终值定理 设Z f t F z 则函数的终值为 卷积和定理 若 其中 k 0 1 2 且当k 1 2 3 时 xc kT g kT xr kT 0 则式中 Z反变换幂级数展开法部分分式法反演积分法 留数法 4 4线性常系数差分方程 差分方程的定义差分方程的解法 差分方程的定义对于单输入单输出线性定常系统 在某一采样时刻的输出值xc k 不仅与这一时刻的输入值xr k 有关 而且与过去时刻的输入值xr k 1 xr k 2 有关 还与过去的输出值xc k 1 xc k 2 有关 可以把这种关系描述如下 xc k a1xc k 1 a2xc k 2 b0 xr k b1xr k 1 b2xr k 2 或表示为xc k T xr k 当系数均为常数时 上式为线性定常差分方程 差分方程的解法迭代法Z变换法 迭代法例4 4 1 已知采样系统的差分方程是 初始条件 解 令k 1 有 令k 2 有 同理 求出 输入输出关系如下图所示 Z变换法例4 4 2 求解 初始条件 xc 0T 0 xc 1 1 解 由超前定理 令 于是 代入原式得 整理后得 4 5脉冲传递函数 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的推导开环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数 脉冲传递函数的定义 脉冲传递函数的推导由单位脉冲响应推出由拉氏变换求出由差分方程求出 开环系统脉冲传递函数串联各环节之间有采样器的情况 串联各环节之间无采样器的情况 结论 中间具有采样器的环节 总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之积 而串联环节中间没有采样器时 其总的传函等于各环节相乘积后再取Z变换 闭环系统脉冲传递函数应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关 因为有 无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的 例4 5 1 例4 5 2 例4 5 3 4 6采样控制系统的时域分析 用Z变换法求系统的单位阶跃响应采样系统的稳定性分析采样控制系统的稳态误差 用Z变换法求系统的单位阶跃响应例4 6 1已知系统的动态结构图如下图所示 求系统的单位阶跃响应 解 例4 6 2在上例中加入保持器后再求输出量 解 由此结果看出 由于增加了保持器 使得系统输出量的超调量增加了 三 置换法s域和z域的基本关系是z esT 或写成s T 1ln z T是采样周期 也是计算步长 TUSTIN法将ln z 展开成 只取第一项 将ln z 展开成 因此 将ln z 展开成 因此 例 解 假定G s 以零点和极点形式表示 有 四 根匹配法基本思想 G s G z 极点 零点 3 2 1 根匹配法的步骤 1 首先要求出该系统的零点和极点 即将系统的传递数数变为如下的零极点形式 2 在Z平面上一一对应地确定零极点的位置 3 在G Z 的分子上配上n m个附加零