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总复习图形与几何基本概念 一、线与角（一）直线、射线与线段（1）射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，无法度量长度，过一点可以画无数条射线。（2）直线没有端点，可以向两端无限延伸，直线无法度量长度，过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。（3）线段有两个端点，可以度量长度。（4）联系：直线和射线都可以无限延伸，无法度量长度。线段和射线都是直线的一部分。（二）角（1）从一点到引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做和角的顶点，这两条射线叫做角的边。角的符号用“”表示。（2）角的大小与角的两边画出的长短没有关系。角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。（3）量角的大小，要用量角器。角的计量单位是“度”，用符号“”表示。把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度，记作1。（4）量角的方法：把量角器放在角上，使量角器的开口方向与角的开口方向一致。使量角器的中心点与角的顶点重合；使量角器的零刻度线与角一条边重合；看角的另一条边所对量角器上的刻度，就是这个角的度数。（注意：内0刻度线与角的一边重合时，要看内圈刻度；外0刻度线与角的一边重合时，要看外圈刻度。）（5）角的画法：先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合。在量角器所画角刻度线的地方点一个点。以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。（6）锐角：大于0，小于90直角=90钝角：大于90而小于180平角：角的两边方向相反成一直线时所成的角是平角，平角=180周角=360。（7）各种角之间的关系锐角直角钝角平角周角1平角=2直角、 1周角=2平角=4直角。（三）平行线、垂线（1）平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。判断两条直线是不是平行线时“在同一平面内”“不相交”这两个条件缺一不可。（2）平行线间的距离处处相等。（3）在同一平面内，两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。（4）如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。点到直线的距离最短。（5）三角形三个内角的和是180。二、平面图形（一）基本概念（1）周长:封闭图形一周的长度是这个图形的周长.周长用长度单位.（2）面积:物体的表面或封闭图形的大小,就是它们的面积.（3）周长和面积是两类不同的量不能进行比较.（二）长方形、正方形（1）长方形、正方形的特征长方形两组对边分别平行并且相等，四个角都是直角。正方形四条边都相等，四个角都是直角。（2）长方形、正方形的面积长方形的面积=长宽 S长=ab长方形的长=长方形的面积宽 a =Sb长方形的宽=长方形的面积长 b = Sa正方形的面积=边长边长 S正=aa（3）长方形、正方形的周长长方形的周长=（长宽）2 c长=(ab)2正方形的周长=边长4 ca4长=长方形的周长2宽 a = c长2b宽=长方形的周长2长 b = c长2a边长=正方形的周长4 a c4（三）平行四边形、三角形、梯形1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（1）平行四边形各部分的名称：平行四边形每组对边之间的距离，叫做平行四边形的高。和高垂直的对边叫做平行四边形的底，底和这个底上的高必须对应。平行四边形有无数条高。（2）平行四边形的特征：容易变形。边的特征：两组对边分别平行，两组对边相等。内角的特征：两组对角分别相等。相邻两个内角的和是180四个内角的和是360（3）平行四边形面积：把平行四边形（沿高）剪开，拼成一个（长方形），观察发现：拼成的长方形的长相当于平行四边形的（底），拼成的长方形的宽相当于平行四边形的（高），拼成的长方形的面积和平行四边形的面积（相等）， 长方形的面积长宽平行四边形的面积底高 S ah平行四边形的面积底高S平 a ha平S平h h平S平a2、三角形（1）三角形的特征三角形：由三条线段围成的封闭图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的距离就是高，这条对边叫做三角形的底。高和底相互垂直。三角形具有稳定性三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边三角形中至少要有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角。所以判断三角形的类型，应看它最大的内角，最大的内角是什么角这个三角形就是什么三角形。（2）三角形各部分的名称：围成三角形的每一条线段都叫做三角形的边，三角形具有三条边、三个角、三个顶点。（3）三角形分类三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形三角形按角分： 三角形按边关系： （4）三角形按边关系分有两条边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等。等腰三角形是轴对称图形，至少有一条对称轴三条边都相等的三角形叫作等边三角形，又叫正三角形。等边三角形的三条边都相等，三个角也都相等，并且每个内角是60，等边三角形又是锐角三角形。等边三角形也是轴对称图形，有三条对称轴。（5）三角形的三个内角和是180（6）三角形的面积用两个完全一样的三角形都可以拼成一个（平行四边形），观察发现：拼成的平行四边形的底等于三角形的（底），拼成的平行四边形的高等于三角形的（高），拼成的平行四边形面积等于每个三角形的面积的2倍。也就是说“每个三角形的面积等于等底等高的平行四边形面积的一半。”平行四边形的面积底高 三角形的面积底高2 S ah2 三角形的面积底高2 S = ah 2三角形的高=三角形的面积2底h = S 2 a三角形的底=三角形的面积2高a = S 2 h3、梯形（1）梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。（2）梯形各部分的名称：梯形中互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的两条边叫做梯形的腰，梯形上底和下底之间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高。（2）梯形按腰关系等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两条腰相等，两个底角相等。等腰梯形是轴对称图形，它上底、下底中点的连线是它的对称轴。（3）梯形按角分类直角梯形：梯形中有一条腰和上底、下底互相垂直，另一条腰和上底、下底不垂直时，这个梯形是直角梯形。（3）梯形面积：用两个完全一样的梯形可以拼成一个（平行四边形、），观察发现：拼成的平行四边形的底等于梯形的（上底与下底的和），拼成的平行四边形的高等于梯形的高，拼成的平行四边形面积等于每个梯形的面积的2倍也就是说：每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，平行四边形的面积底高，梯形的面积（上底+下底）高2 S（a+b）h2梯形面积（上底下底）高2 S梯 =(a + b)h 2梯形的高=梯形的面积2（上底下底）h梯 = S梯2（ab）梯形的上底=梯形的面积2高下底a梯 = S梯2hb 梯形的下底=梯形的面积2高上底b梯S梯2ha5、圆（1）连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径。半径一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。（2）在同一个圆或等圆里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等；直径等于半径的2倍。或者说半径长度等于直径的一半。d2r 或 r（4）画圆时，圆规两脚间的距离等于圆的半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；圆的大小与圆心无关。（5）圆也是轴对称图形，圆有无数条对称轴。等腰梯形只有一条对称轴，长方形至少有两条对称轴，等边三角形有三条对称轴，正方形有四条对称轴，正五边形有五条对称轴（6）圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母来表示。（7）圆的周长直径圆周率。即：Cd 或 C2r（8）半圆的周长圆的周长的一半直径（9）已知圆的周长，求它的直径或半径dC rC2（10）在两个圆中，它们的半径比、直径比、周长比都相等；它们的面积比是半径比的平方。如：两个圆的半径比是2:3，那么这两个圆的直径比、周长比都是2:3，面积比是4:9。（11）圆面积计算公式推导过程：把一个圆沿半径平均分成16份，拼成一个近似长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，用字母r表示，长方形的宽相当于圆的半径，用字母r表示，长方形的面积与圆面积相等。因为长方形的面积=长宽，因此圆面积S=rr=r2。（12）S环R2r2 或 S环（R2r2）（13）相邻跑道长度的差跑道宽26、平面图形之间的关系（1）把一个长方形框架拉成一个平行四边形，周长不变，面积变小了。把一个平行四边形框架拉成一个长方形，周长不变，面积变大了。（2）周长相等的长方形、正方形、圆形，长方形面积正方形面积圆形面积，圆形面积最大，长方形面积最小。（3）如果长方形、正方形、圆形这三个图形的面积相等，那么圆周长正方形周长长方形周长，圆周长最小，长方形周长最大。（4）各种四边形之间的关系 （5）平面图形内角和三角形内角和是180任意一个四边形四个角度数之和都是360多边形内角和的公式：（n2）180（6）周长面积之间的关系（7）周长和面积面积相等的长方形，长、宽越接近，周长越短，当长、宽相等时，周长最短。面积相等的长方形、正方形，长方形的周长长，正方形的周长短。周长相等的长方形，长、宽越接近，面积越大，当长、宽相等时，面积最大。周长相等的长方形、正方形，长方形的面积小，正方形的面积大。（8）组合图形的面积：通过分、割、补的方法把组合图形转化为基本图形如：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形，并根据平面图形的特征算出求各基本图形面积的条件。三、立体图形（一）基本概念（1）体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。（2）容积：物体所能容纳别的物体的体积，叫做它们的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量长方体或正方体的容积要从容器里面量长、宽、高，计量圆柱、圆锥的容积也要从容器里面量半径和高。（二）长方体、正方体（1）长方体面的特征：长方体有6个面，六个面都是长方形（也有可能两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，当两个相对的面是正方形时，其余四个长方形的面积相等。长方体棱的特征：长方体有12 条棱，相对的棱的长度相等。长方体有8个顶点。（2）长方体棱长和=（长宽高）4长方体棱长和=长4 宽4高4长方体的长=棱长和4宽高长方体的长=（棱长和宽4高4）4正方体棱长和=棱长12棱长=正方体棱长和12（3）正方体的特征：正方体有6 个面，6 个面都是正方形，6 个面都相等。正方体有12 条棱， 12 条棱的长度都相等。有8 个顶点。（4）长方体表面积=（长宽长高宽高）2S长表=（abahbh）2（5）正方体的棱长扩大到它的m倍（m0），那么它的棱长总和也扩大到它的m倍，表面积扩大到它的m2倍，体积扩大到它的m3倍。（6）能折成正方体的展开图。141 231 222 33 （7）正方体的表面积=棱长棱长6S=6a2（8）长方体的体积=长宽高 Vabh 正方体的体积=棱长棱长棱长 V =a3长方体或正方体的体积=底面积高 V=Sh（三）圆柱、圆锥（1）圆柱的表面圆柱相对的两个面是大小相等的两个圆，圆柱的这两个圆叫做底面；圆柱的两个底面之间的距离是圆柱的高；圆柱周围的曲面叫侧面，圆柱的粗细均匀。圆柱的高有无数条，所有高的长度都相等。圆柱的侧面沿高展开，是一个长方形，长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高，因为长方形的面积=长宽，所以圆柱的侧面积=底面周长高。圆柱的侧面如沿斜线展开，是一个平行四边形，平行四边形的底相当于圆柱的底面周长，平行四边形的高相当于圆柱的高。圆柱表面积圆柱的侧面积底面积2（2）圆柱的体积计算公式的推导沿着圆柱底面的半径和圆柱的高把圆柱平均分成16份，拼成一个近似长方体的立体图形。分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体了。拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高相当于圆柱的高。因为，长方体的体积底面积高，所以，圆柱的体积底面积高，VSh（3）圆柱的底面积=圆柱的体积高 sVh圆柱的高=圆柱的体积底面积 hVs（4）圆锥圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥有1条高。圆锥的底面是一个圆形，侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。圆锥的体积是它等底等高的圆柱的体积的，VSh。已知圆锥的体积和底面积或高，求底面积或高：圆锥的高=圆锥的体积3圆锥的底面积h = V3S圆锥的底面积=圆锥的体积3圆锥的高S= V3h圆锥的体积是它等底等高的圆柱的体积的圆锥的体积是比等底等高的圆柱体积少圆柱的体积是等底等高的圆锥的体积的3倍 圆柱的体积比等底等高的圆锥的体积多2倍四、位置与方向、观察物体、1、方向（1）早晨起床面向太阳，前边是东后边是西，左边是北，右边是南。其余四个方向分别是东南、西南、东北、西北（2）地图通常按上北下南左西右东绘制（3）东南西北四个方向排列的规律是东西相对、南北相对，东南西北按顺时针方向排列。（4）描述时如A在B的什么方向，是以B为观察点；如从向什么方向走到，是以为观察点。（5）在描述线路时，当两个观察点互相交换时，描述的方向刚好是，东西相对，南北相对，角度和距离都不变。（6）确定物体方向位置的步骤确定观察点（以谁为标准）在观察点上画方向标（上北下南左西右东）根据物体的方向距离确定物体的位置，或根据物体位置确定物体的方向距离。2、密铺用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。能密铺的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360。完全一样的任意三角形、完全一样任意的四边形、完全一样的正六边形一定可以密铺。正五边形不能密铺。3、图形的变换（1）对称变换对称图形的基本性质沿对称轴对折两边的图形能完全重合.对应点到对称轴的距离相等，对应点之间的连线垂直于对称轴。已知轴对称图形的一半和对称轴，画轴对称图形的步骤和方法：a找关键点。b根据轴对称图形的基本性质画关键点的对应点。c连线。（2）旋转变换旋转的三要素：旋转点、旋转的方向、旋转的度数。 旋转图形的作法一：a找到旋转点。b找与旋转点连接的关键线段。c分析转的方向。d借助三角板上的直角或量角器找出各点旋转后的位置。e按原图形状连线。旋转图形的作法二：a剪出与原图同样的图形。b按住旋转点，按要求方向角度进行旋转。c描出关键点并连线。旋转变换的特征和性质：旋转图形的形状、大小不变；旋转点的位置不变；对应线段的长度不变；对应线段的夹角不变。4、用数对确定位置两个数组成数对表示出一个确定的位置：用括号把列数和行括起来，并在列数和行数之间写个逗号，把两个数隔开。一般先列后行，关键看示例。6总复习数与代数基本概念 一、数的认识（一）整数（1）自然数自然数：用来表示物体个数的0、1、 2、3、4、5的数是自然数 。自然数的特征：自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 自然数和整数的关系： 自然数都是整数，但整数不一定是自然数。 整除和除尽的关系：能整除的一定能除尽，但除尽的不一定能整除。（2）整数数位顺序表：十进制计数法：每相邻的两个计数单位之间的进率都是十。按照我国的计数习惯，从个位起，每( 四 )个数位是一级。(个)位、(十)位、(百)位、(千)位是个级，表示的是多少个(一)；(万)位、(十万)位、(百万)位、(千万)位是万级，表示的是多少个(万)。（3）读数与写数：读数：分级。从最高位读起，一级一级往下读，先读亿级，再读万级、个级，亿级上的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字，万级上的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字，每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续有几个0，都只读一个0。写数：从最高位写起，一级一级往下写，先写万级，再写个级，哪一位上一个单位也没有，写0占位。写数的检验方法：先想一想是几位数，再数一数是几位数。写好后，分级，再读一读。（4）比较数的大小位数不同，位数多的数就大。位数相同，左起第一位的数大的哪个数就大；如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数（5）改写：把整万的数改写成了以万作单位的数，先分级，再去掉个级的4个0，并加上一个“万”。 把整亿的数改写成了以亿作单位的数，先分级，再去掉个级、万级的8个0，并加上一个“亿”。（6）近似数把一个数四舍五入到万位，要看千位上的数，如果千位上的数小于5，就舍去尾数并加上单位“万”；如果千位上的数是5或比5大，舍去尾数并向前一位进“1”，并加上单位“万”。把一个数四舍五入到亿位，要看千万位上的数，如果千万位上的数小于5，就舍去尾数并加上单位“亿”；如果千万位上的数是5或比5大，舍去尾数并向前一位进“1”，并加上单位“亿”。四舍五入到千位要看百位上的数、四舍五入到千万位要看百万位上的数求近似数和改写应注意：把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数，只是计数单位与书写形式变了，所求的仍是准确数，所以用“=”连接。而省略“万”或“亿”后面的尾数，所求出的是近似数，所以用“”连接。省略和改写都要写上单位“万”或“亿”。（三）小数（1）小数的意义: 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表 示千分之几，四位小数表示万分之几整数的小数点点藏在个位的右下角。（2）小数比较大小的方法:先比较数的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同就比较十分位上的数，十分位上大的那个数就大；如果十分位上的数相同，就比百分位上的数（3）小数的读法：整数部分按整数的读法读，如果整数部分是0就读“零”；小数点读作“点”；小数部分依次读出每个数字。小数的写法: 整数部分按整数的写法写，如果整数部分是“零”就写0；小数点写在个位右下角，要写成圆点，不能写成“，”或“、”；小数部分依次写出每位上的数字。（4）小数的性质：小数的末尾添零或去掉零，小数的大小不变（5）数位顺序表小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一分别写作0.1、0.01、0.001每相邻两个计数单位间的进率是10。（6）小数点位置移动引起小数大小变化：小数点向右移动一位，小数就扩大到原数的10倍，也就是原数乘以10；小数点向右移动两位，小数就扩大到原数的100倍，也就是原数乘以100；小数点向右移动三位，小数就扩大到原数的1000倍，也就是原数乘以1000；小数点向左移动一位，小数就缩小到原数的，也就是原数除以10；小数点向左移动两位，小数就缩小到原数的，也就是原数除以100；小数点向左移动三位，小数就缩小到原数的，也就是原数除以1000；（7）小数保留的位数越多，精确的程度越高求一个小数的近似数，要根据需要用四舍五入法保留小数数位保留整数，表示精确到个位；保留一位小数表示精确到十分位；保留两位小数表示精确到百分位在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。（8）有限小数与无限小数：有限小数：小数部分的位数是有限的小数。无限小数：小数部分的位数是无限的小数。循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环节，一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。循环节从小数部分第一位就开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的叫做混循环小数。（9）纯小数与带小数整数部分是0的小数叫纯小数，纯小数小于1；整数部分不是0的小数叫带小数，带小数大于1。（三）分数（1）分数的意义：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。分数单位：把单位（1）平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。米可以表示把1米看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，表示这样3份的数。还可以表示把3米看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，表示这样1份的数。（2）分数与除法的关系：被除数除数，用字母表示分数与除法的关系：ab（b0）。（3）真分数、假分数和带分数真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。带分数：由一个整数和一个真分数合起来的数叫带分数。（4）假分数、带分数、整数互化把假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，能整除的，所得的商就是整数；不能整除的，商就是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。整数可以化成分母是任意非0自然数的假分数。整数化假分数，用指定的分母作分母，用分母和整数相乘的积做分子。带分数化假分数，用原来的分母作分母，用分母和整数相乘的积，再加上原来的分子做分子。（5）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。（6）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。（7）约分、通分约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分的方法，用分子和分母大于1的公因数去除分子、分母，通常要除到得出最简分数为止。通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 通分的方法，先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各分数化成用最小公倍数作分母的分数。约分、通分的根据都是分数的基本性质。（8）分数与小数互化分数化小数：方法1：根据分数与除法的关系，用分数的分子除以分母。方法2：如果分数的分母是10、100、1000的因数，根据分数的基本性质，把分数改写成分母是10、100、1000的分数，再改写成小数。小数化分数：一位小数可以写成分母是10的分数，两位小数可以写成分母是100的分数，三位小数可以写成分母是1000的分数最后要化简（化成最简分数）。判断分数能否化成有限小数的方法： 一个最简分数，把分数的分母分解质因数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数。如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。几个常用分数与小数的互化：0.5 0.25 0.750.2 0.4 0.6 0.80.125 0.375 0.625 0.875 0.0625 0.05 0.04 =0.02（9）分数比较大小：分母相同的分数：分母相同分子大的分数比较大。分子相同的分数：分子相同分母小的分数比较大。异分母分数：先通分母再比较大小；或者先通分子再比较大小；也可以化成小数再比较大小。（四）百分数（1）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫百分数。百分数又叫百分率或百分比。百分数只表示两个数之间的关系，分数既可以表示一个具体的数量，也可以表示两个数之间的关系。百分数后面不带单位名称。（2）小数、分数、百分数互化小数化成百分数，先把小数点向右移动两位，再添上百分号；百分数化成小数，先去掉百分号，再把小数点向左移动两位。把百分数化成分数，先要把百分数化成分母是100的分数，但还不是最简分数的，要化成最简分数；分子是小数的，应当运用分数的基本性质，把分子分母同时扩大相同的倍数（0除外），使分子变整数，然后再化简。分数化百分数，一般用分子除以分母，先把分数化成小数，再化成百分数。如果除不尽，商保留三位小数，再化百分数。如果分数的分母是100的因数的分数还可以，根据分数的基本性质把分母改写成分母是100的分数，再化成百分数。（5）生活中的百分数最高可能达到100%的百分率：出勤率、合格率、成活率、发芽率、达标率不可能达到100%的百分率：稻谷的出米率、花生的出油率、菜籽的出油率、小麦出粉率稻谷出米率出米的质量稻谷质量100%花生出油率出油的质量花生的质量100%出油率出油的质量榨油原料的质量100%成数，“几成”就是十分之几，写成百分数就是百分之几十，如，二成就是十分之二，写成百分数就是20%。折扣，表示某种商品降价的幅度。“几折”就是现在售价是原价的百分之几十。如，八折表示现价是原价的80%。利息与本金的比值叫做利率。利息本金利率时间应纳税款与应纳税收入的比值叫税率。应纳税款应纳税收入税率一种商品不管先涨价后降价，还是先降价后涨价，只要幅度一样，现价总比原价低。（五）负数（1）0既不是正数，也不是负数。（2）规定了原点、单位长度和正方向的直线上叫数轴。（3）在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。（4）所有的负数都在0的左边，负数比0小，所有的正数都在0的右边，正数比0大，负数比正数小，右边的数大于左边的数。（5）没有最大的正数也没有最小的正数，没有最大的负数也没有最小的负数。（6）最小的正整数是1，最大的负整数是1。二、数的运算（一）因数与倍数五下数学课本P12为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数一般指的是整数（不包括0），即非0自然数。（1）奇数和偶数自然数按是不是2的倍数分为：奇数和偶数。偶数：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；奇数:自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。 自然数中，一个数不是偶数，就是奇数。自然数中，最小的偶数是0，最小的奇数是1，没有最大的奇数，也没有最大的偶数。（2）自然数a除以自然数b（0除外），除得的商正好是整数，而且没有余数，我们就说：a能被b整除。b能整除a。a是b的倍数。b是a的因数。 甲数能被乙数整除时，甲数是乙数的倍数，乙数是甲数的因数。而不能单独说甲数是倍数，乙数是因数。（3）一个数的因数的特征：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的因数个数是有限的。找因数时一般一对一对地找不容易遗漏。1是任何非零自然数的因数。一个数的倍数的特征：一个数最小的倍数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，一个数没有最大的倍数。找一个数的倍数，可以用这个数分别乘以1、2、3一个自然数的最大因数和这个自然数的最小倍数相等。（4）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数的特征：个位上是0或者5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。看一个数是不是3的倍数，与数的大小、数中各数字的排列位置无关，只与各数位上的数字和有关。同是2、5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。同时是2、3的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数既是2的倍数又是3的倍数。同时是3、5的倍数的特征：个位上是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个既是3的倍数又是5的倍数。同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数同时是2、3、5的倍数。（5）同时是2、3、5的倍数的最小的数是30。同时是2、3、5的倍数的最小两位数是30。同时是2、3、5的倍数的最大两位数是90。同时是2、3、5的倍数的最小三位数是120。同时是2、3、5的倍数的最大三位数是990。同时是2、3、5的倍数的最小四位数是1020。同时是2、3、5的倍数的最大四位数是9990。（6）4的倍数的特征：一个数的末两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数。25的倍数的特征：一个数的末两位数能是25的倍数，这个数就是25的倍数。9的倍数的特征：一个数各个数位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。（7）质数、合数和1非0自然数按因数的个数可以分为：质数、合数和1。质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数（也叫素数）。最小的质数是2，2是偶数中唯一的质数。合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这个数叫做合数。最小的合数是4。1既不是质数也不是合数。一个质数只有2个因数，一个合数至少有3个因数。120中所有质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。所有的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。既是质数又是偶数的是：2。既是奇数又是合数的是：9、15。100以内的质数表：2 、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、 37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、 83、89、97共25个。（8）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。用短除法把一个合数分解质因数，可先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除；得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式。得出的商如果是合数，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止。然后，把各个除数和最后的商写成连乘的形式。（9）几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。用分解质因数法求两个数的最大公因数：两个数全部公有质因数的积，就是这两个数的最大公因数。用短除法求两个的数的最大公因数，先用这两个数的公因数（大于1）连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来。用短除法求三个的数的最大公因数，先用这三个数的公因数（大于1）连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来。（10）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。用分解质因数法求两个数的最小公倍数：两个数全部公有质因数与各自独有质因数的积，就是这两个数的最小公倍数。用短除法求两个的数的最小公倍数，先用这两个数的公因数（大于1）连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来。用短除法求三个的数的最小公倍数，先用这三个数的公因数（大于1）连续去除，一直除到所得的商只有公因数1，然后再用任意两个数的公因数（大于1）去除，一直除到所得的商每两个数的公因数都只有1（两两互质）为止，最后把所有的除数和最后的商连乘起来。（11）互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。1和任何非零自然数的最大公因数是1（1和任何非零自然数都是互质数）相邻两个非零自然数的最大公因数是1（相邻两个非零自然数都是互质数）两个不同的质数的最大公因数是1（两个不同的质数都是互质数）2和任意一个奇数都是互质数。两个偶数一定不是互质数。成互质关系的两个数不一定都是质数，可以是两个质数，如3和5，两个合数，如4和9，一个质数一个合数，如7和10，一个奇数一个偶数，如8和9，两个奇数，如7和9，（12）当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。（13）两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。（二）四则运算（1）四则运算的意义加法：把两个数合并成一个数的运算。减法：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。乘法：一个数乘整数，就是求几个相同加数的和的简便运算；一个数乘分数（小数），就是求这个数的几分之几是多少。除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。四则运算之间的关系减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。（2）四则运算各部分之间的关系一个加数=和另一个加数被减数=差减数 减数=被减数差一个因数=积另一个因数被除数=商除数 除数=被除数商有余数的除法:商除数余数=被除数（3）四则运算方法整数加法：相同数位上的数对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满10就要向前一位进一。减法：相同数位上的数对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减就要从前一位退一作十，和本位上的数加在一起再减。乘法：用第二个因数每一位上的数分别去乘第一个因数，每一位乘得的末位要和相应的数位对齐，最后把乘得的数相加。除法：除数是几位，就在被除数的前几位数上除，如果不够除，向右移一位，依次除下去，除到哪一位，商就写在那一位上面；当商的最高位确定后，哪一位上不够商1，就在那一位上用0占位。余数一定要比除数小。小数加、减法：计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位的数对齐），再按照整数加减法的法则进行计算。得数里的小数点，要和横线上的小数点对齐。得数的小数部分末尾有0一般要把0去掉。乘法：先按整数乘法的法则进行计算，再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。乘得的积的小数位数不够时,要在前面（积的左边）用0补足,再点上小数点，并在整数部分写上0。当乘得的积的末尾有0时,要根据小数的性质把末尾的0去掉。除法：除数是整数的小数除法要先按照整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0，点上小数点。如果有余数，要添0再除。除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；根据商不变的性质，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的，在被除数的末尾用“0”补足）；然后按照除数是整数的除法法则进行计算。分数：加、减法：同分母分数相加减，只要分子相加减，分母不变。计算结果，能约分的要约成最简分数。异分母分数相加减：异分母分数分数单位不同，不能直接相加，先通分把它们转化成分母相同的分数，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。能约分的要约成最简分数。乘法：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的要先约分，再计算，整数约分后的结果要写在整数的上面，并与分子相乘。除法：分数除法的计算方法：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。（4）四则混合运算的运算顺序在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法，从左往右依次计算；既有加减法又有乘除法，先乘除后加减。在有括号的算式里，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的。（5）运算定律和性质运算定律加法交换律：两个加数交换位置，和不变。ab=ba加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(ab)c=a(bc)乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数， 积不变。(ab)c=a(bc)乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。(ab)c=acbca(bc)=abac运算性质减法性质：从一个数里连续减去两个数，可以先把所有的减数加在一起，再从被减数里减去。 abc=a(bc)除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把这两个除数相乘，再用这个数除以两个除数的积，结果不变。abc=a(bc)商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0除外），商不变，但余数也要乘以或除以一个相同的数。ab=（ac）（bc）=（ac）（bc）（6）运算中的一些规律两个因数都大于0：一个数乘大于1的数，积比原来的数大。一个数乘大于0小于1的数，积比原来的数小。一个数乘1，积和原来的数相等。被除数、除数都大于0：除数大于1，所得的商比被除数小。除数大于0小于1，所得的商比被除数大。除数等于1，所得的商和被除数相等。积不变规律两个因数相乘，一个因数乘一个不等于0的数，另一个因数除以一个相同的数，积不变。（6）分数、小数混合运算在分数、小数加减混合运算中，一般情况下，如果分数能化成有限小数，把分数化成有小数计算比较简便；如果分数不能化成有限小数，可以把小数化成分数计算。分数与小数相乘、除时，一般将小数化成分数计算。也可以先把除法转化成除法，然后约分计算。（7）倒数乘积是1的两个数叫互为倒数。倒数是对两个数来说的，它们是相互依存的，必须一个数是另一个数的倒数，不能孤立地说某一个数是倒数。1的倒数是1；0没有倒数。求一个数的倒数的方法：求一个分数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。求真分数的倒数，只要调换分数的分子、分母。求自然数的倒数要先把它化成分母是1的假分数，再调换分子、分母的位置。求带分数的倒数要先把它化成假分数，再调换分子、分母的位置。求小数的倒数，先把它化成分数，再调换分子、分母的位置。（8）关于0的运算0除以任何不是0的数都得0.0乘以任何数都得0.任何数加0都得本身. 任何数减0都得本身三、代数的初步知识（一）简易方程1、基本概念（1）等式：表示两个相等关系的式子叫等式。（2）方程：含有未知数的等式叫方程。（3）方程和等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。（4）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。（5）求方程解的过程叫做解方程。（6）等式的性质：等式两边同时加上（或减去）一个相同的数，左右两边仍然相等。等式两边同时乘以或除以一个相同的不为0的数，左右两边仍然相等。（7）列方程解决问题时可根据题中的关键句、题目表达的意思、插图、一些图形周长面积的计算公式找相等关系列方程。（8）用字母表示计量单位：千米km 米m 分米dm 厘米毫米 平方千米km2 平方米m2 平方分米dm2 平方厘米2 平方毫米2吨t 千克 克g（二）比和比例1、比（1）两个数相除又叫做两个数的比。（2）比的前项除以后项所得的商，叫做比值。（3）除法、分数、比的关系：相当于区别比前项：后项比值一种关系除法被除数除数商一种运算分数分子分母分数值一种数用字母表示：，aba:b（b0）。（4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。（5）前项和后项互质的比叫作最简单的整数比或最简比。把比化成最简单的整数比的过程叫做化简比。（6）化简比时要注意：如果是同类量的一般要把单位名称化统一，比的前项与后项要同时乘以或除以一个不为0的数。要化成最简单的整数比。2、比例（1）表示两个比相等的式子叫做比例，组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。（2）比例的基本性质：在比例里，两外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。（3）解比例依据是比例的基本性质3、正比例（1）正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种子量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种理就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。（2）如果用、y表示两种相关联的量，k表示它们的比值，式子表示它们的正比例关系：（k（一定）（3）成正比例的两个量要具备的条件：是两种相关联的量。一种量变化，另一种量也随着相应变化。两种量中相对应的两个数的比值一定。（4）举例本子的单价一定，总价和数量成正比例。 汽车的速度一定，路程和时间成正比例。长方形的宽一定，长方形的面积和长成正比例。（5）成正比例关系的两种量图像成一条直线4、反比例（1）反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。（2）如果用字母和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的乘积（一定），反比例关系的式子可以怎么表示？