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文档简介

授课时数 总时数 6学时 学习目标 1 知道无穷小和无穷大的定义 2 会用无穷小的性质 极限的四则运算法则 无穷大与无穷小的关系 两个重要极限求函数的极限 重 难点 重点 无穷小与无穷大的定义 极限的四则运算法则和两个重要极限 由观察函数的变化趋势引出 难点 正确求解函数的极限和左右极限 由实例讲解方法 一 无穷小 1 定义 极限为零的变量称为无穷小量 简称无穷小 例如 而 注意 1 无穷小是以极限为零的变量 不能与很 2 说一个函数是无穷小 必须指明自变量的变 小的常数混淆 3 常数中只有零是无穷小 化趋势 2 运算性质 定理 在自变量同一变化过程中 1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 3 无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小 推论常数与无穷小的乘积是无穷小 例1 解 例1 解 例1 解 例1 解 思考题 解 3 无穷小与有极限函数的关系 二 无穷大 特殊情形 正无穷大 或负无穷大 注意 1 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 三 无穷小与无穷大的关系 意义关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小的讨论 例2 解 解 下面我们再来看一个现象 极限不同 反映了趋向于零的 快慢 程度不同 定义 四 无穷小的比较 由无穷小比较的定义知 思考题 解 练习题 五 函数极限的四则运算法则 法则1和法则2可推广到有限个函数情形 常数因子可以提到极限记号外面 1 解 例3 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 2 解 3 约去零因子法 4 解 无穷小分出法 5 解 无穷小分出法 无穷小与无穷大的关系 小结 无穷小分出法 以分子分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 例4 解 先变形再求极限 例5 解 不能用函数极限的四则运算法则2来求 例6 解 左右极限存在且相等 六 无穷递缩等比数列求和 1 解 例7 2 解 例7 思考题 解 练习题 七 两个重要极限 1 重要极限 1 解 例 2 解 例 3 解 例 4 解 例 等价无穷小代换定理 例9 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积 则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换 而不会改变原式的极限 不能滥用等价无穷小代换 切记 只可对函数的因子作等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别代换 注意 例10 解 例11 解 解 错 2 重要极限2 例12 求下列极限 解 例12 求下列极限 解 例12 求下列极限 解 思考题 求极限 练习题 通过本课题学习 学生应该达到 1 熟记无穷小的性质 极限的四则运算法则 无穷大与无穷小的关系 两个重要极限 2 会用无穷小的性质 极限的四则运算法则 无穷大与无穷小的关系 两个重要极限和等价无穷
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