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4-3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似一、 模型和微扰计算波动方程为： 其中。作为零级近似，用平均场代替，则零级近似波函数和对应的本征值为：，采用周期性边界条件后，k的许可取值为：，波函数的一级修正、能量的二级修正为： ，因：上式中引用：，使在元胞在取值。同一维情况，若条件：，为整数不能同时满足，则上式为零。即为倒格矢时，矩阵元才不等于零。 这里实际上是的傅立叶级数展开式的系数：将结果用于波函数的一级修正、能量的二级修正式有：上式方括号中平移一个正格矢后将保持不变，因此是一个周期函数，而前面是平面波形式，符合布洛赫定理。同一维情形，若或者说得到满足，从而两态零级能量相等，将导致发散。该条件的几何意义如下：即在倒格矢垂直平分面及其附近的应采用简并微扰方法处理。图4-9两点及四点均出现能量简并。由于“能级间的排斥作用”将使得函数在的中垂面处发生突变。二、 布里渊区和能带能量在各布里渊区内是连续的，而在布里渊区的边界处将出现突变。属于同一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布里渊区对应不同的能带。如果计入自旋，每个能带含有2N个量子态。三维和一维存在一个重要的区别，即不同能带在能量上不一定分隔开，而可能发生能带之间的交叠。如下图，4-4 赝势法近自由电子近似法要求周期性势场起伏较小，从而把周期势场作傅立叶展开时对应于势场起伏在不同态之间的相互作用的系数较小，在计算能量时，只有布里渊区边界附近处对自由电子的能量存在明显修正，其余地方修正量较小，从而使得计算量大大减小。但实际情况是势场在原子核附近对平均值偏离较大，从而使得对态的微扰计算需要包含很多的平面波的叠加，甚至使计算变得难以完成。然而，许多情况下近自由电子近似法的计算结果出现和实际材料的能带结构又相符合的难以解释的矛盾。赝势的引入不仅使得近自由电子近似能带的计算大大简化，还可以解释上述矛盾。 下图给出了几种函数的二维示意图有证明，价电子波函数和内层电子波函数的正交要求起着排斥势的作用，如果认为该排斥势和离子实对价电子的吸引势在离子实内部相抵消，则可以取上图赝势场来代替这一对相消的作用。如果原子为Z价，那么价电子在有效核电荷数为的正离子势场在运动设离子实
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