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文档简介

引言 矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论. 1. 证明: 设为两个同阶矩阵,则有r(AB)r(A)r(B)证 设=, =则 +=+,+,+不妨设列向量的极大线性无关组为,. (1rn)；列向量的极大线性无关组为，. (1sn).则+; =+;则 += +;即+的列向量可由,，线性表出，故.2. 若=,则.证 记 ，由=，知的每一列都是解,即,=1,2,又因的基础解系所含向量个数为,换言之, 的所有解所构成的向量组的秩为.故,即.3.若， 证明+=n.证 , ,=,由结论2知r+r; 再由结论1知 ， + ,综上所述, +=n.4 若证明： +.证 ,由结论2知 +. 又因 知， 即 +. 综上所述，+.5.矩阵 ,证明：+-. 证 设=,=,=则存在可逆矩阵,使=. 及 =. 故= =.则=.因=则中还有个线性无关行向量,故则,即+-. 6.设为的伴随矩阵，则伴随矩阵的秩为： =证 若=时,即可逆,因，则有,故.若时, =,由结论2知+，即 =1.也就是=0,或 =. 假设=0,则的所有阶子式为0, 这与=矛盾.故=.若当时，则的所有阶子式全为0，则,即=0.故上述结论 = 成立。7.（秩的降阶定理）设,若是阶可逆矩阵，则. 若是阶可逆矩阵，则若都可逆，则.证 若是阶可逆矩阵，则存在.对矩阵两边做初等变换,即有.初等变换不改变矩阵的秩,故 .若可逆,则存在,对两边做初等变换,.初等变换不改变矩阵的秩,故 .若都可逆,则根据,的结论有:，整理可得，.参考文献【1】 张禾瑞,郝鈵新.高等代数.第五版.北京:高等教育出版社,2007.【2】 王萼芳,石生明.高等代数.第三版.北京:高等教育出版社,2003.【3】 徐
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