江苏省高考数学二轮总复习 专题12 基本不等式及其应用专题导练课件 理.ppt

基本不等式及其应用 2 2010 山东卷 若对任意x 0 a恒成立 则a的取值范围是 解析 因为x 0 所以x 2 当且仅当x 1时取等号 所以有 即的最大值为 故a 例1 1 已知x 求函数y 4x 2 的最大值 2 已知x 0 y 0 且 1 求x y的最小值 3 求y 的最小值 分析 创造应用基本不等式的条件 合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧 而拆与凑的前提在于使等号成立的条件 求条件极值的问题 基本思想是借助条件化二元函数为一元函数 代入法是最基本的方法 代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围 函数y bx a 0 b 0 为常数 的单调性与极值 或值域 要了解 并能在解题时灵活运用 特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一 取等 时 解析 1 因为x 所以5 4x 0 所以当且仅当5 4x 即x 1时 上式等号成立 故当x 1时 ymax 1 2 因为x 0 y 0 1 所以x y x y 10 6 10 16 当且仅当 时 上式等号成立 又 1 所以x 4 y 12时 x y min 16 3 此时 不能使用基本不等式 等号取不到 利用 对勾 函数的单调性解决 即当x 0时 得其最小值为 点评 1 用基本不等式求函数的最值时 关键在于将函数变形为两项和或积 然后这两项的积或和或平方和为定值 然后用基本不等式求出最值 2 在条件最值中 一种方法是消元转化为函数最值 另一种方法是将要求最值的表达式变形 然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值 3 不管哪种题 哪种方法 求最值时要验证等号是否成立 变式1 1 若 4 x 1 则的最大值为 2 若a b c 0 且a2 ab ac bc 4 则2a b c的最小值为 3 已知0 x 则f x sinx 的最小值为 解析 1 x 1 x 1 因为 4 x 1 所以 x 1 0 0 从而 x 1 2 所以 x 1 1 当且仅当 x 1 即x 2 舍 或x 0时取等号 即 max 1 2 由a2 ab ac bc 4 分解因式得 a b a c 4 所以2a b c a b a c 2 2 4 3 因为0 x 则0 sinx 1 则f x sinx 在定义域上为减函数 所以 f x min f 3 例2 若x y z 0 1 求证 3 分析 注意到三个分数的分母之和为定值3 故证明时可在不等式两边同时加3使用基本不等式 也可以通过换元法给出问题的另证 证明 证法1 2 2 2 3 3 得证 证法2 令a 1 x y 0 b 1 y z 0 c 1 z x 0 则证明原不等式等价于证明 3 其中a b c 0 且a b c 3 因为 a b c 3 3 2 2 2 9 即3 9 所以 3 变式2 设a b为正实数 且a b 1 1 求证 ab 4 2 探索 猜想 将结果填在括号内 a2b2 a3b3 3 由 1 2 你能归纳出更一般的结论吗 并证明你给出的结论 解析 1 因为a 0 b 0 所以1 a b 2 当且仅当a b 时等号成立 即0 ab 设ab t 则t 0 令f t t 则问题等价于当t 0 时 求f t 的最小值 因为f t 1 0在 0 上恒成立 所以f t t 在 0 上是减函数 所以f t min f 4 4 所以f t 4 即ab 4 2 a2b2 a3b3 3 由 1 2 可归纳出一般的结论为 anbn 4n n n 证明 因为a 0 b 0 所以1 a b 2 当且仅当a b 时等号成立 所以0 ab 所以0 anbn n n 设anbn t 则t 0 令f t t 问题等价于当t 0 时 求f t 的最小值 因为f t 1 0在 0 上恒成立 所以f t t 在 0 上是减函数 所以f t min f 4n 所以f t 4n 即anbn 4n n n 点评 1 利用基本不等式证明不等式时 首先要将条件和结论化简和变形 整理成可以用基本不等式的形式 2 用基本不等式证明不等式时 仍然要注意是否有基本不等式成立的条件 但不一定要得到定值 也不一定要取到等号 因为证明不等式只需要利用条件能推出结论 而不一定要等价变形 例3 某加工厂需定期购买原材料 已知每公斤原材料的价格为1 5元 每次购买原材料需支付运费600元 每公斤原材料每天的保管费用为0 03元 该厂每天需要消耗原材料400公斤 每次购买的原材料当天即开始使用 即有400公斤不需要保管 1 设该厂每x天购买一次原材料 试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式 2 求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少 并求出这个最少 小 值 3 若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠 即为原价的85 问按此优惠条件 该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少 并求出这个最少 小 值 分析 不等式应用问题体现了一定的综合性 这类问题大致可以分为两类 一类是建立不等式 解不等式 另一类是建立函数式求最大值或最小值 利用平均值不等式求函数的最值时 要特别注意 正数 定值和相等 三个条件缺一不可 有时需要适当拼凑 使之符合这三个条件 利用不等式解应用题的基本步骤 1 审题 2 建立不等式模型 3 解数学问题 4 作答 解析 1 每次购买原材料后 当天用掉的400公斤原材料不需要保管费 第二天用掉的400公斤原材料需保管1天 第三天用掉的400公斤原材料需保管2天 第四天用掉的400公斤原材料需保管3天 第x天 也就是下次购买原材料的前一天 用掉最后的400公斤原材料需保管x 1天 所以每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1 400 0 03 1 2 3 x 1 6x2 6x 元 2 由 1 可知 购买一次原材料的总的费用为6x2 6x 600 1 5 400 x元 所以购买一次原材料平均每天支付的总费用y 6x2 6x 600 1 5 400 6x 594 所以y 2 594 714 当且仅当 6x 即x 10时 取等号 所以该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少 为714元 3 按此优惠条件 则至少15天购买一次原材料 又由上问可知 按此优惠条件购买一次原材料的总的费用为6x2 6x 600 0 85 1 5 400 x元 其中x 15 所以购买一次原材料平均每天支付的总费用y 6x2 6x 600 0 85 1 5 400 6x 504 x 15 所以 6 当x 15时 0 即函数y 6x 504在 15 上是增函数 所以当x 15时 y取最小值 最小值为 6 15 504 634 元 变式3 甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不超过c千米 小时 已知汽车每小时的运输成本 单位 元 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v 千米 小时 的平方成正比 比例系数为b 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v 千米 小时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 解析 1 建模 依题意知 汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 全程运输成本为y a bv2 sb v v 0 c 2 依题意 有s b a v都是正数 因此y sb v 2s 若 c 则当且仅当v v 时 y取到最小值 若 c 则y在 0 c 上单调递减 所以当v c时 y取到最小值 综上所述 为了使全程运输成本最小 当 c时 行驶速度应该为v 当 c时 行驶速度应该为v c 1 基本不等式成立的条件是 一正 二定 三相等 一正 是指各项均为正数 二定 就是若积为定值则和有最小值 若和为定值则积有最大值 三相等 就是必须验证等号成立的条件 这也是最容易出错的地方 若等号不在给定的区间内 通常利用函数的单调性求最值 2 整式不等式 主要是一次 二次不等式 的解法是解不等式的基础 利用不等式的性质及函数的单调性 将分式不等式 绝对值不等式等化归为整式不等式 组 是解不等式的基本思想 分类 换元 数形结合是解不等