沙子的开采-数学建模.doc

沙子的开采问题摘要 本文主要研究的是估算某一地区的含沙量，并做出开采沙子的收益分析。 针对问题一，我们根据题中表格中已有的数据，利用线性插值的方法对相邻两点作线性外推，估算出了缺少的数据。然后通过matlab画出地表、沙层顶部以及沙层低部的等高线。为了更精确的计算出表土层与沙层的体积，用matlab对数据进行线性插值，将50米50米的方格精确到1米1米的小方块。再利用体积公式近似计算出表土层与沙层的体积，进而得到该矿含沙量超过400万吨，表土体积小于沙子体积19%，可以对这项工程进行投资。 针对问题二，构造单位面积的利润函数，利用matlab软件画出利润等值线。由于贴现的缘故，施工应按照利润由大到小的顺序进行。所以施工顺序是按照等值线的分布进行的。在确定每个阶段的施工时间后，分别计算利润，进而求得总利润。 关键词： 沙子的开采 线性插值 matlab 贴现率一.问题简述 沙子作为最重要建筑材料之一，一直有着稳定的市场。沙子在形成之后上面覆盖着表土，由于表土层结构松散，沙子只能露天开采即先将表土移走再挖沙子。现有一开采地，四周有几块沼泽地。蓝色隧道公司为生产建筑材料委托一支地质队调查该开采地，在开采地上画的网格点处用空心管垂直钻入地下利用进入空心管的厚度的开采地的面积可得出表土和沙子的体积，其中每个网格点中最上面一项是地表高度，中间一项是沙层顶部的高度，最下面一项是沙层底部的高度由于地表存在沼泽地，部分网格点的数据没有采集，即所给表中的数据空白处现有该公司提供的相关材料，需要解决以下工作：（1）通过计算表土和沙子体积决定是否该对这项工程进行投资，并画出地表、沙层顶部以及沙层低部的等高线。（2）如果可以投资，根据已给数据和条件设计开采方案，做出收益分析作并求出相应的利润。 二.问题分析问题一：开采地四周的沼泽地也存在沙子，所以要补充完整表格中的数据，即分别把表土高度、沙层顶部高度、沙层底部高度的数据估算出来。根据网格中已有的相关数据，取前后或上下两个连着的数据，利用线性插值法进行数据处理，然后用Matlab编程运算分别得出表土高度、沙层顶部高度、沙层底部高度的等高线图。题中给出的地表高度、沙层顶部和沙层底部高度的原始数据，相临的点相距50米。为了更精确地计算表层体积，对沙子的储量作精确的估算，用matlab软件对数据进行插值，使得相临的点彼此相距1米，每个网格是11的小方块，经过插值后的数据可更精确地反映沙层厚度分布情形。我们将所有的沙土汇集在单位网格，网格点补充完整后就根据网格点中的数据分别算出每个小区域的表土厚度（表土高度-沙层顶部高度）和沙层厚度（沙层顶部高度-沙层底部高度），利用体积公式累加求出沙层、土层的总体积。问题二：为解决开采沙子的收益分析，首先要构造利润函数。在不考虑成本中每月10万元的地区管理费的情况下，单位面积利润函数(单位: 元/米2 )只存在沙和土的密度与厚度这俩个变量，沙的销售单价，沙和土的开挖费和运输、处理费都为固定值。根据所得利润函数利用matlab软件求得函数的等值线。由于每个月交纳的10万元地区管理费,再考虑到每月最多开挖量10万吨的限制,只作出了该函数大于等于0的范围,我们的施工设计局限于该范围。由于10万吨的限制将施工区域分成几个部分，按阶段施工，分别求出各阶段的利润，求和得出总利润。三.模型假设1. 假设题目中所给数据都是准确的。2. 开采地沙层与表土层都是连续的，近几年不会发生地质以及自然灾害造成地质构造的变化。3. 月贴现只针对利润，并不包括其他费用。4. 沙子的单价，开采费用以及其他投入价格不会发生改变。5. 每月利润当月结算，所得收入在月底统一贴现。四.符号说明符号符号说明单位m1m2p表土的质量表土的密度表土的体积沙子的质量沙子的密度沙子的体积单位面积利润函数开采单位面积沙土所获利润吨吨/立方米立方米吨吨/立方米立方米磅/平方米磅五.模型的建立与求解4.1 问题一： 要解决表土和沙子的体积就要填充网格中所空白数据，首先对网格中的所给出的数据进行分析，利用二维线性插值法较精确地估算出表格中因沼泽地原因无法测得的数据。二维线性插值法方法如下：首先在 X方向进行线性插值，得到： 然后在 Y方向进行线性插值，得到： 这样就得到所要的结果：即得到如下数据表格： A B C D E F G H I J K L M N O 01234567822.3 22.04 21.9 22.0 22.4 23.2 23.4 23.2 22.8 22.5 23.0 23.2 23.2 22.6 21.919.1 19.0 19.3 19.5 20.0 20.6 20.4 19.9 19.35 18.4 17.8 18.0 19.0 19.0 18.816.4 14.2 12.1 8.7 5.8 4.1 2.1 1.1 0.5 0.4 0.4 0.6 0.2 0.2 3.622.4 22.4 22.5 22.6 23.0 23.1 23.2 23.4 23.5 24.0 24.0 24.0 23.8 23.0 22.220.4 19.5 19.6 19.7 19.9 20.0 20.0 19.8 19.9 20.0 19.8 19.6 19.5 19.3 19.1 13.7 10.6 8.4 6.0 6.0 3.2 1.6 1.0 1.1 1.0 0.8 0.9 0.8 0.3 6.0 22.3 22.6 22.7 22.8 23.1 23.3 23.4 23.4 23.5 24.2 24.1 24.1 24.0 23.0 22.5 21.1 20.2 19.6 19.8 19.8 19.7 19.8 20.0 20.1 20.3 20.4 20.5 20.0 19.6 19.611 8.2 4.3 2.1 2.2 1.4 0.6 0.5 0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.7 0.4 5.0 22.1 22.6 22.9 23.0 23.1 23.5 23.6 23.4 23.6 23.8 24.0 24.2 24.0 23.0 22.521.0 20.4 20.0 20.1 20.0 19.5 19.5 19.8 20.2 20.4 20.6 20.7 20.8 20.0 19.87.4 6.1 3.6 1.8 1.8 1.4 0.7 0.6 0.4 0.1 0.1 0.1 0.9 1.3 6.0 22 22.8 23.0 23.1 23.2 23.4 23.8 24.0 24.0 24.0 23.9 23.8 23.7 23.4 22.620.5 20.3 20.0 20.2 20.5 20.6 20.6 20.4 20.4 20.5 20.6 20.8 20.7 20.5 20.6 4.9 4.2 3.0 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.8 0.3 0.5 0.6 1.4 5.0 6.2 22.2 23.0 23.2 23.3 23.4 23.6 23.8 23.9 23.9 24.0 24.1 24.2 24.0 23.0 22.4 19.8 20.0 20.1 20.3 20.4 20.7 20.9 21.0 20.9 20.8 20.8 20.7 20.3 20.3 20.9 3.6 3.5 3.0 2.0 1.5 1.1 1.0 0.9 0.6 0.6 0.9 7.1 8.3 8.9 7.95 23.0 24 23.3 23.1 23.5 23.4 23.3 23.2 23.1 23.0 22.9 22.8 22.7 22.5 22.2 19.3 19.5 20.2 20.3 20.6 20.8 21.0 20.8 20.6 20.4 20.2 20.0 19.6 19.4 20.2 2.8 2.6 2.0 1.5 1.4 1.2 1.2 1.1 0.8 0.7 1.2 4.1 8.0 10.2 11.1 22.8 24.5 24.0 23.0 23.0 22.4 22.3 22.2 22.1 22.1 22.2 22.2 22.3 22.2 22.3 18.8 19.0 20.2 20.3 20.7 20.9 21.0 20.6 20.4 20.0 19.4 19.2 19.0 18.7 18.9 1.0 0.8 0.7 0.7 1.2 1.2 1.5 2.3 2.4 3.0 7.0 10.2 14.0 14.7 14.7 24.3 25.0 24.0 23.0 22.3 21.5 21.0 20.9 22.0 22.2 21.9 22.1 22.0 22.0 22.1 18.6 19.5 20.1 20.2 20.6 21.0 21.2 20.9 19.8 19.2 18.6 18.9 18.8 18.3 17.7 0.1 0.9 0.9 1.2 1.3 1.3 1.5 2.7 4.7 6.0 7.3 8.5 9.9 11.4 12.9 再根据上述所给的表格，利用matalab软件分别作出地表高度、沙层顶部高度、沙层底部高度的等高线图（matlab数据程序见附录）插值后的地表高度结果见图5-1：图5-1 地表等高线插值后的沙层顶部高度结果见图5-2：图5-2顶部等高线插值后的沙层底部高度结果见图5-3：图5-3 底部等高线对沙子体积的计算采用最基本的体积计算公式：体积=底面积高度题中给出的地表高度、沙层顶部和沙层底部高度的原始数据，相临的点彼此相距50米。为了更精确地反映地质结构，对沙子的储量作精确的估算，用数学软件包MATALAB对沙层厚度进行插值，使得相临的点彼此相距1米，每个网格是11(米)的小方块,经过插值后的数据可更精确地反映沙层厚度分布情形。由合理假设，该区域没有复杂的地质构造。可以认为经过插值后的在11(米)网格点处的函数值，是以此点为中心的单位方块内沙层厚度的平均值。计算出表土的体积是867480立方米，沙子的体积是4754900立方米。（代码见附录）再利用质量最基本的计算公式：质量=密度体积计算沙子的质量。由上述计算出的体积以及密度的值得：表土的质量：m1=1350千克/立方米867480立方米 =1171098吨沙子的质量：m2=1620千克/立方米4754900立方米 =7702938吨 因为沙子的质量为7702938吨400万吨，沙子的体积是4754900立方米，475490019=903431立方米。表土的体积是867480立方米6055f6050f5545f5040f4535f4030f3525f3020f255f20沙子的体积v2利润(经贴现)月均利润(经贴现) 12195003332127.5175375.118252003998373.5133279.27335501288242.8107353.5352130491397.098279.4218220375607.393901.8134090181450.890725.4109560176001.088000.56494286525.786525.74269084451.284451.25440075402.975402.9 在计算贴现后的利润时，要用到月贴现率，在进行工程预算时，对每个月的利润经过现金贴现得到纯现值，再相加得总利润。在计算工程开始后第n个月利润的纯现值，则用公式，其中i是月贴现率，P是这个月的利润值。根据各阶段的利润，求和得出总利润为10189579.723磅。 六.模型的评价与改进6.1模型的优点本题选择的模型简单易懂，计算简便，同时也结合了实际生产情况，对沙子的开挖过程具有一定的指导意义。问题一通过Matlab软件对沙层厚度进行线性插值，使得相邻的点彼此距离为1m的，插值后的数据可更精确的地反映沙层厚度分布情况。问题二巧妙地结合的问题一求等高线的要求，求解得到了实际开挖中每阶段可挖采的范围。6.2模型的缺点为计算方便，我们认为开挖方式是一次挖到沙层的底部，可认为是垂直开采，不考虑力学上的要求，故最终计算的利润会存在一定误差。为结合实际生产情况，我们选择相邻阶段的施工区域相邻，而不是优先选择利润最大的位置，这会导致所求利润不是理论上的最大值。参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第三版）. 高等教育出版社,2003.8附录附录一 等高线绘制程序%用matlab读入储存在excel中的数据附录1.1 绘制地表等高线dibiao=data(1:3:27,:);x,y=meshgrid(1:15,1:9);contour(dibiao);C,h=contour(dibiao);clabel(C,h);title(地表等高线)附录1.2 绘制顶部等高线dingbu=data(2:3:27,:);x,y=meshgrid(1:15,1:9);contour(dingbu);C,h=contour(dingbu);clabel(C,h);title(顶部等高线)附录1.3 绘制底部等高线dibu=data(3:3:27,:);x,y=meshgrid(1:15,1:9);contour(dibu);C,h=contour(dibu);clabel(C,h);title(底部等高线)附录二 求表土、沙子的体积x0=0:50:700;y0=0:50:400;h1=data(1:3:27,:)-data(2:3:27,:);h2=data(2:3:27,:)-data(3:3:27,:);xi=0:1:700; %加密数据点yi=0:1:400;