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摘要:中心极限定理在概率论与数理统计教学中占有重要的地位,本文阐述了独立同分布及独立不同分布中心极限定理的特例，并给出其在实际问题和统计分析中的有关应用. 关键词：中心极限定理正态分布随机变量Abstract : The ce ntral limit t heorem ha s a n impo rtant sta tus in teaching the p ro bability theory and mat hematical stati stics.This paper expounds two special ca ses of the Levy2Lindebe rg Theo rem a nd gives releva nt applications of practice problems andstatistics a nalyse.Key wor ds : central limit theorem; normal distribution ; random variable中心极限定理及其应用1 引言中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理.这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件.中心极限定理有着有趣的历史.这个定理的第一版被法国数学家棣莫弗发现，他在1733年发表的卓越论文中使用正态分布去估计大量抛掷硬币出现正面次数的分布.这个超越时代的成果险些被历史遗忘，所幸著名法国数学家拉普拉斯在1812年发表的巨著 des 中拯救了这个默默无名的理论.拉普拉斯扩展了棣莫弗的理论，指出二项分布可用正态分布逼近.但同棣莫弗一样，拉普拉斯的发现在当时并未引起很大反响.直到十九世纪末中心极限定理的重要性才被世人所知.1901年，俄国数学家里雅普诺夫用更普通的随机变量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明.如今，中心极限定理被认为是(非正式地)概率论中的首席定理.具有有广泛的实际应用背景.在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很小总的影响可以看做是服从正态分布的.中心极限定理就是从数学上证明了这一现象.最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为50%的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李雅普诺夫等进行了推广和改进.自从1919-1925年间莱维系统的建立了特征函数理论起， 中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等.极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美.长期以来，对于中心极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展，同时新的中心极限定理问题也在实际中不断产生和发展.2 中心极限定理的内容2.1 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理 设重伯努利试验中，事件在每次实验中出现的概率为，记为次试验中事件出现的次数，且记 = ,其中 .则对任意实数，有 ,棣莫弗拉普拉斯极限定理是概率论历史上的第一个中心极限定理，是专门针对二项分布的，因此称为“二项分布的正态近似”.2.2 林德贝格勒维中心极限定理设是相互独立且同分布的随机变量序列，数学期望与方差都存在： , ， i=1，2， .则对任意的，有 ,或者对任意的x有 = ,该定理表明：当n充分大时， 近似服从于正态分布.2.3 李雅普诺夫中心极限定理设是独立随机变量序列，数学期望和方差存在，分别为，i=1，2，若存在，有 , i=1，2， ,且满足条件,其中 ，i=1，2， ,则对任意实数x，有 ，其中，i=1，2， .2.4 三种中心极限定理之间的区别与联系三种中心极限定理之间的区别：在三种中心极限定理之中，林德贝格勒维中心极限定理解决的是独立同分布下的问题，这里要求是独立同分布且数学期望与方差存在，在这里的分布不作具体要求，只要同分布即可.而相对于林德贝格勒维中心极限定理而言，李雅普诺夫中心极限定理解决的是独立不同分布下的问题，同样要求（）数学期望和方差存在，不同的是对于来说，只要求独立，不要求同分布.棣莫弗拉普拉斯中心极限定理是概率论历史上的第一个中心极限定理，与林德贝格勒维中心极限定理一样要求独立同分布，只是相对于林德贝格勒维中心极限定理来说，棣莫弗拉普拉斯中心极限定理进一步要求服从重伯努利试验，是专门针对于二项分布的，称为“二项分布的正态近似”.将离散分布的二项分布转化为连续分布的正态分布问题来计算，在控制误差的情况下简化计算.三种中心极限定理之间的联系：林德贝格勒维中心极限定理是在独立同分布的前提下解决问题，李雅普诺夫是在独立不同分布下解决问题的，二者之间可以互补.棣莫弗拉普拉斯中心极限定理则是林德贝格勒维中心极限定理的一种特殊情况（同分布是重伯努利试验的情况下）.在实际应用中只需要牢牢把握问题的条件，根据的分布情况就可以利用中心极限定理解决问题，在下面的中心极限定理的应用中得以充分体现.3 中心极限定理的应用虽然中心极限定理反映的是当时，一系列相互独立的随机变量，,的和的极限分布为正态分布，但在应用中心极限定理解决问题时，只要充分大（一般，越大越好）我们就可以用中心极限定理作近似计算.它为解决实际应用问题提供了理论基础.中心极限定理的功绩之一是确立了正态分布在各种分布中的首要地位，定理的条件只要求，,是相互独立的随机变量序列，因而无论各个服从什么分布，其和都以正态分布为极限，这种独立和的现象是十分常见的.例如，在研究一个车间的许多台机床的耗电量时，整个车间的耗电量等于各台机床耗电量的总和，而各台机床的工作状态及耗电量是相互独立的，因此车间的耗电量是一个独立和的问题.只要机床的台数足够大，则可用中心极限定理估计这个车间的耗电量，而且可以得到满意的效果.又如一个单位的电话网同时需要打外线的电话数等都可以表示成独立和的问题，所以独立和的问题是常见的，这种常见性就决定了正态分布成为首要的分布，这些后面会稍加以分析说明.中心极限定理还刻画了正态分布的形成机制.如果某一个量的变化受到许多随机因素的影响，这种影响总的后果是各个因素的迭加，而且这些因素中没有一个是起主导作用的，那么这个量就是一个服从正态分布的随机变量，至少它可以近似地服从正态分布.这种机制在经济问题重视常见的，而在我们对经济问题进行定量分析时，往往假定在主要因素的影响之外，其它各种因素的影响可以用一个服从正态分布的随机变量来表示，其依据就在于此.3.1 中心极限定理在生活中的应用3.1.1 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理在生活中的应用例.生产灯泡的合格率为0.6，求10000个灯泡中合格灯泡数在5800到6200个之间的概率.分析 在前面的中已经提到在解决问题时只要牢牢把握题目条件即可，而此题中条件是知道，要求得，则根据前面的分析，我们知道此题运用棣莫弗拉普拉斯中心极限定理来解决，下求之.解 令表示在10000个灯泡中合格的灯泡个数，则显然它服从参数=10000，=0.6二项分布，则有 ， ， ，由于在此 ，近似服从正态分布，故由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得 = = =2 =0.9995 ,即得出结论：在10000个灯泡中合格灯泡数在5800到6200之间的概率为0.9995.例2.如果一个车间由200台机床，在生产过程中急需检修，调换需要停车，设开工率为0.6，并设每台机床的工作单位是独立的，且在开工时需要电力一瓦，应该供给该车间多少瓦电力才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产这个问题.分析 同例一样，我们分析题目知道，该题中，同上题中的条件一样，只是此题中的求的内容和另一个条件与上题中恰好相反，则我们同样利用棣莫弗拉普拉斯中心极限定理既可以就解决 .解 把每台车窗的观察作为一次试验，把观察到车床在工作时作为事件，而由题意知道出现事件为0.6，由于200台机床独立工作，便可以看成的贝努利试验，出现事件的概率为0.6，把某时刻工作着的车窗数记为，则是一种随机变量，它服从二项分布现在问题是求, 使得 . （1） 由于 = ,由棣莫弗拉普拉斯定理得到 = = ,查表得 .在不同的条件下，要求不同，只要在（1）式中加以改变，方法完全相同.这个问题说明生产管理人员掌握一定的概率论知识在实际生产中的必要性.解决本题的方法可以用来解决其它类似问题，如下面例3所示：例3. 某单位内部有260架电话分机，每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认为各个分机用不用外线是相互独立的.问：总机要被多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不用等候.分析 该题同上题属于同一种类型，可以用棣莫弗拉普拉斯中心极限定理解决.解 令 ，第个分机要用外线 . ，第个分机不要用外线 . 记每个分机需要外线频率为，不需要为，则 , ,如果260架分机同时要求使用外线的分机数记为， 显然有 ,依据题意，要求确定最小数x，使得 成立.因为这里比较大，近似服从正态分布，所以有 = ,记 b= . 查分布数值表，知道 ,故取 b=1.65 .于是 1.65= ,将 ，代入上式并计算得 ,取最为接近的整数.所以，得出结论：总机至少要备有16条外线，才能有95%以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.例4. 考虑一种100000张同类医疗保单的组合，设被保险人的损失是相互独立的，保单规定保险人员赔付被保险人所发生损失的80%（比例保险）.设在保险期内可能发生的损失服从以下分布：0502005001000100000.300.100.100.200.200.10若要求所收取的保费总额低于理赔总额的概率不超过5% ，试确定安全附加保费. 解 设损失变量为,则理赔变更为 ,又设安全附加费率为，则保费总额为 .则再按题意，应该满足 ,又在此，理赔总额近似服从正态分布，即 ,又知道 , ,令, 则查表有,则安全附加保费为 .3.1.2 李雅普诺夫中心极限定理在生活中的应用例.一份考卷由99个题目组成，并按照由易到难顺序排列.某学生大队第一题的概率为0.99；大队第二题的概率为0.98；一般而言，她答对第题的概率为，加入该学生回答个题目是相互独立的，并且要正确回答其中各题目以上（包括60）个才算通过考试.试计算该考生通过考试的可能性有多大？分析 由题目中，可以看出该题的独立不同分布，我们就可以知道要运用李雅普诺夫中心极限定理来解决.但是在运用李雅普诺夫中心极限定理之前需要验证随机变量序列符合李雅普诺夫中心极限定理的条件.解 设 =于是相互独立，且服从不同的二点分布 =，= ， ,而我们要求的是 ,为了便于使用中心极限定理，我们设想从开始的随机变量都与同分布，且相互独立. 下面用来验证随机变量序列满足李雅普诺夫中心极限定理的条件.由于 = , = ，于是 ,由此征得，满足李雅普诺夫中心极限定理的条件，本题可以使用李雅普诺夫中心极限定理.又因为 = , = ,所以该考生通过考试的可能性为 = = ,因此，得出结论，此学生通过考试的可能性很小，大约只有千分之五.由于棣莫弗拉普拉斯中心极限定理属于林德贝格勒维中心极限定理的一部分，因此林德贝格勒维中心极限定理的例子不再列举.由上面几个例子可见，中心极限定理在现实生活中的应用非常广泛，是概率论中的核心内容，学会使用中心极限定理对我们的生活帮助很大.3.2 中心极限定理应用高尔顿顶板实验如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对称的古钟型），其中 为钉子的层数.我们作初步解释如下令 表示某一个小球在第次碰了钉子后向左或向右落下这一随机现象相联系的随机变量（ 表示向右落下，表示向左落下），由题意，的分布列可设为下述形式：对1-150%50%则有，对令 ，其中 相互独立.则表示这个小球第次碰钉后的位置.试验表明近似地服从正态分布.上述例子表明，相互独立随机变量和的极限分布是正态分布的问题.3.3 中心极限定理在统计推断中的应用中心极限定理还是数理统计中大样本统计方法必不可少的理论基础.在统计推断理论中，一般是研究正态分布总体均值与方差的统计推断，它是依赖于正态分布的特殊性以及正态总体的样本统计量的一些分布性质，然而对于不服从正态分布的总体就不满足这些条件.我们知道，由简单随机抽样得到的样本就是一个独立同分布的随机变量序列.因此，在实际工作中，如果能够获得样本容量较大的样本，即如果足够大，就可以把独立同分布的随机变量之和当做一个服从正态分布的随机变量来处理。这种做法的理论依据就是中心极限定理.不论总体服从什么分布（即使不知道X的分布类型也无关紧要），在总体中抽取一个大样本,，那么近似的服从正态分布,即近似的服从标准正态分布,即使未知，我们可以用样本方差作为,近似地服从标准正态分布,即使D(X)未知，我们可以用样本方差作为的无偏估计，用来代替,也近似地服从标准正态分布.所以，在已知的条件下，总体均值的置信度的置信区间为；在未知的条件下，的置信度的置信区间为.在对总体均值进行检验:时，可选择统计量（已知时）或选择统计量（未知时），当原假设成立时，,对于显著水平，的接受域均为.同样，对于