江苏省连云港市田家炳中学高三数学 57正弦定理余弦定理复习课件.ppt

第七节正弦定理和余弦定理 基础梳理 设 abc的三个内角a b c的对边分别为a b c r是 abc的外接圆半径 1 正弦定理三角形的 即 2r 各边和它所对角的正弦的比相等 2 正弦定理的三种形式 a b c 边到角的转换 sina sinb sinc 角到边的转换 a b c sina sinb sinc 2rsinc 2rsina 2rsinb 3 余弦定理三角形任何一边的平方等于 即a2 b2 c2 其他两边的平方的和 减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 余弦定理也可以写成如下形式cosa cosb cosc 4 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中分别令a b c为90 则上述关系式分别可化为 b2 a2 c2c2 a2 b2 a2 b2 c2 基础达标 2 在 abc中 sina sinb sinc 3 2 4 则cosc的值为 解析 sina sinb sinc a b c 3 2 4 不妨设a 3 b 2 c 4 则cosc 3 必修5p10第2题改编 已知 abc中 acosa bcosb ccosc 则 abc的形状为 解析 由余弦定理 化简整理可得 a2 b2 2 c4 a2 b2 c2或b2 c2 a2 故 abc为直角三角形 经典例题 题型一正弦定理和余弦定理的应用 例1 2010 天津 在 abc中 内角a b c的对边分别是a b c 若a2 b2 bc sinc 2sinb 则a 解 由sinc 2 sinb结合正弦定理得 c 2 所以由余弦定理得 cosa 所以a 30 b 变式1 1 2010 湖北改编 在 abc中 a 15 b 10 a 60 则cosb 题型二三角形的面积问题 分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a b的方程 然后解方程组得a b 变式2 1 在 abc中 cosa cosb 1 求角c 2 设ab 求 abc的面积 题型三判断三角形的形状 例3 2010 辽宁 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 1 求a的大小 2 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 分析 运用正弦定理解三角形 关键是巧妙的利用定理如何实行边角的互化 进而达到解题的目的 解 1 由已知 根据正弦定理得2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 故cosa 即a 120 2 由 1 得sin2a sin2b sin2c sinbsinc 又sinb sinc 1 得sinb sinc 因为0 b 90 0 c 90 故b c 所以 abc是等腰的钝角三角形 变式3 1 解析 由根据同角三角函数之间的关系及正弦定理可得 变式3 2 2011湖南雅礼中学月考 在 abc中 若 试判断 abc的形状 解析 设 a b c的对边分别为a b c 由题意c a cosb c2 acosb c 由余弦定理 得a c a2 c2 b2 2c2 a2 c2 b2 abc是直角三角形 题型四正 余弦定理的综合应用 分析 综合应用正弦定理与余弦定理解题 首先要确定一个恰当的三角形 其次要根据题中条件分析选用哪个定理最方便 本题中 由正弦定理得bc ac ab 由s abc sinc 得bc ac sinc sinc 解 1 由题意及正弦定理 得ab bc ac 1 bc ac ab 两式相减 得ab 1 链接高考 知识准备 1 知道三角形的面积公式 2 会用余弦