设备是否更新.doc

摘要本文针对的模型是建立设备更新过程中的最小总支出的模型。在求解的过程中运用初等函数的解题方法建立模型和解除模型。并用了求最短路径的方法，求出指定两点之间的最短路即最小总支出。我们将第i年年初购进一台新设备设为变量vi( (i=2，3，4，5，6)，其中，v6为虚设点，表示第五年年底购进设备，从而将该问题转化为求从v1到v6的最短路径。而后通过计算机的多次模拟运算，分析以及检验，验证出我们建立该模型的科学性、合理性以及正确性。关键字：最短路径 最小总支出 模拟运算问题重述 随着生产的需要，每个公司都有一些旧的机器设备，每一年公司都要考虑是购买新设备还是继续使用旧设备。若购买新设备，就要支出一笔购置费；若继续使用旧设备，则需要支付维修费，而且随着使用年限的延长而增长。某公司有一台已使用一年的生产设备，公司考虑下一年度是购买新设备还是继续使用这台旧设备。已知这种设备每年年初的购置价格（见表1），而第一年开始时使用的有一年役龄的老设备其净值为8，不同使用年限的维修费用（见表2），制定一个5年内设备的使用或更新计划，事5年内设备的使用维修费和设备购置费的总支出最小。表1年 份2345年初价格（万元）11121213表2 使用年限0-11-22-33-44-55-6年维修费用（万元）23581218 模型假设1、机器在购买N年之后维修费用是固定不变的，不存在人为的破坏因素使 之不能正常运行；2、公司有足够的资金支付设备；3、公司该设备只使用一台，不存在公司同时用多台机器的现象问题分析为了使问题简化，我们将求最小总支出转化为求最小路径问题，这样，设备更新问题可简化为求从v1到v6的最短路问题，可由上表得下图30182210165141514132V1V2V6V5V4V317172129 （v1, v2） 2=2 （v1，v3） 2+3=5 （v1，v4） 2 +3+5=10 （v1，v5） 2+3+5+8=18 （v1，v6） 2+3+5+8+12=30 （v2，v3） 11+2=13 （v2，v4） 11+2+3=16（v2，v5） 11+ 2 +3+5=21（v2，v6） 11+ 2+3+5+8=29（v3，v4） 12+2=14（v3，v5） 12+2+3=17（v3，v6） 12+2+3+5=22（v4，v5） 12+2=14（v4，v6） 12+2+3=17（v5，v6） 13+2=15由上图，我们就可以算出设备更新的问题算出最小总支出符号说明1、vi表示第i年年初购进一台新设备，虚设一个点v6，表示第五年年底；2、边（vi，vj）表示第i年初购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1年底）；3、边（vi，vj）上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年初所需支付的购买、维修的全部费用模型建立由上述分析可知所对应的结点跟路径，下面给出其基本步骤：采用标号法，用两种标号：T标号和P标号，T标号为试探性标号，P标号为永久性标号，给vi一个P标号时表示从vi到vj的最短路权，vi的标号不再改变。给vi一个T标号是表示从vi到vj的最短路权的上界，是一种临时标号，凡没有得到P标号的点都有T标号。 首先给v1以P（v1）=0，给其余所有点T标号(1)由于（v1，v2），（v1，v3）,（v1，v4）,（v1，v5）,（v1，v6）边属于E，且v1，v2为T标号，所以修改这两个点的标号：T(v2)=2T(v3)=5T(v4)=10T(v5)=18T(v6)=30比较所有T标号，T(v2)最小，所以令P(v2)=12.并记录路径（v1，v2）。（2）v2为刚得到P标号的点，考察边（v2，v3），（v2，v3），（v2，v4）,（v2，v5），（v2，v6）的端点v1，v2。T(v3)=13T(v4)=16T(v5)=21 T(v6)=29比较所有T标号，T(v3)最小，所以令P(v3)=13.并记录路径（v1，v3）。（3）考虑点v3，有T(v4)=14T(v5)=17T(v6)=22比较所有T标号，T(v4)最小，所以令P(v4)=14.并记录路径（v1，v4）。（4）考虑点v4，有T(v5)=14T(v1)=17比较所有T标号，T(v5)最小，所以令P(v5)=14.并记录路径（v1，v5）。（5）考虑点v5，有T(v6)=15因只有一个T标号T(v6),令P(v6)=15，记录路径（v3，v6），计算结束。由计算结果可知：v1 v3 v6为最短路，路长为27，即在第一年，第三年初各购买一台新设备为最优决策，这时5年的总费用为27-8.模型求解与检验利用常规数学方法求解此题如下：由题意可知，设总共所用的支出为y，（1） 不购买设备只维修时：y=2+3+5+8+12=30（2） 购买一台设备时：a. 第二年购买，其他年维修y=11+（2+2+3+5+8）-8=23 b. 第三年购买，其他年维修y=12+（2+3+2+3+5）-8=19 c. 第四年购买，其他年维修 y=12+（2+3+5+2+3）-8=19 D. 第五年购买，其他年维修y=13+（2+3+5+8+2）-8=25（3） 购买两台设备时： a.第二、三年购买，四、五年维修 y=(11+12)+(2+2+2+3+5)-(8+8)=21 b. 第二、四年购买，三、五年维修 y=(11+12)+(2+2+3+2+3)-(8+8)=19 c. 第二、五年购买，三、五年维修 y=(11+13)+(2+2+3+5+2)-(8+8)=22 d.第三、四年购买，二、五年维修 y=(12+12)+(2+3+2+2+3)-(8+8)=20 e.第三、五年购买，二、四年维修 y=(12+13)+(2+3+2+3+2)-(8+8）=21 f. 第四、五年购买，二、三年维修 y=(12+13)+(2+3+5+2+2)-(8+8)=23（4） 购三台设备时 a. 第三、四、五年购买, 第二年维修 y=(12+12+13)+(2+3+2+2+2)-(8+8+8)=24 b. 第二、四、五年购买，第三年维修y=(11+12+13)+(2+2+3+2+2)-(8+8+8)=23 c. 第二、三、五年每年购买，第四年维修 y=(11+12+13)+(2+2+2+3+2)-(8+8+8)=23 d. 第二、三、四年购买，第五年维修 y=(11+12+12)+(2+2+2+2+3)-(8+8+8)= 22（5）用四台设备时：此时只有一种情况：y=(11+12+12+13)+(2+2+2+2+2)-(8+8+8+8)=24 由以上结果可看出，当y=19时取得最小值，即最小的总支出为一二年维修，在第三年初购买新的设备能使总支出最小，且最小总支出费用为19万元，这与计算结果完全吻合，充分说明了我们所建立的模型的合理性，可行性以及正确性！模型评价与分析本模型上可以用于解决任意有关设备更新的任何问题，其中算法简洁明了，适用于无需遍布网络中所有点只要求得两定点的最短路径，对解决最小总支出是很方便而且优越，我们用计算机可以成功地求出最小总支出，容易操作，具有实用性。我们还可以采用其它数学软件通过程序的编写运行来求得最优解，如Qsb，C+等，此外，这种算法还可以求从一个城市到另一个城市的最短路径问题，资金周转问题，聘请员工实现最优化等问题，值得进行社会推广。模型改进 根据以上的解题方法，在问题的建立过程中，我们舍弃了某些影响因素的结果，尽管这些因素的影响很小，但会使所求结果与实际生活中实际结果产生偏差，尽