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第七节 一 最大值最小值定理 二 零点定理与介值定理 闭区间上连续函数的性质 第二章 定义 例如 一 最大值最小值定理 定理2 18 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的 即 设 则 使 函数在该区间上一定有最大值和最小值 证明略 1 若区间是开区间 定理不一定成立 2 若区间内有间断点 定理不一定成立 注 f x 在 0 2 上无最大值和最小值 推论 有界性定理 在闭区间上连续的函数在该区 间上一定有界 例1 证 X X 定理2 19 零点定理 至少存在一点 使 证明略 定义如果 则称 为f x 的零点 二 零点定理与介值定理 定2 20 介值定理 设 且 则对A与B之间的 任一数C 至少有一点 证作辅助函数 则 且 故由零点定理知 至少有一点 使 即 使 推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值M 与最小值m之间的一切值 例2 至少有一个不超过4的 证 证明方程 令 且 由零点定理 知 原命题得证 显然 正根 使 例3 证 由于f x 在 a b 上连续 有最大值M和最小值m 故f x 在 由介值定理的推论知 则 使得 内容小结 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的一切值 4 当 时 使 必存在 上有界 在 在 1 任给一张面积为A的纸片 如图 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片 提示 建立坐标系如图 则面积函数 因 故由介值定理可知 则 证明至少存在 使 提示 令 则 易证 2 设 一点 备用题例2 1 证明方程 证显然 又 故据零点定理 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有一个根 例2 2 证 证明任一奇数次代数方程至少有一个实根 设奇数次代数方程为 由于 又 由零点定理知 即方程至少有一个实根 例2 3 证 令 由零点定理 知 0 a b 使 证 由零点定理 例2 4 上连续 且恒为正 例2 5 在 证明 对任意的 必存在一点 使 分析 证 令 则 使 故由零点定理知 即 取 或 则有 例2 6 证 令 方法1 用反
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