新课标八年级数学竞赛培训第04讲分式的概念、性质与运算.doc

菁优网新课标八年级数学竞赛培训第04讲：分式的概念、性质与运算 新课标八年级数学竞赛培训第04讲：分式的概念、性质与运算一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（4分）（1）要使分式没有意义，则a的值为_（2）若|a5|和（b+4）2互为相反数，则的值为_2（4分）已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为_3（4分）已知与的和等于，则a=_，b=_4（4分）要使分式有意义，则x的取值范围是_5（4分）若x+y+z=3a（aO），则的值为_6（4分）若关于x的方程=1的解为正数，则a的取值范围是_7（4分）方程4x22xy12x+5y+11=O有_组正整数解8（4分）已知是正整数，则正整数a=_9（4分）学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买_枝二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）10（3分）已知式子的值为0，则x的值为（）A1BlC8D1或811（3分）化简的结果是（）ABCD12（3分）若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（）A3个B4个C6个D8个13（3分）已知，其中A，B为常数，则4AB的值为（）A7B9C13D514（3分）已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，那么的值是（）A正数B零C负数D正、负不能确定15（3分）设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）AcabBbcaCabcDcba16（3分）已知a+，则的值为（）A1B1C2D不能确定17（3分）分式可取的最小值为（）A4B5C6D不存在18（3分）设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c=0，则的值是（）A正数B负数C零D不能确定三、解答题（共8小题，满分87分）19（10分）计算下列各题：（1）；（2）；（3）20（10分）（1）火车长为400米，通过隧道（从火车头进入隧道至车尾离开隧道）需10分钟，若每分钟速度增加0.1千米，则只需9分钟求隧道长（2）甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤a元和b元（ab），甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均价格更低些？说明理由21（10分）解下列方程（组）：（1）（2）22（10分）（1）某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，求的值（2）已知A=，B=，试比较A与B的大小23（11分）已知正整数n大于30，且使得4n1整除2002n，求n的值24（12分）计算下列各式：（1）；（2）；（3）（4）25（12分）解下列分式方程（组）：（1）；（2）26（12分）（1）n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数试求1996年的所有吉祥数的和（2）计算：新课标八年级数学竞赛培训第04讲：分式的概念、性质与运算参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1（4分）（1）要使分式没有意义，则a的值为0或（2）若|a5|和（b+4）2互为相反数，则的值为考点：分式有意义的条件；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题；方程思想分析：（1）分母为零，分式无意义，根据分母为0，列式解得a的值；（2）两个数互为相反数，和为0，因此有|a5|+（b+4）2=0，再根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”来解出a、b的值，最后代入中即可解出本题解答：解：（1）分式没有意义，则2a=0或1+=0，由2a=0，得a=0；由1+=0，得a=，综上，可知a的值为0或（2）依题意得：|a5|+（b+4）2=0，即a5=0，b+4=0，a=5，b=4，=+（ab）（a+b）2，=，=故答案为：0或，点评：本题考查了分式没有意义的条件解此类问题，只要令分式中分母等于0，求得a的值即可同时考查了非负数的性质和相反数的性质两个数互为相反数，和为0初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0根据这个结论可以求解这类题目2（4分）已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为12考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：首先把分式进行化简，式子的值的是整数的条件是分母是分子的因数，据此即可确定解答：解：=式子的值是整数，则x3=2或1则x=5或1或4或2则所有符合条件的x值的和为12故答案是：12点评：本题主要考查了分式的值是整数的条件，正确理解条件是解题的关键3（4分）已知与的和等于，则a=2，b=2考点：分式的加减法；解二元一次方程组菁优网版权所有专题：计算题分析：根据题意列出等式后利用异分母分式的加减运算求解后，再根据对应项系数相等列出方程即可求解解答：解：由题意得知得+=即=a+b=4，ba=0解得a=2，b=2点评：解答此类题目关键是根据题意把原式化简，再让对应项的系数相等进行求解4（4分）要使分式有意义，则x的取值范围是x0且x1考点：分式有意义的条件菁优网版权所有专题：计算题分析：当分式的分母不为零时，分式有意义，故分母|x|0且0，解得x的取值范围解答：解：分式有意义，则|x|0且0，解得x0且x1故答案为x0且x1点评：本题主要考查了分式有意义的条件分式有意义的条件：分母不等于0由于本题分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密5（4分）若x+y+z=3a（aO），则的值为考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：设xa=m，ya=n，za=p，则m+n+p=0，代入所求分式化简即可得出答案解答：解：设xa=m，ya=n，za=p，则m+n+p=0，代入，=，=，=，=故答案为：点评：本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是正确设出xa=m，ya=n，za=p的形式，然后再化简求值6（4分）若关于x的方程=1的解为正数，则a的取值范围是a2且a4考点：分式方程的解菁优网版权所有专题：计算题分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围解答：解：去分母得，2x+a=x+2解得x=分母x20即x22解得，a4又x0解得，a2则a的取值范围是a2且a4点评：本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容并且在解方程去分母的过程中，一定要注意分数线起到括号的作用，并且要注意没有分母的项不要漏乘7（4分）方程4x22xy12x+5y+11=O有2组正整数解考点：非一次不定方程（组）菁优网版权所有专题：计算题分析：先将原方程化为用一个未知数表示为另一个未知数的形式，然后利用数的整除的知识来解答解答：解：原方程可化为（52x）y=4x2+12x11，y=2x1+，2x5|6，2x5=1、2x5=2或2x5=3或2x5=6（不合题意）或，方程4x22xy12x+5y+11=O有2组正整数解故答案为：2点评：本题主要考查的是一元二次方程的整数根与有理根的知识点在解答此题时，关键是找出能被6整除的正整数8（4分）已知是正整数，则正整数a=3，4，6，9，11考点：分式的值菁优网版权所有专题：计算题分析：已知是正整数，则分母一定是1260的因数，分母可以分解为（x2）（x+3），因而x2与x+3是1260的因数，且差是5，即可确定a的值解答：解：=结果为正整数，则a2，a+3都是1260的因数且两个因数相差：（a+3）（a2）=51260=223357满足题意的因数有：16，对应的a=327，对应的a=449，对应的a=6712，对应的a=9914，对应的a=11故答案是：3，4，6，9，11点评：本题主要考查了分式的值是正整数的条件，分母一定是分子的因数，理解分子与分母之间的关系是解决本题的关键9（4分）学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买100枝考点：二元一次方程的应用菁优网版权所有专题：方程思想分析：设一枝钢笔x元，一本日记本y元，根据两种情况表示出这笔钱，列二元一次方程，然后得出x与y的关系x=3y，再用一笔钱除以一枝钢笔的钱得出答案解答：解：设钢笔x元/枝，日记本y元/本，根据题意得：60（x+2y）=50（x+3y），去括号、合并同类项得：10x=30y，解得：x=3y，=100，即这笔钱全部用来买钢笔可以买100枝故答案为：100点评：此题主要考查了二元一次方程的应用，首先设钢笔和日记本的单价，表示出这笔钱数，且列出二元一次方程求出x与y的关系，最后求出购买钢笔的枝数二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）10（3分）已知式子的值为0，则x的值为（）A1BlC8D1或8考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有分析：分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题解答：解：由题意可得（x8）（x+1）=0且|x|10，解得x=8故选C点评：由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题11（3分）化简的结果是（）ABCD考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：每个分式的分母中两个因式相差1，可将每个分式分为两个分式的差，利用抵消规律解题解答：解：原式=+=故选A点评：分式的加减，一般采用通分的方法，当公分母较复杂时，可以根据分式的特点，将分式分为两个分式的和或差，寻找抵消规律12（3分）若x取整数，则使分式的值为整数的x值有（）A3个B4个C6个D8个考点：分式的值；整式的除法菁优网版权所有专题：转化思想分析：首先把分式转化为3+，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题解答：解：=3+当2x1=6或3或2或1时，是整数，即原式是整数当2x1=6或2时，x的值不是整数，当等于3或1是满足条件故使分式的值为整数的x值有4个，是2，0和1故选B点评：本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为3+的形式是解决本题的关键13（3分）已知，其中A，B为常数，则4AB的值为（）A7B9C13D5考点：分式的加减法；解二元一次方程组菁优网版权所有专题：计算题分析：先通过等式得出方程组，解出A、B，再代入4AB中即可得解解答：解：由=，可得，解之得，则4AB=4=13故选C点评：此题的实质是分式的加法运算，题目很灵活，培养了学生灵活运用所学知识的能力14（3分）已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，那么的值是（）A正数B零C负数D正、负不能确定考点：分式的化简求值菁优网版权所有分析：解题的关键是知道=，而在公式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）里有ab+bc+ac这一部分，利用相等关系，可求出ab+bc+ac的值，再在不等式左右同除以abc的值，从而求的值解答：解：a+b+c=0，abc=8，（a+b+c）2=0，且a、b、c都不为0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）=0，ab+bc+ac=（a2+b2+c2），又a、b、c都不为0，a2+b2+c20，ab+bc+ac0，又abc=80，0，0的值是负数故选C点评：本题利用了（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）公式，以及不等式的有关性质，此题较难15（3分）设a、b、c均为正数，若，则a、b、c三个数的大小关系是（）AcabBbcaCabcDcba考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：根据，则，不等式同时加上1化简后即可得出答案解答：解：a、b、c均为正数，根据，则，上式同时加1得：，化简得：，cab故选A点评：本题考查了分式的化简求值，难度不大，关键是把已知不等式进行变形进而求解16（3分）已知a+，则的值为（）A1B1C2D不能确定考点：解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有分析：把a，b中的一个当作未知数，就可得到一个方程，解方程即可求解解答：解：两边同乘以a，得到：a2+（2b）a2=0，解这个关于a的方程得到：a=2b，或a=，a+0，a，故a=2b，=2故选C点评：把其中的一个字母当作未知数，转化为方程问题是解决关键17（3分）分式可取的最小值为（）A4B5C6D不存在考点：分式的化简求值；不等式的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：分子与分母比较，基本上相比是6倍的，因而将分子转化为，再进一步转化为，这样就转化为求（x+1）2+1的最小值，问题得以解决解答：解：=（x+1）20，（x+1）2+11，即，=4，可取的最小值为4故选A点评：本题需注意从（x+1）20推导到的过程中，取倒数、取相反数“”“”相互转换18（3分）设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c=0，则的值是（）A正数B负数C零D不能确定考点：分式的化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：由a+b+c=0，则b2+c2a2=2bc，a2+b2c2=2ab，a2+c2b2=2ac，然后代入化简即可得出答案解答：解：由a+b+c=0，则b2+c2a2=2bc，a2+b2c2=2ab，a2+c2b2=2ac，代入，=+，=，=0故选C点评：本题考查了分式的化简求值，难度一般，关键是把a+b+c=0分别变形为b2+c2a2=2bc，a2+b2c2=2ab，a2+c2b2=2ac的形式三、解答题（共8小题，满分87分）19（10分）计算下列各题：（1）；（2）；（3）考点：分式的加减法菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）运用平方差公式分步通分；（2）把每个假分式化成整式与真分式之和的形式；（3）先将各分式拆项，再两两抵消即可得出结果解答：解：（1）=；（2）=（3x+6）+（2x2）x=8+=8；（3）=+=+=点评：本题考查了分式的加减运算，难度较大因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧20（10分）（1）火车长为400米，通过隧道（从火车头进入隧道至车尾离开隧道）需10分钟，若每分钟速度增加0.1千米，则只需9分钟求隧道长（2）甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤a元和b元（ab），甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均价格更低些？说明理由考点：一元一次方程的应用；分式的基本性质菁优网版权所有专题：应用题分析：（1）关系式为：（火车长+隧道长）10+100=（火车长+隧道长）9，把相关数值代入求值即可；（2）平均价格=总价总数量，把相关数值代入后，比较即可解答：解：（1）设隧道长为x米+100=，解得x=8600答：隧道长8600米（2）甲的平均价格为：=；乙的平均价格为：=；（ab）20（ab），a2+b22ab，（a+b）24ab，两边都除以2（a+b）得，答：乙买的价格低一些点评：考查一元一次方程的应用及分式的比较；得到速度的等量关系及使用（ab）20（ab），是解决这两个问题的关键21（10分）解下列方程（组）：（1）（2）考点：解分式方程菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）；先把分式方程进行整理，再把括号去掉，整理成简单的分式方程，最后可把分式方程转化为整式方程求解（2）先一步步的把分母去掉，最后整理出简单的分式方程，然后解出得数解答：解：原方程可化为（1+）+（1+）=（1+）+（1+）即=（172x）（152x）得：x=（2）原方程化为=，于是得则故原方程得解为：x且x1 或x且x0点评：本题主要考查学生对分式方程的理解和掌握，先把复杂的分式方程可化为简单的分式方程，最后化为整式进行解答22（10分）（1）某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，求的值（2）已知A=，B=，试比较A与B的大小考点：分式方程的应用；分式的值菁优网版权所有专题：计算题；规律型分析：（1）分别设出甲、乙、丙单独做完成工程所需天数，利用工作时间=工作总量工作效率解答即可；（2）利用蕴含的数字规律，设出相对应的分式，用作差来比较大小即可解答：解：（1）设甲、乙、丙单独做完成工程所需天数为x、y、z天，根据题意得，x=a=，由此得出a=，a+1=，=；同理可得=；=；所以=+=1（2）设A=，则B=，（ba）AB=0，即AB点评：解答此类题目抓住字母或数字的变化规律，灵活选用适当的方法解决问题23（11分）已知正整数n大于30，且使得4n1整除2002n，求n的值考点：数的整除性菁优网版权所有专题：探究型分析：先把2002n=2n1001的形式，由于2n是偶数，4n1是奇数，所以2n不可能是（4n1）的倍数，故1001是4n1的倍数，再把1001进行因式分解可知4n1=143，解此方程即可求出n的值解答：解：2002n=2n1001，若4n1整除2002n，2n不可能是（4n1）的倍数，1001是4n1的倍数，1001=7143，4n1=143，n=36故答案为：36点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是根据数的奇偶性判断出4n1的倍数，列出关于n的方程，求出n的值即可24（12分）计算下列各式：（1）；（2）；（3）（4）考点：分式的加减法菁优网版权所有专题：计算题；换元法分析：（1）运用平方差公式分步通分；（2）将各分式拆项，再两两抵消即可得出结果；（3）先将各分式分解因式约分，再通分计算；（4）注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x2y+z=（xy）（yz），采用换元法简化式子解答：解：（1）=+=+=；（2）=+=+=0；（3）=+=+=0；（4）设xy=a，yz=b，zx=c，则=1点评：本题考查了分式的加减运算，难度较大因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧25（12分）解下列分式方程（组）：（1）；（2）考点：解分式方程菁优网版权所有专题：计算题分析：若直接通分去分母，则使问题复杂化，对于（1）