高中数学 3.1不等关系与不等式学案 新人教A版必修5(1).doc

31 不等关系与不等式(一)学习目标1通过具体情境, 感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系，了解不等式(组)的实际背景2经历由实际问题建立数学模型的过程, 体会其基本方法.3总结建立不等式模型的基本思路4体会数学在生活中的重要作用, 提高观察、抽象的能力，培养严谨的思维习惯要点精讲1实数的全序性：如果是实数，那么和三者有且只有一个成立；2实数平方的非负性：如果是实数，那么，等号当且仅当时成立；3两实数大小的定义：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。由这个实数大小比较的几何定义及减法的意义，可以得到实数大小比较的充要条件：;。它可以认为是两实数大小比较的代数定义，通常称为“差式”比较法。范例分析例1(1)限速的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度不超过,可写成不等式 . (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量应不少于2.3%,写成不等式组是 .(3)b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖(m0)，则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式 .变式：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户的面积与地板的面积之比应不小于10，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变_（填“好”或“坏”）例2通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管和截面是方的水管哪个流量大?例3汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车时还要继续向滑行一段距离才能停住，称这段距离为刹车距离，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了.事故后，现场测得甲车的刹车距离是略超过12米，乙车的距离略超过10米，又已知甲、乙两种车型刹车距离s米与车速x千米/小时之间有如下关系：s甲0.1x+0.01x2，s乙0.05x+0.005x2，问超速应负责任的是谁?例4某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按现状生产,每月收入为70万元, 同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后逐月递增2万元.如果从今年一月起投资500万元增加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算投产后的前5个月中的累计净收入是生产时间n(以月为单位)的二次函数,生产前1、前2和前3个月的累计收入分别可达101万元、204万元和309万元,以后稳定在第5个月的水平.同时该厂不但不受处罚,而且还将的到环保部门一次性100万元的奖励.问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.规律总结1不等式(组)是刻画不等关系的数学模型2建立不等式模型的基本思路：(1)找出不等关系；(2)语言化不等关系；(3)设变量后，数量化不等关系(列出不等式(组)。基础训练一、选择题1铁路旅行规定：旅客每人免费携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（ ）a b c d2有一件商品若在月初出售，可获利100元，然后将本利存入银行（已知银行月息为2%）；若在下月初出售，可获利120元，但要付5元保管费，则（ ）a本月初出售获利大 b 下月初出售获利大c本月初出售获利与下月初出售获利相同 d本月初出售获利与下月初出售获利大小不能确定3如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多，那么在8天内它的行程就超过，如果它每天行驶的路程比原来少，那么它行驶同样的路程就得花9天多时间，这辆汽车原来每天行程的千米数满足（ ）a b c d4某地每年消耗木材约20万，每价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样每年的木材消耗量减少万，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，则的范围是a.1，3b.2，4 c.3，5 d.4，65下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 a、b、c的机动车辆数如图所示，图中 分别表示该时段单位时间通过路段 ,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 abc d 二、填空题6某家庭（一家三口）准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供2种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠。如果两家旅行社的原价相同，则选择 旅行社比较合算。7某产品的总成本（万元）与产量（台）之间有函数关系式，其中。若每台产品售价万元，要使生产者不亏本，则产量应满足关系： 。8用一批长为的条形钢材截成长为和的两种规格的零件毛坯，若要使余下的废料最少，则材料的利用率是 。（利用率=）三、解答题9通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验，用f (x)表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下公式：f (x) = （1）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分时间，老师能否及时在学生一直所需接受能力的状态下讲授完这个难题？10行驶中汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，称这段距离为刹车距离。在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（米）与汽车车速v（千米/小时）满足的关系式为（n为常数，nn）现做了两次刹车试验，有关数据如图，其中，s2s14070v求n的值；在使刹车距离不超过12.6米时，则行驶的最大速度为多少？四、能力提高11某供水公司水池有水450吨，每小时注入80吨，又小时向居民输出水吨，现同时输入输出，（1） 小时后水池中水量最少；(2 ) 若水池中低于150吨时会出现供水紧张，则同一天内有 小时供水紧张。12某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.（1）设ak（1kn）为第k位职工所得奖金额，试求、，并用k、n和b表示ak（不必证明）； （2）证明：（k1，2，n1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；31 不等关系与不等式(一)例1解：（1）;(2)； (3) ;变式：好。例2解:当水的流速相同时,水管的流量取决于截面面积的大小,设截面的周长为,则截面圆面积,截面正方形的面积,.例3.解：依题意由解得x甲30，由解得x乙40，乙车超速，应负事故的主要责任.例4解：设不改造设备，按原条件生产，个月累就计收入为,改造设备后，个月累计收入为.由已知条件,且可设, .于是 , ,309= . 得 . 经过简单计算可发现，5个月内不能见效.这是因为 ,令 .即,化简得: . 当时,当时.所以经过个月才能见效.参考答案15 cdacc2提示：设商品本金为元，若月初出售，则到下月初共获利；下月初出售获利元，故不确定。3提示：；4提示：；6甲；提示：设票价为元，则甲方案需元，乙方案需元。7；8；提示：设截成长为和的两种规格的零件毛坯分别为根，则，。当时，余；当时，余；当时，余；当时，余；当时，最大利用率为。9解：（1），；（2）当时，为增函数，；当时，为减函数，；故，即开讲后分钟内，学生的接受能力最强；（3）当时，得，所以；当时，得。当时，学生的接受能力不少于，持续时间。所以老师不能在学生一直所需接受能力的状态下讲授完这个难题。10解：得 解得行驶的最大速度为60千米/小时11解：（1）5；（2） 2.3。12（1）解：a1，a2（1）b，a3（1）2b，ak（1）b.（2）证明:ak（1）b，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则31不等关系与不等式(二)学习目标1掌握不等式的基本性质；2会用不等式的性质证明简单的不等式。要点精讲不等式的性质及其推论：1性质1： ；（对称性） 2性质2：；（传递性）3性质3：；（同加保序性）推论1：；（移项法则）推论2：；（同向相加保序性）4性质4:；（乘正保序性）；（乘负反序性）推论1：；（正值同向相乘保序性）推论2：；（同号取倒数反序性）推论3： ；（非负乘方保序性）推论4：；（非负开方保序性）推论5：当时，。（商式比较法）范例分析例1 判断下列命题的正误：（1）a b ； （2）a b ；（3）a b a b b 2 ； （4）a b c 2 = ab； （6）。 例2（1）设，比较与的大小. （2）已知 比较与的大小例3(1)设，且，试比较与的大小；(2)设试比较与的大小.例4（1）已知求的取值范围（2）设，且，求的取值范围。规律总结比较法：差比、商比。欲证，只需证明就行了，这就是差式比较法；当时，欲证，只需证明即可，这就是商式比较法。其一般步骤是：作差（商）变形判断差（商）的符号结论，其中，“判断差（商）的符号”是目的，“变形”是关键，因式分解、配方、以及有理化是常用的“变形”手段。基础训练一、选择题1若，则下列不等式恒成立的是 ( )a b c d 2设,，则的大小关系是 ( )a b c d与的取值有关3设，则（ ）a、 b、 c、 d、4已知实数满足，则的取值范围是（ ） 5对下列不等式的推论中：； ； 其中正确命题的个数是 ( ) (a)3 (b)4 (c)5 (d)6 二、填空题6已知ab0，cy，且y0，比较与1的大小（2）设，求的取值范围。10(1)，试比较与的大小；(2)设，且，试比较与的大小。四、能力提高11实数满足下列三个条件：；。则将按从小到大的排列起来是 。12设且，比较与的大小31 不等关系与不等式(二)例1（2）（3）（6）错误； （1）（4）（5）正确。例2解：（1），因为，所以，即。（2），因为，当时，此时，所以当时，此时，所以。例3解：（1）因为，且，当时，有，当时，有，当时，有，所以。评注：若考虑因式分解，可避开分类讨论。（2），因为，当时，为增函数，有；当时，为减函数，有；当时，有；所以时，。评注：多项式形式的大小比较，宜用作差比较；指数形式的大小比较，宜用作商比较；变形过程要彻底。例4解：（1）由知，且，相加得，即。（2）由，得