数学建模综合题影院座位设计问题概要.doc

数学模型 张峰华 材料学院 材料成型及控制工程 04 班 20123631 刘泽 材料学院 材料成型及控制工程 04 班 20123627 杨海鹏 材料学院 冶金工程 03 班 20123203 1 一 问题重述 影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角 视角是观众眼睛到屏幕上下边 缘的视线的夹角 越大越好 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角 太 大使人的头部过分上仰 引起不适 一般要求仰角不超过 记影院的屏幕高为 0 30h 上边缘距离地面高为 影院的地板线通常与水平线有一个倾角 第一排和最后一排H 与屏幕水平距离分别为 观众的平均座高为 指眼睛到地面的距离 已知参数 d Dc 1 8 5 1 1 单位 m hH4 5 19dD c 求解以下问题 1 地板线的倾角时 求最佳座位的所在位置 0 10 2 地板线的倾角一般超过 求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线 0 20 倾角 二 问题的分析 电影院座位的设计应满足什么要求 是一个非常现实的问题 根据题意观众对座 位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角 越大越好 而越小越好 最 佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点 使观众对两者的综合满意程度达到最大 本文通过对水平视角和仰角取权重 建立适当的坐标系 从而建立一个线形 型满意度函数 针对问题一 已知地板线倾角 求最佳座位所在 即将问题转化求综合满意度函 数的最大值 建立离散加权的函数模型并利用数学软件运算求解 Matlab 针对问题二 将所有观众视为离散的点 要使所有观众的平均满意程度达到最大 即将问题转化求满意度函数平均值的最大值 对此利用问题一所建立的满意度函数 将自变量转化为地板线倾角 在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计 使观众的平均满意程度可以进一 步提高 本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的 为使模型简化 更好地说明问题 文中将作以下假设 三 模型假设 1 忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度 2 观众对座位的仰角的满意程度呈线性 3 观众对座位的水平视角的满意程度呈线性 4 最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘 5 相邻两排座位间的间距相等 取为 0 8 m 6 对于同一排座位 观众的满意程度相同 7 所有观众的座位等高为平均座高 8 影院的的地板成阶梯状 2 四 符号说明 水平视角 视高差 即从眼睛到头顶的竖直距离 仰角 S 观众对水平视角为的满意程度 地板线与水平线的倾角 S 观众对仰角为的满意程度 d第一排离屏幕水平距离S平均满意程度 D 最后一排离屏幕水平距离 cc 视角 仰角在综合满意度中的权重 i S h屏幕的高度l相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度 五 模型的建立与求解 5 1 问题一问题一 每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置 而对座位的满意程度主要取决于 两个因素 水平视角和仰角 且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角 越大越好 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角 太大使人的头部过分 上仰 引起不适 要求不超过 0 30 5 1 15 1 1 模型模型 的建立 仰角在满足条件的范围内的建立 仰角在满足条件的范围内 观众满意度只取决于视角观众满意度只取决于视角 以第一排观众的眼睛为原点 建立平面直角坐标系 如图 1 所示 其中 为屏幕 为地板线 为所有的观众的眼睛所在的直线 则由图ABMSOE 可设视觉线上任意一点的坐标为 屏幕上下点的坐标分别为OEP tan xx c tanxhcH h hH d dD E S tanx B O M N P 屏 幕 地面 地板 视觉线 x c 图 1 影院座位设计的剖面图 x y 3 的斜率记为 的斜率记为 cHdA chHdB AP AP kBP BP k 由斜率公式得 1 1 tan tan dx cHx kAP tan tan dx chHx kBP 则直线和的斜率与夹角满足如下关系 APBP 1 2 tan tan 1 tan 2 chHxcHxdx dxh kk kk APBP APBP 仰角满足条件 30 0 所以 33 tan 033tan0 dx cHx 1 3 tantan33 33cH x dcH 由公式 1 1 1 2 得到模型为 tan tan arctanmax 2 chHxcHxdx dxh tantan33 33 0 cH x dcH dDx ts 5 1 2 模型模型 的求解的求解 当时 用软件运算求解 程序见附录 1 得最大视角为 10 Matlab 仰角为 米 即点的坐标为为最佳 9522 13 30 7274 1 xP 3046 0 7274 1 位置 离屏幕的水平距离为 米2274 6 7274 1 5 4 5 1 3 模型模型 的建立 离散加权模型的建立 离散加权模型 在地板线上的座位可视为是离散的点 设两排座位在地板线方向上的前后间距为 查阅相关资料间距一般取 0 8 米 则在水平方向的间距为 考虑仰角和视角l cosl 对观众的满意度为主要因素 对模型 进行修正 将座位连续情况进行离散化可以得到 2 1 cos 1 tancos 1 tan tan dlk cHlk dx cHx tancos 1 tancos 1 cos 1 cos 1 tan 2 chHlkcHlkdlk dlkh 2 2 其中 为地板线上的座位的总排数 且 nk 3 2 1 n191 cos 5 14 l n 一般说来 人们的心理变化是一个模糊的概念 本文中观众对某个座位是否满意 4 的看法就是一个典型的模糊概念 由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识 根 据题意 在假设条件下 对于第排座位 建立观众对视角 仰角的满意度函数k 如下 1 2 3 minmax min tantan tantan k k S 2 4 minmax min tantan tantan 1 k k S 式中为第排座位上观众视角和仰角 表示在给定的情况下最 kk k maxmax 优满意度 表示在给定的情况下最差满意度 minmin 视角 仰角在综合满意度中的权重分别为 建立第排座位综合满意 k S cc k 度函数如下 2 5 cc ScSc S kk k 根据地板线倾角 通过计算可以得出 10 8975 154210 5 主观给定权重 根据模型的建立 可以得出 9149 400451 4 4 0 6 0 CC 2 6 1357 0tan5025 0 tan1596 3 4 06 0 4 06 0 kk kkkk k SS cc ScSc S 将式 2 1 和式 2 2 带入公式 2 6 得到优化模型为 1357 0 cos 1 tancos 1 5025 0 tancos 1 tancos 1 cos 1 cos 1 1596 3 max 2 dlk cHlk chHlkcHlkdlk dlkh Sk 19 3 2 1 cos 1 tantan33 33 0 k lkx cH x dcH dDx ts 5 1 4 模型模型 的求解的求解 用软件运算求解 程序见附录 2 可得 米 排 最大满Matlab3635 2 x4 k 意度为 最大视角为 仰角为 最佳位置离屏幕的6176 0 4 S 1282 13 9084 26 水平距离为 米8635 6 3635 2 5 4 5 2 问题二问题二 5 2 1 模型模型 的建立的建立 要使所有观众的平均满意程度达到最大 即需求的最大值 由模型 可知 第S 排观众的满意度为 则观众平均满意程度函数为 平均满意度的kS nSS n k k 1 S 大小由每一排的满意度所决定 而又是由仰角和视角所决定 所以 要使观众的 满意程度达到最大 取决于两个方面 1 仰角不超过条件的座位所占的比例越大 5 观众的平均满意程度就越大 2 所有座位的视角的均值越大 观众的平均满意程度 就越大 由式 1 1 可知 地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生 改变 且在某一座位 即取某一定值 在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小 视角逐x 渐增大 见图 2 所示 仰角不超过条件的区域扩大 即地板线倾角越大 仰角不超过 条件的座位所占的比例越大 02468101214161820 6 8 6 85 6 9 6 95 7 7 05 7 1 7 15 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 02468101214161820 0 2 4 6 8 10 12 14 16 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 图 2 视角和仰角随变化的变化曲线 第一排观众的仰角为 不满足仰角的条件 由模型 可知第排座位 9149 40 k 所对应的仰角的正切值 nk dlk cHlk k 3 2 1 cos 1 tancos 1 tan 其中为地板线上的座位的总排数 随着地板线倾角的变化 n1 cos 5 14 l n 相邻两排座位间的间距 不变 但相邻两排座位间的水平间距会发生改变 由于地板线l 倾角不超过 所以 并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边 202019 n 缘 即 0543 15 由模型 可求出第排座位所对应的水平视角的正切值为 k tancos 1 tancos 1 cos 1 cos 1 tan 2 chHlkcHlkdlk dlkh 5 2 2 模型模型 的求解的求解 让地板线倾角在内逐一取值 步长为 让在内逐一取值 步 20 0 01 0 x 5 14 0 长为 0 01 对一个取定的 判断所在的位置仰角是否超过 若超过 则该座位的综合 x 30 满意度必须同时考虑仰角和视角的取值 否则 只需要考虑视角的取值 把所 有座位的综合满意度相加 并求出观众的平均综合满意度 判断此时的平均满意度是 否最大 最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘 并记下最大值时的取值 当取地板线倾角为变化时 通过计算可以得出 8975 151143 5 6 9149 400 由模型 的 2 5 式得 4 06 0 4 06 0 kkkk k SS cc ScSc S 3 1 所以 将式 2 1 和式 2 2 带入公式 3 1 得到平均满意度的优化模型为 n S S n k k 1 max 取整数其中nnk lkx dDx n ts 2 1 cos 1 0 0543 150 2019 用软件计算 程序见附录 3 可得 最大平均满意度为 对应地Matlab6572 0 S 板线的倾角为 0543 15 5 3 在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计 使观众的平均满意程度可以进一步 提高 5 3 1 模型的建立与求解模型的建立与求解 由上两问可知 观众的满意程度与仰角 视角和地板线倾角都有关 而每一座位到 屏幕的水平距离基本固定不变 考虑观众的满意度 就要考虑仰角 视角随着的变 化情况 引理引理 地板线不管设计成什么形状 各排的间距不变 区别在于各排的高度差如何变化 若竖直方向上的两定点 在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点 当该动 点位于两定点的垂直平分线上时 动点与两定点形成的视角最大 动点距两定点的垂 直平分线越近 动点与两定点形成的视角越大 要使每一个座位所对应的视角取最大值 对应的 y 值应在直线上 设计地板线应考 虑以下几个方面 1 第排座位所在的位置应高于第排座位所在的高度 2 前k1 k 一排的观众不会挡住后一排观众的视线 3 视角尽可能大 即眼睛的位置应尽可能分 布在垂直平分线的附近 4 仰角的座位所占的比例尽可能大 假设每排座位所在的点构成一条折线 任意相邻两排座位水平间距为 第排座lk 位地板线倾角为 第排座位与第排座位地板线倾角变化为 从而可得 k k1 k 故 1 0k k 1 1tan 1 tan 1 tan 11 dlk cHkl dlk cHlk n k n k k k 同理可得 7 1tan cos 1tan cos cos 1 cos 1 tancos 1 tancos 1 cos 1 cos 1 tan 11 2 2 chHkllcHklldlk dlkh chHlkcHlkdlk dlkh n k n k 观众平均满意程度函数为 nSS n k k 1 可算出地板线上的座位的总排数为 则可计算得当时 1 cos 5 14 l n 5 2 6692 0 max S 但此时 根据一般习惯 要求地板线倾角 但此时 455 2 119 20 求得最后一排座位的地板线倾角为 这大大超过观众的心理范围 因此文中将 45 对此进一步的修改 当时 令 当时 即将问题转 20 1 i 20 1 i 20 化为问题二中所建立的模型 由于 则地板线倾角增加到第 8 排到达 然 5 2 20 后保持不变 对于这两种情况 分别代入不同的函数 利用数学软件求得 满意度函数matlab 的最大值 6572 0 6643 0 max S 可以通过利用软件来描点 如图 3 所示 Matlab 024681012141618 0 0 5 1 1 5 2 2 5 图 3 从上图可以看出 报告厅座位的前 排呈折线状 以递增 当倾角增加到8 5 2 时保持不变 且第一排应抬高米 20 2 1 六 模型的评价与推广 6 16 1 模型的评价模型的评价 6 1 16 1 1 模型的优点模型的优点 模型抓住影响观众满意程度的主要因素 仰角和视角 合理构造满意度函数 过程 清晰明了 结果科学合理 模型具有较好的通用性 实用性强 对现实有很强的指导意义 6 1 26 1 2 模型的不足以及需要改进的地方模型的不足以及需要改进的地方 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同 实际情况并非如此 这就使得我们 的模型对解决实际问题时有一定的局限性 模型建立的过程中 以观众眼睛所在的点为坐高点 没有考虑前排观众额部对后排 8 观众的遮挡 需要进一步的考虑在内 6 26 2 模型的推广模型的推广 本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用 所建立的模型可用于 大型场所的座位的设计与安排 以及彩民对中奖率的满意程度等问题上 同时对于已 知剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值 例如 运用该模型去 解决会议厅 报告厅的布局 灯塔高度的设计等相关的问题 因此具有很强的实用性和 推广性 八 附 录 附录一 clear clc H 5 h 1 8 D 19 d 4 5 c 1 1 l 0 8 pi 3 1415926 f 10 for Q 0 0 1 20 for l 1 floor 14 5 cos Q 180 pi 1 x l 1 cos Q 180 pi T tan Q 180 pi A d x h d x 2 H c T x H h c T x if f A f A end end end for Q 0 0 1 20 for l 1 floor 14 5 cos Q 180 pi 1 x l 1 cos Q 180 pi T tan Q 180 pi A d x h d x 2 H c T x H h c T x if f A fprintf Q is d n Q fprintf k is d n l end end end f 附录二 clear 9 clc H 5 h 1 8 D 19 d 4 5 c 1 1 l 0 8 pi 3 1415926 t 10 for Q 0 0 1 20 for l 1 floor 14 5 cos Q 180 pi 1 x l 1 cos Q 180 pi T tan Q 180 pi B H c T x d x if t B t B end end end for Q 0 0 1 20 for l 1 floor 14 5 cos Q 180 pi 1 x l 1 cos Q 180 pi T tan Q 180 pi B H c T x d x if t B fprintf Q is d n Q fprintf k is d n l end end end t 附录三 clear clc H 5 h 1 8 D 19 d 4 5 c 1 1 Q 0 1763 tan 10 180 pi s 0 for x 2 3635 3 1514 3 9392 4 7271 5 5149 6 3028 7 0906 7 8785 8 6663 9 4542 10 2420 11 0298 11 8177 12 6055 13 3934 14 1812 10 t 3 1596 h x d x d 2 x Q H c x Q H h c 0 5025 x Q H c x d 0 1357 if s t s t end end for x 2 3635 3 1514 3 9392 4 7271 5 5149 6 3028 7 0906 7 8785 8 6663 9 4542 10 2420 11 0298 11 8177 12 6055 13 3934 14 1812 t 3 1596 h x d x d 2 x Q H c x Q H h c 0 5025 x Q H c x d 0 1357 if s t fprintf nX is d x fprintf nk is d x 0 8 cos 10 180 pi 1 fprintf na is d atan h x d x d 2 x Q H c x Q H h c pi 180 fprintf nb is d n atan x Q H c x d pi 180 end end s 附录四 clear clc H 5 h 1 8 D 19 d 4 5 c 1