（江苏专用）高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.dr相离.(2)代数法：2.圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解【知识拓展】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点m(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(5)过圆o：x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(6)过圆o：x2y2r2外一点p(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为a，b，则o，p，a，b四点共圆且直线ab的方程是x0xy0yr2.()1.(教材改编)圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是_.相切； 相交但直线不过圆心；相交过圆心； 相离.答案解析由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d1，而圆心o到直线axby1的距离d0，解得k0，即(k2)(k3)0，解得k2或k0，所以不论k为何实数，直线l和圆c总有两个交点.(2)解设直线与圆交于a(x1，y1)、b(x2，y2)两点，则直线l被圆c截得的弦长ab|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kr，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时ab最小为2.题型二圆与圆的位置关系例2(1)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为_.(2)过两圆x2y24xy1，x2y22x2y10的交点的圆中面积最小的圆的方程为_.(3)如果圆c：x2y22ax2ay2a240与圆o：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_.答案(1)相交(2)22(3)(2，0)(0,2)解析(1)两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交.(2)由得2xy0，代入得x或1，两圆两个交点为，(1，2).过两交点的圆中，以，(1，2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小.该圆圆心为，半径为，圆的方程为22.(3)c的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得：022，0|a|0，n(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，且mn，求a的最大值和最小值.解m(x，y)|y，a0，即(x，y)|x2y22a2，y0，表示以原点o为圆心，半径等于a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分).n(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，表示以o(1，)为圆心，半径等于a的一个圆.再由mn，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切.当半圆和圆相外切时，由oo2aa，求得a22；当半圆和圆相内切时，由oo2aa，求得a22，故a的取值范围是22,22，a的最大值为22，最小值为22.题型三直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题例3(2015课标全国)过三点a(1,3)，b(4,2)，c(1，7)的圆交y轴于m、n两点，则mn_.答案4解析由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即abbc，故过三点a、b、c的圆以ac为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以mn|y1y2|4.命题点2由直线与圆相交求参数问题例4(2015课标全国)已知过点a(0,1)且斜率为k的直线l与圆c：(x2)2(y3)21交于m，n两点.(1)求k的取值范围；(2)若12，其中o为坐标原点，求mn.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为直线l与圆c交于两点，所以1.解得kr，即 ，即a2a90，解得ar.又43a20时x2y2ax2ya20才表示圆，故可得a的取值范围是.7.高考中与圆交汇问题的求解一、与圆有关的最值问题典例(1)(2015湖南)已知点a，b，c在圆x2y21上运动，且abbc.若点p的坐标为(2,0)，则|的最大值为_.(2)(2014北京)已知圆c：(x3)2(y4)21和两点a(m,0)，b(m,0)(m0)，若圆c上存在点p，使得apb90，则m的最大值为_.解析(1)由a，b，c在圆x2y21上，且abbc，ac为圆直径，故2(4,0)，设b(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，所以(x6，y).故|，x1时有最大值7.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心c的坐标为(3,4)，半径r1，且ab2m.因为apb90，连结op，易知opabm.要求m的最大值，即求圆c上的点p到原点o的最大距离.因为oc5，所以opmaxocr6，即m的最大值为6.答案(1)7(2)6二、直线与圆的综合问题典例(1)(2015重庆)已知直线l：xay10(ar)是圆c：x2y24x2y10的对称轴，过点a(4，a)作圆c的一条切线，切点为b，则ab_.(2)(2014江西改编)在平面直角坐标系中，a，b分别是x轴和y轴上的动点，若以ab为直径的圆c与直线2xy40相切，则圆c面积的最小值为_.解析(1)由于直线xay10是圆c：x2y24x2y10的对称轴，圆心c(2,1)在直线xay10上，2a10，a1，a(4，1).ac236440.又r2，ab240436.ab6.(2)aob90，点o在圆c上.设直线2xy40与圆c相切于点d，则点c与点o间的距离等于它到直线2xy40的距离，点c在以o为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当o，c，d共线时，圆的直径最小为od.又od，圆c的最小半径为，圆c面积的最小值为()2.答案(1)6(2)温馨提醒(1)与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.(2)直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质. 方法与技巧1.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的.2.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程.注意：斜率不存在的情形.3.圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：ab|x1x2|.失误与防范1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.a组专项基础训练(时间：40分钟)1.(2015广东)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是_.答案2xy50或2xy50解析设所求直线方程为2xyc0，依题有，解得c5，所以所求直线方程为2xy50或2xy50.2.已知直线axy20与圆心为c的圆(x1)2(ya)24相交于a、b两点，且abc为等边三角形，则实数a的值为_.答案4解析易知abc是边长为2的等边三角形.故圆心c(1，a)到直线ab的距离为.即，解得a4.3.若圆c1：x2y22axa290(ar)与圆c2：x2y22byb210 (br)内切，则ab的最大值为_.答案2解析圆c1：x2y22axa290 (ar).化为：(xa)2y29，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆c2：x2y22byb210 (br)，化为x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为1，圆c1：x2y22axa290 (ar)与圆c2：x2y22byb210 (br)内切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值为2.4.过点p(3,1)作圆c：(x1)2y21的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为_.答案2xy30解析如图所示：由题意知：abpc，kpc，kab2，直线ab的方程为y12(x1)，即2xy30.5.若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为_.答案，4解析因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则ykx与直线2xyb0垂直，且2xyb0过圆心，所以解得k，b4.6.(2015山东)过点p(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为a，b，则_.答案解析由题意，圆心为o(0,0)，半径为1.如图所示，p(1，)，pax轴，papb.poa为直角三角形，其中oa1，ap，则op2，opa30，apb60.|cosapbcos 60.7.已知曲线c：x，直线l：x6，若对于点a(m,0)，存在c上的点p和l上的点q使得0，则m的取值范围为_.答案2,3解析曲线c：x，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xp2,0，对于点a(m,0)，存在c上的点p和l上的点q使得0，说明a是pq的中点，q的横坐标x6，m2,3.8.在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是_.答案解析圆c的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.9.已知以点c(t，)(tr，t0)为圆心的圆与x轴交于点o，a，与y轴交于点o，b，其中o为原点.(1)求证：oab的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆c交于点m，n，若omon，求圆c的方程.(1)证明圆c过原点o，且oc2t2.圆c的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，soaboaob|2t|4，即oab的面积为定值.(2)解omon，cmcn，oc垂直平分线段mn.kmn2，koc.t，解得t2或t2.当t2时，圆心c的坐标为(2,1)，oc，此时c到直线y2x4的距离d.圆c与直线y2x4不相交，t2不符合题意，舍去.圆c的方程为(x2)2(y1)25.10.(2014课标全国)已知点p(2,2)，圆c：x2y28y0，过点p的动直线l与圆c交于a，b两点，线段ab的中点为m，o为坐标原点.(1)求m的轨迹方程；(2)当opom时，求l的方程及pom的面积.解(1)圆c的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为c(0,4)，半径为4.设m(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y).由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点p在圆c的内部，所以m的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知m的轨迹是以点n(1,3)为圆心，为半径的圆.由于opom，故o在线段pm的垂直平分线上，又p在圆n上，从而onpm.因为on的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又omop2，o到l的距离为，所以pm，spom，故pom的面积为.b组专项能力提升(时间：30分钟)11.已知圆c：(xa)2(ya)21 (a0)与直线y3x相交于p，q两点，则当cpq的面积最大时，实数a的值为_.答案解析因为cpq的面积等于sinpcq，所以当pcq90时，cpq的面积最大，此时圆心到直线y3x的距离为，因此，解得a.12.过点(，0)引直线l与曲线y相交于a、b两点，o为坐标原点，当aob的面积取最大值时，直线l的斜率等于_.答案解析saoboaobsinaobsinaob.当aob时，aob面积最大.此时o到ab的距离d.设ab方程为yk(x)(k0)，即kxyk0.由d得k.(也可ktanoph).13.在平面直角坐标系xoy中，圆c1：(x1)2(y6)225，圆c2：(x17)2(y30)2r2.若圆c2上存在一点p，使得过点p可作一条射线与圆c1依次交于点a，b，满足pa2ab，则半径r的取值范围是_.答案5,55解析由题意可知满足pa2ab的点p应在以c1为圆心，半径为25的圆上及其内部(且在圆c1的外部)，记该圆为c3，若圆c2上存在满足条件的点p，则圆c2与圆c3有公共点，所以|r25|r25，即|r25|30r25，解得5r55.14.已知圆c：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对mr，直线l与圆c总有两个交点；(2)设直线l与圆c交于点a，b，若ab，求直线l的倾斜角；(3)设直线l与圆c交于a，b，若定点p(1,1)满足2，求此时直线l的方程.(1)证明直线l恒过定点p(1,1).由12(11)25知点p在圆c内，所以直线l与圆c总有两个交点.(2)解圆心到直线的距离d ，又d，所以，解得m，所以，l的倾斜角为或.(3)解方法一设a(x1，y1)，b(x2，y2).由2得：2(1x1,1y1)(x21，y21)，所以x22x13，直线l的斜率存在，设其方程为y1k(x1)，(k21)x22k2xk250，所以由消去x1，x2解得k1，故所求直线l的方程为xy0或xy20.方法二如图，过点c作cdab于d，设apt，则pb2t，ad1.5t，pd0.5t.在rt