高三新人教版文科数学总复习精品课件：平面向量的概念及其线性运算.ppt

第八节平面向量的概念及其线性运算 1 向量的有关概念及表示方法 1 向量的有关概念 大小 方向 长度 1个单位 相同 相反 平行 平行 相等 相同 相等 相反 2 向量的表示方法 字母表示法 如 a 等 几何表示法 用一条表示向量 2 向量的线性运算 有向线段 三角形 平行四边形法则 相同 相反 三角形 3 向量a a 0 与向量b共线向量a a 0 与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数 使b a 1 如图所示 在平行四边形ABCD中 下列结论错误的是 解析 故C错误 答案 C2 给出下列命题 向量的长度与向量的长度相等 向量a与b平行 则a与b的方向相同或相反 两个有共同起点而且相等的向量 其终点必相同 两个有公共终点的向量 一定是共线向量 向量与向量是共线向量 则点A B C D必在同一条直线上 其中不正确的个数为 A 2B 3C 4D 5 解析 中 向量与为相反向量 它们的长度相等 此命题正确 中若a或b为零向量 则满足a与b平行 但a与b的方向不一定相同或相反 此命题错误 由相等向量的定义知 若两向量为相等向量 且起点相同 则其终点也必定相同 该命题正确 由共线向量知 若两个向量仅有相同的终点 则不一定共线 该命题错误 共线向量是方向相同或相反的向量 若A与C是共线向量 则A B C D四点不一定在一条直线上 该命题错误 答案 B 3 答案 A 答案 A B D 给出下列命题 有向线段就是向量 向量就是有向线段 若A D 则ABCD为平行四边形 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 思路点拨 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键 注意到特殊情况 否定某个命题只要举出一个反例即可 自主探究 选B 错 向量可用有向线段表示 但并不是有向线段 错 因为A D 则可能A B D C四点在一条直线上 正确 错 若b 0 则对不共线的向量a与c 也有a 0 0 c 但a与c不平行 答案 B 方法点评 1 着重理解向量以下几个方面 1 向量的模 2 向量的方向 3 向量的几何表示 4 向量的起点和终点 2 判定两个向量的关系时 特别注意以下两种特殊情况 1 零向量的方向及与其他向量的关系 2 单位向量的长度及方向 1 判断下列命题是否正确 不正确的说明理由 1 若向量a与b同向 且 a b 则a b 2 若向量 a b 则a与b的长度相等且方向相同或相反 3 对于任意向量 a b 且a与b的方向相同 则a b 4 由于零向量0方向不确定 故0不能与任意向量平行 5 向量a与向量b平行 则向量a与b方向相同或相反 6 向量A与向量C是共线向量 则A B C D四点在一条直线上 7 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 解析 1 不正确 因为向量是不同于数量的一种量 它由两个因素来确定 即大小与方向 所以两个向量不能比较大小 2 不正确 由 a b 只能判断两向量长度相等 不能判断方向 3 正确 a b 且a与b同向 由两向量相等的条件可得a b 4 不正确 由零向量性质可知0与任一向量平行 5 不正确 因为向量a与向量b若有一个是零向量 则其方向不确定 6 不正确 若向量A与向量C是共线向量 则向量A与C所在的直线平行或重合 因此 A B C D不一定共线 7 正确 对于一个向量只要不改变其大小与方向 是可以任意移动的 思路点拨 解本题除要进行向量的加 减法外 还有数乘向量运算 在进行计算时要充分利用DE BC ADE ABC ADN ABM等条件 自主探究 又AM是 ABC的中线 DE BC 且AM与DE交于点N 方法点评 1 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功 除利用向量的加 减法 数乘向量外 还应充分利用平面几何的一些定理 2 在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中 运用平行四边形法则 三角形法则 利用三角形中位线 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质 把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 特别提醒 若A为BC的中点 则 2 在 OAB中 延长BA到C 使AC BA 在OB上取点D 使DC与OA交于E 设 用a b表示向量O及向量D 解析 A是BC的中点 设两个非零向量a与b不共线 求证 A B D三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 又它们有公共点B A B D三点共线 2 ka b与a kb共线 存在实数 使ka b a kb 即ka b a kb k a k 1 b a b是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 方法点评 1 向量共线是指存在实数 使两向量互相表示 2 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 3 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 3 设a b是不共线的两个非零向量 求证 A B C三点共线 2 若8a kb与ka 2b共线 求实数k的值 3 设 a b 其中m n 均为实数 m 0 n 0 若M P N三点共线 解析 1 证明 A 3a b 2a b a 2b 而B a 3b 3a b 2a 4b 2A A与B共线 且有公共点B A B C三点共线 2 8a kb与ka 2b共线 存在实数 使得 8a kb ka 2b 8 k a k 2 b 0 a与b不共线 1 2009年北京高考 已知向量a b不共线 c ka b k R d a b 如果c d 那么 A k 1且c与d同向B k 1且c与d反向C k 1且c与d同向D k 1且c与d反向 解析 c d c d 即ka b a b 故选D 答案 D 解析 如图 根据向量加法的几何意义 是AC的中点 答案 B 3 2009年湖南高考 如图 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 则 答案 A 4 2009年安徽高考 在平行四边形ABCD中 E和F分别是边CD和BC的中点 若 其中 R 则 解析 如图 答案 1 向量是自由向量 大小和方向是向量的两个要素 在用有向线段表示向量时 要认识到有向线段的起点的选取是任意的 不要误以为向量也是由起点 大小和方向三个要素决定的 一句话 研究向量问题应具有 平移 意识 长度相等 方向相同的向量都是相等向量 2 共线向量的几种情况共线向量有以下四种情况 方向相同且模相等 方向相同且模不等 方向相反且模相等 方向相反且模不等 这样 也就找到了共线向量与相等向量的关系 即共线向量不一定是相等向量 而相等向量一定是共线向量 3 两个向量的和仍是向量 特别注意的是 在向量加法的表达式中零向量一定要写成0 而不应写成0 在 ABC中 A B C 0 4 两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得 用平行四边形法则时 两个向量共起点 和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线 而差向量是另一条对角线 方向是从减向量指向被减向量 用三角形法则时 把减向量与被减向量的