高中数学 3．2 立体几何中的向量方法（第二课时）课件 新人教版第五册.ppt

3 2立体几何中的向量方法 一 a l a 给定一个点a和一个向量a 过点a 以向量a为法向量的平面是完全确定的 方法指导 怎样求平面法向量 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量 进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题 推导平面法向量的方法如下 设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 则 例1 在棱长为1的正方体中 求平面的法向量 二 讲授新课 1 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 例1 如图1 一个结晶体的形状为四棱柱 其中 以顶点a为端点的三条棱长都相等 且它们彼此的夹角都是60 那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系 解 如图1 设 化为向量问题 依据向量的加法法则 进行向量运算 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线的长是棱长的倍 思考 1 本题中四棱柱的对角线bd1的长与棱长有什么关系 分析 思考 2 如果一个四棱柱的各条棱长都相等 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗 分析 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长 3 本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少 提示 求两个平行平面的距离 通常归结为求两点间的距离 h 分析 面面距离 回归图形 点面距离 向量的模 解 所求的距离是 h 练习 如图2 空间四边形oabc各边以及ac bo的长都是1 点d e分别是边oa bc的中点 连结de 计算de的长 例2 如图3 甲站在水库底面上的点a处 乙站在水坝斜面上的点b处 从a b到直线 库底与水坝的交线 的距离ac和bd分别为和 cd的长为 ab的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 解 如图 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 于是 得 因此 设向量与的夹角为 就是库底与水坝所成的二面角 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 例2 如图3 甲站在水库底面上的点a处 乙站在水坝斜面上的点b处 从a b到直线 库底与水坝的交线 的距离ac和bd分别为和 cd的长为 ab的长为 求库底与水坝所成二面角的余弦值 思考 1 本题中如果夹角可以测出 而ab未知 其他条件不变 可以计算出ab的长吗 分析 可算出ab的长 2 如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长 并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等 那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗 分析 如图 设以顶点为端点的对角线长为 三条棱长分别为各棱间夹角为 3 如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗 a1 b1 c1 d1 a b c d 分析 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解 如图 在平面ab1内过a1作a1e ab于点e e f 在平面ac内作cf ab于f 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值 练习 1 如图4 60 的二面角的棱上有a b两点 直线ac bd分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直ab 已知ab 4 ac 6 bd 8 求cd的长 2 三棱柱abc a1b1c1中 底面是边长为2的正三角形 a1ab 45 a1ac 60 求二面角b aa1 c的平面角的余弦值 如图6 在棱长为的正方体中 分别是棱上的动点 且 1 求证 2 当三棱锥的体积取最大值时 求二面角的正切