《2.6 正态分布》 导学案.doc

2.6 正态分布 导学案学习目标1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用.2.结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解.3.通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.重点正态分布曲线的特点和性质.难点应用正态分布曲线的特点和性质解决实际问题.教学过程某乒乓球生产厂家生产一批直径为4.8 cm的乒乓球，如果通过抽样估计得到这批乒乓球的直径的标准差为0.1，则应该怎样来判断这批乒乓球的质量？如果产品中发现一个乒乓球的直径为5.2 cm，则说明了什么情况？问题1:正态曲线的定义函数，(x)=，x(-，+)(其中实数和(0)为参数)的图像为正态分布密度曲线.问题2:正态分布密度曲线的特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x=对称；曲线在x=处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.问题3:随机变量X落在区间(a，b的概率怎么计算？随机变量X落在区间(a，b的概率为P(aXb)，(x)dx.即由正态曲线，x=a，x=b，及x轴所围成的平面图形的面积就是X落在区间(a，b的概率的近似值.问题4:正态分布的定义及表示(1)如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足P(aXb)=，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2).(2)正态分布的三个常用数据P(-X+)=0.683；P(-2X+2)=0.954；P(-3X+3)=0.997 .正态分布是自然界最常见的一种分布，例如:测量的误差；人的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的直径、长度、宽度、高度都近似服从正态分布.一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服从正态分布.学习交流1.下列说法不正确的是().A.若XN(0，9)，则其正态曲线的对称轴为y轴B.正态分布N(，2)的图像位于x轴上方C.所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D.函数(x)= (xR)的图像是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线【答案】C2.已知随机变量X服从正态分布N(3，2)，则P(X3)等于().A.B.C.D.【解析】由正态分布图像知=3为该图像的对称轴，P(X3)=，故选D.【答案】D3.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，+)上是减函数，且f(80)=.则该正态分布密度函数的解析式是.【解析】由于正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，+)上是减函数，所以正态曲线关于直线x=80对称，且在x=80处取得最大值.因此得=80，=，所以=8.故正态分布密度函数的解析式是f(x)=.【答案】f(x)=4.在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布，即XN(100，100)，已知满分为150分.(1)试求考试成绩X位于区间(80，120内的概率；(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数.【解析】(1)由XN(100，100)知=100，=10.P(80X120)=P(100-20X100+20)=0.954，即考试成绩位于区间(80，120内的概率为0.954.(2)P(90X110)=P(100-10110)=(1-0.683)=0.1585，P(X90)=0.683+0.185=0.8415.及格人数为20000.8415=1683(人).5. 正态曲线的性质如图所示，是一个正态曲线，试根据图像写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差.【方法指导】掌握一个正态分布的正态分布密度函数的解析式和曲线的特点，并应用其解题.【解析】从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x=20对称，最大值为，所以=20.由=，解得=.于是正态分布密度曲线的解析式是，(x)=，x(-，+)，所以均值和方差分别是20和2.【小结】要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数，的值，其中决定曲线的对称轴的位置，则与曲线的形状和最大值有关.6. 服从正态分布的随机变量的概率计算设XN(5，1)，求P(6X7).【方法指导】掌握正态分布的定义、表示和三个常用数据，借助正态曲线的性质进行计算.【解析】由已知=5，=1.P(4X6)=0.683，P(3X7)=0.954，P(3X7)-P(4X6)=0.954-0.683=0.271.如图，由正态曲线的对称性可得P(3X4)=P(6X7).P(6X7)=0.1355.【小结】求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上.7.正态分布的应用在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即XN(90，100).(1)试求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？【方法指导】正态分布已经确定，则总体的期望和标准差就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.【解析】XN(90，100)，=90，=10.(1)由于变量X在区间(-2，+2)内取值的概率是0.954，而该正态分布中-2=90-210=70，+2=90+210=110，于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率就是0.954.(2)由=90，=10，得-=80，+=100.由于正态变量在区间(-，+)内取值的概率是0.683，所以考试成绩X位于区间(80，100)内的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有20000.683=1366(人).【小结】正态分布已经确定，则总体的期望和标准差就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.例题应用例一 若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求服从这个正态分布的随机变量X在(-4，4的概率.【解析】(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即=0.由=，得=4，故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是，(x)=，x(-，+).(2)P(-4X4)=P(0-4X0+4)=P(-X+)=0.683.例二 设XN(1，22)，试求:(1)P(-1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5).【解析】XN(1，22)，=1，=2.(1)P(-1X3)=P(1-2X1+2)=P(-X+)=0.683.(2)P(3X5)=P(-3X-1)，P(3X5)=P(-3X5)-P(-1X3)=P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2)=P(-2X+2)-P(-X+)=(0.954-0.683)=0.1355.(3)P(X5)=P(X-3)，P(X5)=1-P(-3X5)=1-P(1-4X1+4)=1-P(-2c+1)=P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(X110)=P(X+3)，P(X50)= P(X110)=P(X50)，知C正确，故选B.【答案】B3.已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，P(X4)=0.84，则P(X0)=.【解析】=2，P(X0)=P(X4)=1-P(X4)=1-0.84=0.16.【答案】0.164.设XN(10，1).(1)证明:P(1X2)=P(18X19)；(2)设P(X2)=a，求P(10X18).【解析】(1)因为XN(10，1)，所以正态曲线，(x)关于直线x=10对称，而区间1，2和18，19关于直线x=10对称，所以，(x)dx，即P(1X2)=P(18X19).(2)P(10X18)=P(2X10)=P(X10)-P(X2)=-a.5. (2014年新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.附:12.2.若ZN(，2)，则P(-Z+) =0.683，P(-2Z+2)=0.954.【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200，s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)(i)由(1)知，ZN(200，150)，从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z1230C.12130 B.01213D.012=13【解析】=0，且2=1，11，故选D.【答案】D2.已知连续型随机变量X的概率密度函数是f(x)=其中常数A0，则A的值为().A.1 B.b C. D.b-a【解析】(b-a)A=1，则A=.【答案】C3.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，2)(0).若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为.【解析】X服从正态分布(1，2)，X在(0，1)与(1，2)内取值的概率相同均为0.4.X在(0，2)内取值概率为0.4+0.4=0.8.【答案】0.84.某人从某城市的南郊乘车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位:分)服从正态分布N(50，102)，求他在时间段(30，70内赶到火车站的概率.【解析】因为XN(50，102)，所以=50，=10，所以P(30X70)=P(50-2102)=0.023，则P(-2X2)=().A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977【解析】由题意可知随机变量X服从正态分布N(0，2)，所以图像关于y轴对称，又知P(X2)=0.023，所以P(-2X2)=1-P(X2)-P(X2)=0.954，故选C.【答案】C6.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩XN(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？().A.(90，110B.(95，125C.(100，120D.(105，115【解析】由于XN(110，52)，=110，=5.因此考试成绩在区间(105，115，(100，120，(95，125上的概率分别应是0.683，0.954，0.997.由于一共有60人参加考试，成绩位于上述三个区间的人数分别是:600.68341(人)，600.95457(人)，600.99760(人)，故大约应有57人的分数在(100，120区间内，故选C.【答案】C7.若随机变量XN(5，4)，且P(Xa)=0.1585，则a=.【解析】XN(5，4)，P(X-)=P(X3)=0.5-0.6832=0.1585，a=3.【答案】38.设在一次数学考试中，某班学生的分数XN(110，400)，且已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.【解析】由题意得=110，=20，P(X90)=P(X-)，P(X-)=2P(X-)+0.683=1，P(X-)=0.1585，P(X90)=1-P(X-)=1-0.1585=0.8415.540.841545(人)，即及格人数约为45人.P(X130)=P(X+)=P(X-)=0.1585，540.15859(人)，即130分以上的人数约为9人.9.某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30，100)，则此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率=.【解析】由=30，=10，P(-X+)=0.683知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.683，又由于P(-2X+2)=0.954，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954-0.683=0.271，由正态曲线关于直线x=30对称得