《3.2对数函数》教学案.doc

对数的概念教学案教学目标1知识技能(1)理解对数的概念，了解对数与指数的关系；(2)理解和掌握对数的性质；(3)掌握对数式与指数式的关系；2过程与方法通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；3情感、态度与价值观(1)学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力(2)通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质(3)在学习过程中培养学生探究的意识(4)培养分析、解决问题的能力教学重点、难点1重点：对数式与指数式的互化及对数的性质2难点：利用对数式的有关性质求值教学过程1对数概念的引入建议教师先让学生阅读教材中的实例，体会数学概念源于生活，再复习指数式，引入对数概念，便于学生接受2关于指数式与对数式互化的教学建议教师利用axNxlogaN(a0，且a1)这个关系式和已学习的指数幂的相关知识，讲清以下两点让学生明确：(1)为何在对数logaN中规定a0且a1.(2)认清对数式logaNb的含义；明确a，N，b相对于指数式abN是什么数，并找出它们的关系课标解读1.理解对数的概念(重点)2.能熟练地进行指数式与对数式的互化(重点)3.掌握常用对数与自然对数的定义.【问题导思】1若2x16，()x9，x的值分别为多少？【提示】4，22若2x3，()x2，你现在还能求得x吗？【提示】不能1对数一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2常用对数通常以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log10N，简记为lg_N.3自然对数以e为底的对数称为自然对数其中e2.718 28是一个无理数，正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N. 例1(1)将下列指数式化为对数式：33；816；5a15.(2)将下列对数式化为指数式：log32435；log3；lg 0.11.【思路探究】根据对数的定义abN(a0，且a1)logaNb(a0且a1)进行互化，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置【自主解答】(1)由33，得log33.由816，得log816.由5a15得，log515a.(2)由log32435得35243.由log3得()3.由lg 0.11得1010.1.方法规律1并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(3)29就不能直接写成log(3)92，只有a0，a1，N0时，才有axNxlogaN.2对数式logaNb是由指数式abN变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：例2计算下列各式的值：(1)lg 0.001；(2)log48；(3)ln.【思路探究】【自主解答】(1)设lg 0.001x，则10x0.001，即10x103 解得x3，所以lg 0.0013.(2)设log48x则4x8，即22x23，解得x，所以log48.(3)设lnx，则ex，即exe，解得x，所以ln.方法规律1对数式的求值问题，一般是转化成指数式，解指数方程2在blogaN中有三个量a，b，N，知二求一的关键是实现对数式与指数式的互化变式训练求下列各式的值(1)log93；(2)log20.25；(3)log9；(4)log0.5.【解】(1)令log93x，则9x3，即32x3.2x1，xlog93.(2)令log20.25x，则2x0.25，即2x22.xlog20.252.(3)令log9x，则9x3，即32x3，x，即xlog9.(4)令log0.5x，则()x2，即2x2.xlog0.5.例3计算：(1)log2(log55)；(2)log(1)；(3)71log75；(4)alogablogbc(a，b为不等于1的正数，c0)【思路探究】解答本题可用对数的基本性质及对数恒等式来化简求值【自主解答】(1)原式log210.(2)原式log(1)log(1)log(1)(1)1.(3)原式77log7575.(4)原式(alogab)logbcblogbcc.方法规律1对数的基本性质：(1)loga10；(2)logaa1.2对数恒等式：alogaNN(a0，a1)3解答此类问题要注意观察，能用对数的基本性质的先用基本性质将其转化为0或1，再根据指数幂的运算性质及对数恒等式求值1求未知数x时可以先将对数式转化为指数式，然后再求值2logaa1及loga10是对数计算的两个常用结论，可实现数“1和0”与对数logaa和loga1的互化1准确理解对数的定义：(1)由对数的定义知axNxlogaN，这个转化是有条件的，即a0且a1，N0，否则不能转化如(2)24就不能直接写成log(2)42.(2)对数符号logaN只有在a0，a1且N0时才有意义2对数运算是指数运算的逆运算，利用对数式与指数式的互化， 可解决简单对数式的计算问题3要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaNN要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为对数的真数且大于零其次合理利用对数、指数运算法则，化为相同底数对数的运算性质教学案教学目标1知识与技能(1)理解对数的运算性质(2)掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明(3)能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答2过程与方法(1)通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识(2)结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想(3)通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力(4)通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用3情感、态度与价值观(1)通过 “合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神(2)通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神(3)在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质教学重点、难点重点：对数运算性质及换底公式难点：换底公式的应用 教学过程1关于对数运算性质引入的教学建议教师让学生动手实践，对教材中两个表格的数据进行运算，分析等量关系，归纳、猜想出一般情况下对数的运算性质2关于对数运算性质应用的教学建议教师引导学生结合指数运算法则对照记忆，再利用多种方式，如文字语言、符号语言之间的转化，特别提醒学生注意公式成立的条件、形式及公式的逆用，同时结合题目，让学生体会到公式在对数计算中的优越性3关于换底公式及其推导过程的教学(1)换底公式推导过程中应用了两边取对数的方法，教师要通过题目对学生加强训练(2)换底公式形式较为复杂，建议教师分析公式的前后及其变换有什么作用，通过题目加以强化课标解读1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算(重点)2.了解换底公式3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题(难点).【问题导思】1我们知道amnaman，那么logaMNlogaMlogaN正确吗？举例说明【提示】不正确，例如log24log222log22log22111，而log242.2你能证明logaMNlogaMlogaN(M0，N0)吗？【提示】能令amM，anN，MNamn.由对数的定义知logaMm，logaNn，logaMNmn，logaMNlogaMlogaN.如果a0，a1，M0，N0，则(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaMnnlogaM(nR)；(3)logalogaMlogaN.【问题导思】logaN(a0，a1，N0，c0，c1)成立吗？试证明之【提示】成立设logaNt，则atN，两边取以c为底的对数，得logcatlogcN，tlogcalogcN，所以t，故logaN.一般地，我们有logaN，其中a0，a1，N0，c0，c1，这个公式称为对数的换底公式. 例1求下列各式的值：(1)lg lg lg ；(2)(lg 5)22lg 2(lg 2)2. 【思路探究】解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质进行计算【自主解答】(1)lg lg lg lg lg 4lg 7lg(47)lg lg 10.(2)(lg 5)22lg 2(lg 2)2(lg 5)2(2lg 2)lg 2(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg 2lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21.方法规律1对数的运算性质主要用于化简与求值，它只适用于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)2特别注意一些常用结论如lg 2lg 51，lg 21lg 5，lg 51lg 2等例2(1)计算_；(2)已知log23a，3b7，则log1256_.(用a，b表示)【思路探究】(1)先利用logablogba1统一底数，再求值(2)把对数用以10为底的对数或以3为底的对数表示，然后求值【自主解答】(1)原式log64log69log6362.(2)法一log23a，log32.又3b7，log37b.从而log1256.法二log23a，lg 3alg 2.又3b7，lg 7blg 3.lg 7ablg 2.从而log1256.【答案】(1)2(2)互动探究在题设(2)不变的前提下，试用a，b表示log728.【解】log728.例3某化工厂生产化工产品，去年生产成本50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶生产成本为20元？(lg 20.301，lg 30.477 1，精确到1年)【思路探究】设x年后每桶生产成本为20元，根据题意列出x，50，28%，20之间的关系式后解x.【自主解答】设x年后每桶生产成本为20元1年后每桶生产成本为50(128%)，2年后每桶生产成本为50(128%)2，x年后每桶生产成本为50(128%)x20.0.72x0.4.等号两边取常用对数，得xlg 0.72lg 0.4，x3(年)答：3年后每桶生产成本为20元方法规律解对数应用题的步骤：第一步：依据题意建立等量关系；第二步：利用对数的定义及运算性质对上述等量关系变形；第三步：借助已知数据(或计算器)估值；第四步：下结论1对数运算性质及应用：对数运算性质主要有两个方面的应用：一是把复杂的真数化简，即将积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积；二是将多个同底对数的积合并为一个对数式2换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简. 对数函数的概念、图象与性质教学案教学目标1知识与技能(1)理解对数函数的概念(2)掌握对数函数的性质了解对数函数在生产实际中的简单应用(3)了解反函数的概念，加深对函数思想的理解2过程与方法(1)培养学生数学交流能力和与人合作精神(2)用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想3情感、态度与价值观(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣(2)在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质教学重点、难点重点：对数函数的定义、图象和性质难点：反函数概念的理解教学过程1关于对数概念的教学建议教师以细胞分裂和放射性物质为背景，结合指数式与对数式的互化，引出对数函数ylogax(a0，且a1)，强调对数函数对其形式的要求2关于对数函数的图象及性质的教学建议教师在教学时类比指数函数图象和性质的研究，引导学生自己研究对数函数的性质，讲清底数a对函数值变化的影响，教学时鼓励学生积极主动地参与获得性质的过程3关于反函数概念的教学建议教师对学生讲清对反函数应掌握到何种程度，只要求学生知道同底的对数函数与指数函数互为反函数，不要求学生讨论形式化的反函数定义，也不要求学生求已知函数的反函数课标解读1.理解对数函数的概念2.掌握对数函数的图象和性质(重点)3.能够运用对数函数的图象和性质解题(重点)4.了解同底的对数函数与指数函数互为反函数(难点).【问题导思】对于函数ylog2x，ylogx.1对自变量x有何限制？【提示】x0.2两函数底数和真数有什么共同点？【提示】真数都是自变量，底数都是常数对数函数：一般地，函数ylogax(a0，a1)叫做对数函数，它的定义域是(0，).【问题导思】1试作出ylog2x和ylogx的图象【提示】2两图象与x轴交点坐标是什么？【提示】交点坐标为(1，0)3两函数单调性如何？【提示】ylog2x是增函数，ylogx是减函数对数函数的图象和性质：a10a0且a1)和指数函数yax(a0且a1)互为反函数一般地，如果函数yf(x)存在反函数，那么它的反函数记作yf1(x). 例1下列函数中，哪些是对数函数？ylog2x3；ylog2x3；y3log8x；ylogxa2(x0且x1，a为常数)；ylog6x.【思路探究】解答本题可根据对数函数的定义寻找其满足的条件【自主解答】为对数函数中真数是x3，不是自变量x，不是对数函数中对数式后加3，故不是对数函数中log8x前的系数是3，而不是1，不是对数函数中底数是自变量x，而非常数a，且真数为a2，不是变量，故不是对数函数方法规律判断所给函数是否为对数函数，即从所给函数的“系数、底数及真数”三处着眼，逐一分析是否同ylogax(a0，a1)相融合，若相同，则是对数函数；否则，不是对数函数例2求下列函数的定义域(1)y；(2)y；(3)ylogx1(164x)【思路探究】第(1)小题是三次根式，定义域和log2x的定义域相同，第(2)小题是二次根式，被开方数必须是非负数，注意不要遗漏对数函数的真数是正数这个条件，第(3)小题除了真数大于0，还要注意底数大于0且不等于1.【自主解答】(1)该函数是奇次根式，要使函数有意义，对数的真数是正数即可定义域是x|x0(2)log0.5(4x3)0log0.51，04x31，解得x1.定义域是x|x1(3)由题知x需满足即解得1x2，且x0，函数的定义域为x|1x0或0x1时，图象靠近x轴的底大，C1、C2对应的a分别为、；然后考虑C3、C4，底数都小于1，当xa2a3a4，因此C1，C2，C3，C4的a值依次为，.【答案】，1由指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)的关系不难发现其对应关系：2求对数函数的定义域：(1)求对数函数的定义域，千万不要忘了负数和零没有对数，即真数是正数，同时对数的底也是一个大于0且不等于1的数(2)求定义域的常用方法是解不等式(组) 对数函数的图象与性质的应用教学案教学目标1知识与技能(1)掌握对数函数的单调性(2)会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较(3)能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质2过程与方法(1)通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法(2)培养学生的数学应用的意识(2)渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想3情感、态度与价值观(1)用联系的观点分析、解决问题(2)认识事物之间的相互转化(3)加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力教学重点、难点重点：对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用难点：依据底数的不同讨论函数的相关性质教学过程1关于两个数大小比较的教学教学时建议教师充分利用对数函数的单调性，进一步熟悉对数函数的性质，让学生采用不同的方法解决这个问题2关于利用对数函数单调性解不等式的教学建议教师在教学时对学生强调好两点：一是对数的真数需大于零；二是底数含参数时一定要注意分类讨论课标解读1.能正确判断图象之间的变换关系(重点)2.理解并掌握对数函数的单调性(重点)3.会用对数函数的相关性质解综合题(难点).例1比较下列各组数的大小(1)log0.14与log0.54；(2)log45与log65；(3)log3与log5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m1)【思路探究】对于同底的两个对数值利用对数函数的单调性比较即可底数不同的关键要找好中间数，或换底化为同底进行比较【自主解答】(1)法一log0.14，log0.54.ylog4x是增函数，log40.1log40.5，即log0.14log0.54.法二log0.14，log0.54.lg 0.1lg 0.5.又lg 40，即log0.14log0.54.(2)log45log441，log65log65.(3)函数ylog3x与函数ylog5x在(0，)上都是增函数，log3log510.log3lg m0，即1m(lg m)2.1；当lg m1，即m10时，(