《4.3 定积分的简单应用》同步练习.doc

4.3 定积分的简单应用同步练习 基础巩固一、选择题1求曲线yx2与直线yx所围成图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dxBS(xx2)dxCS(y2y)dyD.S(y)dy答案B解析作出图形，容易判断应选B.2由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A.B.4C.D.6答案C解析由题意知，所围成的面积(x2)dx(xx22x)|44224.点评本小题重在考查由两条曲线与y轴所围成的曲边形的面积，要注意用函数值较大的减去函数值较小函数的积分值，并注意积分上、下限范围3(2014广州模拟)物体A以v3t31(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3B.4C5D.6答案C解析因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)|t3t5t25(t5)(t21)0，即t5.二、填空题4(2014宁波五校联考)由曲线y2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为_答案解析联立解得直线与抛物线的交点横坐标为x1，由题意得，由曲线y2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为： (2x24x2)dx(x32x22x)|2222.5由直线yx和曲线yx3(x0)所围成的图形绕x轴旋转，求所得旋转体的体积为_答案解析由求得或所以Vx2dxx6dxx2dxx6dx.三、解答题6求由曲线y2xx2，y2x24x所围成图形的面积解析由得x10，x22.如图所示，所求图形的面积S(2xx2)dx|(2x24x)dx|(2xx2)dx(2x24x)dx(x2x3)|(x32x2)|4.能力提升一、选择题1已知自由下落物体的速度为vgt，则物体从t0到tt0所走过的路程为()A.gtBgtC.gtD.gt答案C解析t00gtdtgt2|t00gt.2如果1 N的力能把弹簧拉长1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为()A0.18 JB0.26 JC0.12 JD0.28 J答案A解析设F(x)kx.当F1 N时，x0.01 m，则k100，所以F(x)100x，所以W100xdx50x2|0.18 J.3(2014湖北理，6)若函数f(x)，g(x)满足1f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1，1上的正交函数的组数是()A0B1C2D3答案C解析由题意，要满足f(x)，g(x)是区间1，1上的正交函数，即需满足f(x)g(x)dx0. f(x)g(x)dxsinxcosxdxsinxdx(cosx)|0，故第组是区间1，1上的正交函数；f(x)g(x)dx (x1)(x1)dx(x)|0，故第组不是区间1，1上的正交函数；f(x)g(x)dxxx2dx|0，故第组是区间1，1上的正交函数综上，其中为区间1， 1上的正交函数的组数是2.4直线y2x，x1，x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为()A.B32C.D3答案A解析由V(2x)2dx4x2dx4x2dx4x3|(81).5(2012福建理，6)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.答案C解析本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立O(0，0)，B(1，1)，S阴影(x)dx(x)|，P.定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值二、填空题6抛物线yx2与直线yx所围成的图形的面积是_答案解析如图，yx2与yx的交点坐标为(0，0)和(，)，所以所求的面积为()2()30.7曲线yex，直线x0，x与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_答案解析 (e1).三、解答题8计算(y1)2x1及yx所围的平面图形的面积分析首先画出草图(如图所示)，若选x为积分变量，则需将图形分割，运算繁琐，可选用y作为积分变量，为此求出两线交点的纵坐标，确定出被积函数和积分的上、下限解析将已知条件改写为xy以及x(y1)21，由图知所求面积为阴影部分的面积解方程组得交点的纵坐标为y10及y23，因此，阴影部分面积Sy(y1)21dy(3yy2)dy.点评解此类问题要注意观察草图及被积函数式子的特点，灵活选用积分变量9如图，抛物y4x2与直线y3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动(1)求使PAB的面积为最大时P点的坐标(a，b)；(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线xa分为面积相等的两部分解析(1)解方程组，得x11，x24.抛物线y4x2与直线y3x的交点为A(1，3)，B(4，12)，P点的横坐标a(4，1)点P(a，b)到直线y3x的距离为d.P点在抛物线上，b4a2，da(43aa2)(2a3)0，a.即当a时，d为最大，这时b4.P点的坐标为时，PAB的面积最大(2)设上述抛物线与直线所围成的面积为S，位于x的右侧的面积为S1.S4(4x23x)dx，S1(4x23x)dx.S2S1，即直线x平分S.10求由曲线yx2，直线yx所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积解析曲线yx2与直线yx所围成的图形如图中阴影部分设所得旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于直线yx，x1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线yx2，直线x1与x轴所围成的平面图形绕x