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空间向量的应用 1 2010 辽宁卷 已知三棱锥p abc中 pa 平面abc ab ac pa ac ab n为ab上一点 ab 4an m s分别为pb bc的中点 1 证明 cm sn 2 求sn与平面cmn所成角的大小 2 2010 湖北卷 如图 在四面体aboc中 oc oa oc ob aob 120 且oa ob oc 1 1 设p为ac的中点 证明 在ab上存在一点q 使pq oa 并计算的值 2 求二面角o ac b的平面角的余弦值 例1 如图 在三棱锥p abc中 pa 平面abc pa 1 ab ac ab ac 2 e为ac中点 1 求异面直线be pc所成角的余弦值 2 求二面角p be c的余弦值 分析 本题主要检测利用空间向量的知识计算角的问题 题设中过点a的三条射线ab ac ap两两互相垂直 故可以以a为原点建立空间直角坐标系 然后利用向量知识进行求解 变式1 如图所示 在直棱柱abc a1b1c1的底面 abc中 ca cb 1 bca 90 棱aa1 2 m是c1c的中点 1 求a1b与b1c的夹角的余弦值 2 求平面a1mb与平面amb所成二面角的平面角 其大小为锐角 的余弦值 分析 本题以o点还是以d点为原点建立空间直角坐标系呢 为此需寻求更多的直角 解析 1 以o为原点 过o且平行于da的直线为x轴 过o且平行于dc的直线为y轴 os所在直线为z轴 建立空间直角坐标系o xyz 则a 2 1 0 b 2 4 0 c 2 4 0 s 0 0 h 其中h so 于是 1 用空间向量处理立体几何问题 其关键是建立合适的空间直角坐标系 一般地 若从某点出发有多条两两互相垂直的直线 则该点宜作为坐标系的原点 2 用向量法处理立体几何问题 应准确地写出点的坐标 并正确地进行向量的运算特别是坐标运算与数量积的运算 本题得分的关键在于求平面a1dn与平面mdn的法向量 另外建立空间直角坐标系后 正确写出一些点的坐标也可以得到一些分数 因此
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