一次函数图像.doc

一次函数图像例 已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)求函数解析式并画出图象根据图象回答：(1)当x=-1时y的值；(2)当y=2时x的值；(3)图象与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；（4）当x为何制值时；（5）当时y的取值范围；（6）时x的取值范围；（7）求的面积；（8）方程的解分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题解：列表：x0630描点连线得图象（1） 当x=-1时，（2） 当y=2时，x=2；（3） A(6，0)、B(0，3)；（4） x6时，y0；x=6时，y=0；x6时，y0（5） 当时，（6） 当-1y4时，-2x8；（7）（8） 方程的解是x=6说明：从图象上对应点的坐标来求(1)已知x值可求y的值；(2)已知y的值可求x的值；(3)已知x的变化范围可求y的变化范围，反之也可求函数方程当y为零时x的值就是方程方程的解，函数、方程、不等式三者是紧密联系的。例 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k、b的情况：分析：看图象自左向右是上升还是下降来决定k的正负由图象与y轴的交点在x轴的上方还是下方来决定b的正负正比例函数过原点b=0解：图(1)中k0，b=0；图(2)中k0，b=0；图(3)中k0，b0；图(4)中k0，b0例 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(-6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为-4，若MON面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值已知条件中给出了MON的面积，而MON的面积，因底边NO可以求到，因此实际上需要把MON的面积转化为M点的纵坐标解：根据题意画示意图，过点M作MCON于C 点N的坐标为(-6，0)|ON|=6 MC=5点M在第二象限 点M的纵坐标y=5点M的坐标为(-4，5)一次函数解析式为y=k1x+b正比例函数解析式为y=k2x直线y=k1x+b经过(-6，0)正比例函数y=k2x图象经过(-4，5)点，例 在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是B(0，5)，与x轴交点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是(6，0)，点P的坐标是(0，y)，若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若PCO=30时，求四边形ABPC的面积分析：根据题意画出示意图因为要求面积S与y的函数关系式，所以要考虑ABPC四边形的构成，确定四边形ABPC，其中三点A，B，C的坐标已给出，只要考虑P点的位置即可点P的位置有两种可能，其一是P点在O，B之外，其二在O，B之间，如果P点在OB之外，则不满足四边形ABPC的条件，所以点P只能在O，B之间，所以S=SAOB-SCOP，故只要求出两个三角形面积即可解：一次函数在y轴上交点B的坐标是(0，5)根据题意：得A(10，0)OB=5，OA=10点C坐标为(6，0)，点P坐标是(0，y)OC=6，OP=yS=SAOB-SCOPS=25-3y即S=-3y+25点P在O与B之间自变量y的取值范围是0y5当PCO=30时，在RtCOP中说明：解这类题时先画出示意图，并看图进行分析，示意图的关键是位置关系要正确，要学会数形结合典型例题五例 我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共200吨按合同，每吨荔枝售价为人民币0.3万元，每吨芒果售价为人民币0.5万元现设销售这两种水果的总收入为人民币y万元，荔枝的产量为x吨（0x200） （1）请写出y关于x的函数关系式； （2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20，但不大于60，请求出y值的范围 解:（1）因为荔枝为x吨，所以芒果为吨.依题意，得即所求函数关系式为：.（2）芒果产量最小值为：（吨）此时，（吨）；最大值为：（吨）.此时，（吨）.由函数关系式知，y随x的增大而减少，所以，y的最大值为：（万元）最小值为：（万元）.值的范围为68万元84万元.说明：本题主要考查一次函数的应用，用一次函数来解决实际问题。典型例题六例 如图，A、B分别是轴上位于原点左、右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交轴于点C(0,2)，直线PB交轴于点D，.(1) 的面积是多少？（2）求点A的坐标及p的值.（3）若 ，求直线BD的函数解析式.（1999年西宁市中考题） 解 ：过点作轴于点， 轴于点.（1）由点、点C的坐标分别为(2,p)、(0,2)及点P在第一象限内，得，=2，=2. （2）注意到 ，=4. 点A的坐标为（-4，0）.又=3.（3）由题设，可知. .点D的坐标为（0，6）.直线BD（设其解析式为）过点P(2,3)、点D（0，6）， ，.直线BD的解析式为.说明：这道题主要考查三角形面积与一次函数的知识。典型例题七例 已知一次函数的图象经过点及点（1，6），求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.（2001年呼和浩特市中考题）分析：由两已知点的坐标，可以求出一次函数解析式，可求得、的长度，即可求得三角形的面积。解：由一次函数的图象经过点及点（1，6），得=2，=4.一次函数的解析式为. =0时，=4，=0时，=-2， 一次函数的图象与轴的交点、与轴的交点的 坐标分别为（0，4）、（-2，0）， .说明：本题考查了三角形和一次函数的知识。典型例题八例 求下列一次函数的解析式：（1）图像过点（1，1）且与直线平行；（2）图像和直线在y轴上相交于同一点，且过（2，3）点.解：（1）把变形为.所求直线与平行，且过点（1，1）.设所求的直线为，将代入，解得.所求一次函数的解析式为.（2）所求的一次函数的图像与直线在y轴上的交点相同.可设所求的直线为.把代入，求得.所求一次函数的解析式为.说明：如果两直线平行，则；如果两直线在y轴上的交点相同，则.掌握以上两点，在求一次函数解析式时，有时很方便.典型例题九例 选择题（1）下面图像中，不可能是关于x的一次函数的图像的是（ ）（2）已知：，那么的图像一定不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（3）已知直线与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论：；，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4（4）正比例函数的图像如图所示，则这个函数的解析式是（ ）A B C D解：（1）由A可得故，A可能；由B可得 故，B可能；由C可得此不等式组无解.故C不可能，答案应选C.（2）由已知得 三式相加得：，故直线即为.此直线不经过第四象限，故应选D.（3）直线与x轴的交点坐标为：即异号，、正确，故应选B.（4）正比例函数经过点（1，1），故应选B.说明：一次函数中的的符号决定着直线的大致位置，题（3）还可以通过的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中的热点题型，同学们一定要熟练掌握.典型例题十例市和市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援村10台，村8台.已知从市调运一台机器到村和村的运费分别是400元和800元，从市调运一台机器到村和村的运费分别是300元和500元.（1）设市运往村机器台，求总运费（元）关于的函数关系式；（2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？分析：本题的已知条件比较多，读了题目后，要依据题意列出下列表格，各个数量之间的关系就容易看出，就可以列出等量关系了。解：由已知条件分析得下表库存机器支援村支援村市6台台（）台市12台（10-）台8-（6-）台（1）依题意得 所以与的函数关系式为 （2）由得.又因为必须是正整数.所以可以取0，1，2三个数，共有三种调运方案.（3）因为是一次函数，且随的增大而增大.所以当取最小值时，最小.即当时，.答：当从市调运10台给村，调2台给村，从市调6台给村时，总运费最低，最低运费是8600元.说明：题目中如果数量关系比较多，等量关系不容易找，可以考虑列出表格，来帮助理解题意。典型例题十一例 如图，四边形是菱形，点的坐标为（4，0），点从点开始以每秒1个单位长度的速度沿向点移动，同时，点从点开始以每秒个单位长度的速度沿射线向右移动.设秒后，交于点.（1）当，求的值及经过，的两点的直线的解析式；（2）当为何值时，以，为顶点的三角形和以，为顶点的三角形能够相似？当为何值时，以，为顶点的三角形和以，为顶点的三角形不能够相似？请给出结论，并加以证明.解：（1）由题意可知，在中，所以.因为，所以，所以.因为， .所以. 即.解得.检验知是方程的解，且，故所求值为.延长交轴于点，则，.所以，两点的坐标分别是、.设经过，两点的直线为，则，解得，.所以经过，两点的直线为.（2）当时，；当时，以，为顶点的三角形和以，为顶点的三角形不能够相似.证明如下：当时，因为，所以四边形是平行四边形，所以.所以当时，无论取何值，总有.当时，显然和不能平行.如果以，为顶点和，为顶点的两个三角形相似，那么，又因为是等腰三角形， 所以是等腰三角形，且，所以.同理，在等腰，.所以，所以.解得.因为，所以，所以.由于已知，所以以，为顶点的三角形和以，为顶点的三角形不能够相似.典型例题十二例 某车间有20名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个。在这20名工人中，派人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种可获利24元。（1）写出此车间每天所获利润（元）与（人）之间的函数关系式（只要求写出解析式）；（2）若要使车间每天获利不低于1800元，问至少要派多少人加工乙种零件。解：（1），整理得 。（2）由题意知 ，即 。解这个不等式，得。根据题意，应取7，此时。答：至少要派13人加工乙种零件。说明：本题主要考查一次函数与一元一次不等式的知识，能根据条件构造出不等式。典型例题十三例 已知一次函数y(4m+1)x(m1)(1)m取什么值时，y随x的增大而减小；(2)m取什么值时，这条直线与y轴的交点在x轴下方；(3)m取什么值时，这条直线不经过第三象限(3)这条直线通过第一、二、四象限或第二，四象限和原点，那么由解得m1说明：解答本题的关键是适时把一次函数表达式、图象、性质灵活进行转化，(1)题是由函数性质的增减转化成“k”的不等式得解；(2)、(3)题都是由一次函数的图象在坐标平面内的位置特点转化成关于“k”、“b”的不等式组求m的取值范围，应熟悉这样的函数表达式、图象位置与性质等的转化，以利问题的解决（2）题中的条件不可忽视。否则，时所得的函数不是一次函数.典型例题十四例 若方程2x2+3x-1=0的两根分别是，求经过点P的正比例函数解析式解：因为，是方程2x2+3x-1=0的两根，所以设过P点的正比例函数解析式为y=kx，所以说明：这是正比例函数和一元二次方程的综合题，应该运用韦达定理求解而不必去解方程典型例题十五例 (吉林省试题,2002 ) 如图，菱形OABC的边长为4厘米，AOC60，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度没OAB路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿OAB路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线设P点运动的时间为X秒，这两条子行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为y厘米请你回答下列问题：（1）当时，的值是多少？（2）就下列各种情形，求与之间的函数关系式：（3）在给出的直角坐标系中，用图象表示（2）中的各种情形下与的关系。解：（1）当时，。 （2）当时， ， 即； 当时， 当时， =10， 当时， 即（3）图象如图：典型例题十六例 已知一次函数，求；（1）为何值时，随增大而减小；（2）为何值时，函数图像与轴的交点在轴下方；（3），分别取何值时，函数图像经过原点；（4）若，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标；（5）若图像经过一、二、三象限，求，的取值范围.解：（1）因为随增大而减小，所以，解得：.所以当，为任何实数时，随的增大而减小.（2）因为图像与轴交点在轴下方，所以 解得所以当且图像与轴交点在轴的下方.（3）因为图像经过原点，所以 解得所以且，图像经过原点.（4）把，代入中得，.令，解得，所以图像与轴交点为（0，1）.令，解得，所以图像与轴交点为.（5）因为图像经过一、二、三象限，所以 解得所以当且时，图像经过一、二、三象限.说明：主要考查一次函数的知识。典型例题十七例（1）已知一次函数图像经过点（0，2）和（2，1）.求此一次函数解析式.（2）已知一次函数图像平行于正比例函数的图像，且经过点（4，3）.求此一次函数的解析式.分析：求一次函数的解析式，也就是确定、的值。根据题目已知条件列出关于、的二元一次方程组即可解：（1）设函数解析式为因为图像经过（0，2）和（2，1），所以 解得所以所求函数解析式为；（2）设函数解析式为因为函数图像是平行于的图像，所以.因为直线过（4，3），所以所以，所以所求函数解析式为.说明：本题考查一次函数的知识，确定一次函数的解析式，必须确定、的值，根据题目的已知条件列出关于它们的方程或方程组即可典型例题十八例 已知一次函数图像如图所示，那么这个一次函数的解析式是（）ABCD解：由图像可知一次函数的图像经过点（-1，0）和（0，-2），可用待定系数法解.设一次函数的解析式为，则有 解得所以一次函数的解析式为.故选A.说明：本题主要考查学生的识图能力。典型例题十九例 在同一坐标系中，分别作出下列一次函数的图像：（1）；（2）（3）.解：各取两点，列表如下：010325-21再描点连结，得上图.说明：它们的图像都是直线，这些直线之间有如下的关系：（1）它们的图像是三条互相平行的直线；（2）其中，正比例函数的图像是经过原点的直线；（3）的图像可以看成是由的图像向上平移两个单位得到的：的图像可以看成是由的图像向下平移两个单位得到的.典型例题二十例 （北京市海淀区试题，2002）如图，右ABC中，P为AB上一点，且点P不与点 A重合，过点 P作交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB10，AC8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式分析：要想用x来表示y，y为四边形PECB的周长，只需把四边形PECB的四条边、分别用x表示出来即可。利用三角形相